如何培养中学生的数学思维能力 大学生毕业论文.docx
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如何培养中学生的数学思维能力大学生毕业论文
【标题】 如何培养中学生的数学思维能力
【作者】钟小凤
【关键词】 空间想象 逻辑思维 直觉思维 能力培养
【指导老师】杨世辉
【专业】数学与应用数学
【正文】
1. 引言
培养和发展学生思维能力有着多方面的途径。
而数学这门学科,由于它是以客观世界的空间形式和数量关系为研究对象,这就决定了它是一门抽象性很强的科学。
因此,我国的<<中学数学教育大纲>>明确提出把培养学生的思维能力作为中等数学教育的目的之一。
如何培养中学生的数学思维能力将成为数学学科教学过程中更为严峻的问题,是数学界一直在不断探究的一个问题。
但在培养学生这个能力过程中,都未脱离数学学科本身的特点。
本文将浅谈一下中学生的主要思维能力的培养。
2. 几种思维能力的培养
2.1 空间想象能力的培养
培养学生的空间想象能力，这是中学数学教学的重要目的之一。
空间想象能力主要指人们对客观事物的空间形式进行观察、分析、归纳和抽象的能力。
这是学生学习数学、掌握数学、运用数学解决实际问题的必须具备的能力，根据中学阶段培养空间想象能力的具体要求是：
（一）根据数学命题，能较熟练地运用作图规则画出空间形体的直观图，清晰地反映出空间几何元素间的相互位置关系，简言之会“画”。
（二）根据直观图，能正确地看出它所表达的空间形体，理解空间几何元素间的各种关系。
简言之会“看”。
（三）建立正确的空间概念，能进行一定的形象思维，简言之会“想”。
似乎看似简单的三种基本能力，要将之从理论转化到中学生的思维上是较为复杂的问题。
培养学生的空间想象能力，也应引导学生认真学习好有关基础知识。
同时，一定要让学生亲自观察实物或模型，进行画图、认图，进行解题实践，通过这些实践活动，促使学生空间想象能力的形成和发展 [3] 。
2.1.1 引导学生多观察，多演示，多画图
平面几何，立体几何的内容全部源于我们的生活空间，所以对初学几何的学生需要重视直观教学，要把教学与生活实践紧密地结合起来。
2.1.1.1 多观察
空间点、线、面的位置关系是立体几何的重要内容，它决定着空间概念的形成，是继续学习的关键。
一开始学习，就必须要求学生联系实际，多观察。
例如讲确定平面的条件时，引导学生观察：
（1）窗户有两个点（颌）固定在窗框上，窗子仍任意开关，说明两点不能确定一个平面，当插上插销或挂上风钩后，窗户就固定下来了。
说明不共线的三点可确定一个平面。
（2）一本打开的书的一页不能停留住，当用手捏住这一页时，它的位置就固定下来了，说明一条直线（书背）与直线外一点（手指）可确定一个平面。
（3）一个简易风筝，在两根交叉的竹杆上就可糊上一片纸，说明两条相交直线可确定一个平面。
（4）一幅有上下轴的画挂在墙上，只有当上下轴平行时画面才是平展的，说明两平行直线可确定一个平面。
这样便使学生对本来难于理解的关于平面存在性与唯一性的四个（组）条件搞清楚了。
2.1.1.2 多演示
除教师演示教具外，指导学生自己多演示。
例如：
（1）用两支铅笔摆出空间两条直线的位置关系。
（2）用一到铅笔和桌面演示出直线和平面的各种位置关系。
（3）用打开的笔记本观察二面角和二面角的平面角的概念。
（4）伸出左手的食指和中指分别对上右手的食指和中指，把手指看作线段，让学生观察，想象出空间四边形是否一定是平面图形，以此来解决这个学生很容易糊涂的问题[1]。
同时，要求学生动手制作一些简单的几何体，例如：
（1）用纸剪出各种平面几何图形
（2）每个学生制作一个小正方体，有的学生用一根铁丝折成一个正方体，需要时在有关位置绕上彩色线，可以很理想地表示出各种截面形状.（3）在证明锥体体积公式时，让学生用萝卜先切成三棱柱，然后再切成三个三棱锥，验证锥体体积是等底等高的柱体体积的三分之一。
2.1.1.3 多画图
画图是从感性认识提高到理性认识，培养学生空间观念，发展智力的重要措施，在画图教学中应注意下列几点：
（1）在水平面内画几何图形是画空间图形的基础，一定要让学生掌握好，可采用平面图形与空间图形对比方法，加深学生认识，如图1-1在平面几何中直角三角形ABC相邻两直角边AC、BC应画成垂直的，而在空间图形中却应该将AC、BC画成45度角， 。
