一类具有双线性发生率的传染病模型 毕业设计论文.docx

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一类具有双线性发生率的传染病模型毕业设计论文

一类具有双线性发生率的传染病模型

摘要：

本文研究了一类具有因病死亡因素的SIR传染病模型和一类具有接种免疫的SIR传染病模型.具有因病死亡因素的SIR传染病模型中，讨论了模型的无病平衡点和正平衡点的稳定性，通过线性化方法和构造合适的Lyapunov函数,得到如下结论：

当

时，无病平衡点

是全局渐近稳定的；当

时，

不稳定；当

时，正平衡点

是全局渐近稳定的.同时，在经典SIR模型的基础上构建了一种具有接种免疫的SIR传染病模型，利用数值分析的方法对其传播过程进行研究，通过理论分析证明其渐近稳定性．与传统的统计方法相比，利用该模型能够更好地了解流行过程中的一些全局性态．

关键词：

SIR传染病；无病平衡点；全局渐近稳定性；接种免疫

AnSisEpidemicModelWithBilinearIncidenceRate

Abstract:

WeinvestigateanSIRepidemicmodelwithdisease-reduceddeathrate.Thenthestabilityofthedisease-freeequilibriumandtheendemicequilibriumisdiscussed.BythelinearizationmethodandusingLyapunovfunctions,weobtainthefollowingresults:

whenthebasicreproductionnumber

thedisease-freeequilibrium

isgloballyasymptoticallystable;while

，

isunstable,andtheendemicequilibrium

isgloballyasymptoticallystable.Atthesametime,basedonthetraditionalSIRmodeltoconstructaSIRepidemicmodelwithvaccination,usingthenumericalanalysismethodtostudythepropagationprocess,throughtheoreticalanalysisprovestheasymptoticstability.Comparedwiththetraditionalstatisticalmethods,usingthemodeltobetterunderstandtheepidemicprocessinsomeglobalbehavior.

Keywords:

SIRmodel；Disease-freeequilibrium；Globalstability；Vaccination

目录

1绪论1

1.1论文研究的背景及意义1

1.1.1研究的背景1

1.1.2国内外研究现状4

1.2研究的主要内容4

1.3采用的方法、手段以及步骤等4

2SIR模型简介6

2.1传染病动力学的基本概念6

2.1.1传染病动力学模型的提出6

2.1.2SIR仓室模型6

2.2相关定义和理论8

2.3本章小结11

3具有因病死亡因素SIR模型及稳定性分析12

3.1具有因病死亡因素SIR模型的建立12

3.1.1模型概述12

3.1.2传染病流行的框图12

3.1.3SIR传染病模型的建立12

3.2无病平衡点的稳定性13

3.3正平衡点的稳定性14

3.4本章小结17

4带有接种免疫的传染病模型18

4.1带有接种免疫的传染病模型的建立18

4.1.1模型概述18

4.1.2相关参数18

4.2对带有接种免疫的传染病模型的稳定性分析20

4.2.1对时滞微分系统的分析20

4.2.2对无病平衡点的稳定性分析20

4.2.3对地方平衡点的稳定性分析21

4.3本章小结22

5总结23

参考文献24

致谢25

1绪论

1.1论文研究的背景及意义

1.1.1研究的背景

世界卫生组织（WHO）发表的世界卫生报告表明，传染病依然是危害人类健康的第一杀手.

传染病对人类的生产生活产生了巨大影响.回顾传染病的历史，传染病给人类带来的死亡，或者创伤比战争的总和还要大.首先从历史上看，最严重的瘟疫是古希腊在雅典发生的瘟疫；然后是六世纪的时候，东罗马拜占庭发生鼠疫；接下来是十二、十三世纪的时候，欧洲又兴起一个麻风病，到了十四世纪的时候，欧洲发生了一次非常大的鼠疫，也称为黑死病，当时整个欧洲流行鼠疫，死亡了两千万人，造成非常恐怖的一种景象.在记忆当中，我们国家也发生过大的流感，1957年有一次非常大的流行，到了1968年又有一次，到1998年又有一次，都是全世界范围的，相当大范围的一种流行.