图中PC与CB，CA，AB可以画成互相垂直、不垂直、不相交。
这样加以对比，就加深了学生的认识。
图1-1
（2）结合模型画图，可选取一些具有代表性的典型模型让学生画图，如讲三垂定理，可先让学生结合模型画草图，又O是正方形ABCD中心， .初学立体几何的学生就会错画为图1-2 ，为此可先让学生结合模型画图，及时给予指正，学生印象深刻，效果良好。
图1-2
（3）按题意画图，可选一些有利于培养空间想象力，有利于进一步理解掌握有关概念、性质的问题给学生画图。
2.1.2 引导学生进行图形研究
2.1.2.1 认识各类图形的性质
为理解和掌握一个空间概念，仅仅对它的整体形象形成了一个空间观念或者能给出一个草图是远远不够的，还必须对它的内部组成元素及相互关系进行研究，也就是要研究图形的性质。
这也是中学数学几何部分教学的主要内容。
如图中角、弧、弦、弦心距之间的关系[7]：
（1）圆心角的度数与它所对弧的度数相等。
（2）圆周角的度数与它所对弧的度数的一半相等。
（3）同弧（或等弧）上的圆周角相等；直径上的圆周角是直角。
（4）在同圆或等圆中：
弧（指劣弧）等 弦等 弦心距等。
（5）相交弦定理：
圆的两条弦AB与CD交于（或延长交于）P，则APBP=CPDP
图1-3
（6） 弦切角与它所在弧上的圆周角相等。
2.1.2.2 同类图形之间的联系及不同类图形之间的联系
在平面几何里，最重要的图形是三角形和圆。
在三角形与三角形之间，三角形与圆之间等等，都存在着不同的联系，在立体几何里，中学研究的是正方体，长方体及线面，面面之间的关系，在解决一个实际的问题中，要弄清楚各图形之间的联系，同样以圆为例子，圆与圆的位置关系有下列五种：
相离、外切、相交、内切、内含。
其主要定理有[7]：
（1）两圆相交，连心线垂直平分它们的公共弦。
（2）两圆外切，切点在连心线上，圆心距d=R+r，反之也成立。
（3）两圆内切，切点在连心线上，圆心距d=R-r，反之也成立。
（4）两圆的两条外公切线相等；两角内公切线也相等。
利用这些定理及圆与圆之间的关系性质可以解决相关的问题，下面引见一个例子：
例1：
（见图1-4）已知：
圆 圆 外切于点 ， 于圆 相切于点
图1-4
求证：
于圆 也相切于点 ，且
证明：
因为 与圆 相切于点
所以
又因为圆 圆 外切于点
所以 点在 上
所以
因为
所以 与圆 也外切于点
因为两圆相切时，圆弧和圆弧在切点处平滑地连接起来，所以在实际中有很多相关的应用。
若学生根据所给图形，能正确找出其图形与图形之间的关系及相关的定理，就能很快的解决相关问题。
2.1.3 利用题组教学，培养空间想象能力
在几何解题教学中，围绕一个空间概念，一个中心问题，设置一组题，引导学生从不同角度去观察，分析，使学生的想象力更加丰富。
例如：
在空间点、线、面的位置关系部分，借助于正方体设置下列一个题：
例2：
（见图1-5） 在棱长为 的正方体 中， 为下底中心。
图1-5
求证：
（1） 与平面 必相交
（2） 平面 ，指出 与哪个平面垂直
（3） 与平面 的交点 是三角形 的中心
（4） 与 是异面直线
（5） 是 与 的公垂线，且长为
证明：
（1） 与平面 相交是往往被学生忽视的问题，引导学生经过分析找出 所在平面 的相交线为 ，要证 与面 相交，只有能证明 与 相交即可（线面相交转化为线线相交）
连接 ，
因为 为梯形， 与 是梯形的对角线，即 与 相交交点为
又因为 在平面 内
所以 与平面 必相交
（2）先考虑线面垂直的条件是什么？
再从图中找出所需要的条件
因为 平面
所以 为 在平面 上的射影
又因为 所以 平面
同理可得：
所以 平面
同理可得：
平面 ，所以
（3）因为三角形 是等边三角形，
所以 是正三棱锥
又因为 平面 于 ，则 为 在底面 上的射影，
所以 为三角形 的中心
（4） 运用证明异面直线常用的反证法。
假设 与 不是异面直线，则 四点共面
因为 确定平面
所以在平面 上，与 平面 矛盾
所以 与 是异面直线
（5）让学生回答什么是公垂线？
如何证明 呢？
因为 平面 在平面 内，所以
又因为 为等边三角形 的中线，所以 即
所以 是 与 的公垂线段
且
此题针对正方体点、线、面之间关系引申出这么多的问题，使学生从不同角度去观察，引导其想象力，启发学生思维。