那么，究竟传染病的传播规律是什么?

它是如何持续下去并发展成为地区性疾病的?

此种疾病怎样才会最终消亡，染病个体怎么样才能恢复健康等一系列问题都是人们十分关注的问题.由此可见我们必须对生态及传染病进行研究，对于我们的研究方向来说，就是用动力学的方法对种群生态学和传染病的传播规律进行研究，研究种群、传染病随时闻的演变规律以及种群、传染病与周围环境之间的关系.具体地说就是研究随着时间的推移种群是持续生存还是走向灭绝，传染病是继续传播还是消失，种群的规模和传染病的传播是否具有平衡态，这种平衡态是否稳定，是动平衡还是静平衡？

环境的变迁（如污染、病菌和人为的破坏）将对种群和传染病产生怎样的影响等问题，这些问题用动力学的方法来研究就转化为种群动力学模型和传染病动力学模型（包括微分动力系统模型和时滞微分系统模型）解的存在唯一性、渐近性、振动性、稳定性和极限环等问题，而分支的存在性，就使得自然界的变化规律显得更加复杂，其实这也是符合客观事实的，从某种意义上说全局稳定是一种理想化的结果，分支和混沌的存在才是自然界发展变化的规律，疾病的传播也是如此.所以，对分支的研究就更加必要.通过对种群生态动力系统和传染病动力系统的研究，我们可以对种群进行合理的开发、利用、控制和保护，对传染病进行合理的控制、预防和治疗.因此，研究种群动力系统和传染病动力系统，不论在理论上还是实际生活中都有重要的指导意义.

随着社会经济的发展和人民生活水平的提高，传染病仍然是威胁人类健康的第一大杀手.从卫生部公布的全国法定报告传染病疫情中就能看出端睨.2004年全国甲、乙类传染病发病总数为318万多例，死亡7151例.发病数居前5位的病种为：

肺结核、乙型肝炎、痢疾、淋病、甲型肝炎，占发病总数的85.01%，死亡数居前五位的病种依次为：

狂犬病、肺结核、乙型肝炎、艾滋病、新生儿破伤风，占死亡总数的82.65%.卫生部公布的05年3、4季度法定传染病疫情甲、乙类发病数居前五位的病种为肺结核、乙肝、痢疾、淋病、梅毒.死亡数居前五位的病种依次为：

肺结核、狂犬病、艾滋病、乙肝、乙脑或出血热.发病数和死亡数居前五位的传染病，均是危害民众健康主要的和重大的传染病.尽管从中央到地方各级政府和卫生管理、医疗部门采取一系列重大措施加以防治，但每位公民从自身做起，主动健康和主动防治是必不可少的.

结核病是历史上对人类健康危害最大的疾病之一.在19世纪，“白色瘟疫”—肺结核（痨病）曾无情地夺走了无数人的生命.直到1945年特效药链霉素的问世才使肺结核不再是不治之症.随着抗生素、卡介苗和化学药物的问世，肺结核一度得到很好控制.但是近年来肺结核却在全球死灰复燃.自2000年以来全球每年有200万人死于肺结核，近千万人新感染结核病.我国目前约有5.5亿人感染过结核菌，感染率达44.5%.全国有活动性肺结核病人达500多万人，居世界第二，且80%患者在农村.每年全国新发生患者约145万人，有13万死于结核病及其并发症，约有1/4患者呈耐药性.自05年3月份起肺结核首次超过狂犬病成为甲、乙类传染病死亡率最高的病种.由于肺结核病菌的抗药性和结核杆菌的变异，提高了这种疾病的威胁，让肺结核成为致命的传染病.没有治疗过的结核病人是最危险的传染源，而结核病患者一经治疗其传染性可迅速降低.因此，发现和及时治疗结核病人是防治的头等大事.讲究卫生，不随地吐痰，儿童期接种卡介苗，劳逸结合，加强锻炼等均可较好地预防结核病.

我国是乙肝高发区，人群感染率达60%左右，其中10%成为慢性乙肝病毒携带者.因此全国大约有7亿多人曾经感染过乙肝病毒，其中约1.3亿人是乙肝病毒携带者.在乙肝病毒携带者中，约25%的人最终将转化为慢性肝炎，包括肝硬化和肝癌，每年因此死亡约30万例，其中一半是因肝癌而死亡.因无特效药治疗乙肝，一旦发病只能对症治疗，全国一年用于肝炎治疗直接费用超过1000亿元.一个人如果感染了乙肝病毒，不仅严重影响身心健康，干扰正常生活，影响升学、就业、婚姻，还给家庭带来沉重的经济负担.同时慢性乙肝病毒携带者外表上看不出有病的样子，本人也没有不舒服的感觉，但这些人可以把病毒传给健康人.乙肝病毒主要通过血源性传播、母婴传播、医源性传播、性接触传播和密切性传播等途径传播疾病.只要及早接种乙肝疫苗，注意切断传播途径，乙肝是可以很好的预防的.

狂犬病又称疯狗病、恐水症，是由狂犬病毒感染人引起的疾病，表现为急性、进行性、几乎不可逆转的脑脊髓炎.犬伤者经过二至八周潜伏期才会发病，也有的长达数十年才发病，一旦发病，病死率高达100%.狂犬病毒是人畜共患的急性传染病，除狗和猫可以传染外，狐狸、狼、猪、鼠、兔、牛和蝙蝠等很多动物都可传染狂犬病，一些表面上“健康”的狗可能带有狂犬病毒.近年来我国狂犬病发病数持续快速上升，一个主要的原因是城乡各地养犬数大量增加，而犬的免疫接种率却很低，管理中漏洞多，犬伤人事件时有发生，且有相当多的人在被犬伤后没有按规范处理伤口，没接种狂犬病疫苗和抗血清，致使狂犬病成为传染病死亡的主要疾病之一.在05年3月以前，连续7年狂犬病死亡率一直处于我国法定传染3病的第一位.每年我国因被动物咬伤接种狂犬病疫苗人数约800—1000万人，处理伤口、注射疫苗与抗血清等直接药费约15—20亿元.狂犬病的流行不仅是一个健康的问题，更与社会的文明和法规健全有直接的关系.要防止狂犬病的流行，首先要做到狗的管理和免疫工作，家养宠物应定期注射动物疫苗.人被动物咬伤或抓伤应立即处理伤口并注射疫苗.狂犬病是“可防不可治”的疾病，做好预防工作尤为重要.

例如艾滋病是一种病死率极高的严重传染病，目前还没有治愈的药物和方法，但可以预防.艾滋病医学名称为“获得性免疫缺陷综合征”（AIDS），是由艾滋病毒（HIV）引起的一种严重传染病.艾滋病毒通过性接触、血液及其制品、母婴传播疾病，病毒侵入人体后破坏人的免疫功能，使人体发生多种难以治愈的感染和肿瘤，最终导致死亡.艾滋病病毒感染者的血液、精液、阴道分泌液、乳汁、伤口渗出液中均含有大量艾滋病毒，具有很强的传染性.感染者经过7—10年间的潜伏期可发展为艾滋病病人，在此之前外表看上去正常，可以没有症状的生活和工作，但能将病毒传染给其他人.我国于1985年发现首例艾滋病到现在已达84万.艾滋病感染者年增长速度40—58%.与国家和各级政府提出的艾滋病感染率年增长10%的控制目标相距甚远.如果控制不好到2010年我国将有1000万艾滋病毒感染者.艾滋病带来的早死和残疾、期望寿命降低、沉重的家庭和社会负担以及严重损害综合国力的提高和国家的国际声誉已是不争的事实.而艾滋病更是一个关系