实践使我们认识到，几何教学培养学生空间想象能力与培养学生逻辑思维能力是相辅相成的，在开始阶段侧重培养空间想象能力是正确的，随着教学内容的进展，在培养想象能力的同时，也要注意培养逻辑思维能力，这是不可忽略的任务。
2.2 逻辑思维能力的培养
数学是门逻辑性、系统性强，论证严谨的学科。
数学中的公式法则，定理和规律，都必须通过逻辑思维的推导，归纳和总结而获得。
数学中的概念，判断和推理是建立在逻辑思维基础上的，没有一定的逻辑思维能力，就很难学好数学，然而对于逻辑思维能力的培养需从这几个方面入手：
2.2.1 理解概念含义
概念是什么：
从形式逻辑的观点来说，概念是反映思维对象的本质属性的思维形式。
概念与感觉、知觉不同，感知所反映的仅是事物的现象，片面的，外部的联系。
但概念的形成，又是离不开感知的，人们通过感知，获得大量的感性材料，经过去粗取精，去伪存真的改造加工，然后由感知认识跃进到理性认识，才获得关于事物的概念。
在进行数学概念教学时，应遵循具体形象，抽象，概括的思维活动的认识路线。
概念具有两个方面的内容，一个外延，一个内涵[2]。
外延就是一个概念，所反映的每个对象的总和，如：
“平行四边形”这个概念的外延就是含有一切形状的“平行四边形”，比如：
正方形、矩形、菱形及其他平行四边形等全部对象。
内涵就是概念所反映的对象本质属性，如：
“平形四边形”这个概念的内涵，就是两组对边分别平行的四边形。
外延与内涵是概念的两个不同的方面，但这两个方面却有密切的联系，内涵是指外延对象特有属性的反映，而外延是指具有内涵所反映的特有属性的对象的总体（这里一个指质量，一个指数量），如：
“平行四边形”这个概念的外延是由一个具体的“平行四边形”组成的，而这些具体的“平行四边形”具有共同的本质属性，而反映这个具有共同的本质属性就是内涵。
由此可见，外延是具有内涵属性的对象，而内涵是外延对象属性的反映。
这样，外延与内涵紧密地联系在一起了。
从某种意义上说，概念的内涵和外延之间存在着相反关系。
例如：
如果扩大“平行四边形”这一概念的内涵（对角线相平分且垂直），那么它的外延马上就缩小了；如果缩小这个概念的内涵（只要求一组对边平行），那么它的外延就扩大（除了上面说的四边形以外，还要加上梯形）。
以上我们分析了外延和内涵，那么知道了概念具有外延和内涵的两个方面，这对数学教学有何意义？
通常我们掌握了一个概念的外延与内涵，则我们对这个概念便是明确的，运用这个概念进行数学判断和推理时，逻辑性就会强。
2.2.2 明确判断原则
形式逻辑思维必须遵循以下四条原则[5]：
即同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。
它反映了形式逻辑思维的根本特点：
确实性、无矛盾性、一贯性和充分根据性。
因此，它们是人们正确思维的前提，为了正确的认识客观事物和正确地表达自己的思想，人们必须遵守以下四条基本思维原则。
2.2.2.1 同一律
同一律的形式是“甲是甲”它的基本内容是：
在进行论断和推理的过程中间，每个概念都应当在同一的意义上来使用。
这个原则要求我们，每个概念应当指的是同一个对象，而是在同一时间和同一关系下，它的意义应当是确实的，同一的，如果用同一个概念去表达两个不同的对象，或者用两个不同的概念去表达同一个对象，都是违反同一律原则的。
例如，当 时，我们有：
.
因为 为任何自然数时，二项式 都可以被 整除，故 亦能被 整除，从而有结论：
对于任意的自然数 以及任意的实数 和 的值，都能被 的值所整除，这个结论对不对呢？
设
由验算的结果，可见这个结果是错误的，这里自然会有疑问：
仔细检查，可发现，这是由于所用”整除”这个名词，在推理的前部分是关于多项式的，而在后一部分则是关于自然数的，这二者是完全不相同的概念。
一个多项式被另一个多项式整除（余式为零），但不意味着商式的系数全是整数。
如 被 整除，但商式为 ，而且即使商式的系数全是整数，但它的值也未必是整数。
如 ,若 .
因此说同一律是任何判断的逻辑基础，遵守同一律的能够保证思考的确定性和精确性，对发展逻辑思维能力具有重要的意义。
2.2.2.2 矛盾律
矛盾律的形式是“甲不是非甲”，它的基本内容是[6]：
同一对象，在同一时间内和同一关系下，不能具有两种互相矛盾的性质。
这个规律要求我们，在同一时间内的同一关系下，不能既肯定又否定同一的对象，也就是说，对于同一的对象，在同一时间内的同一关系下，不能容许有互相矛盾的两种判断存在，例如：
a是正数，那么a一定不是负数和零；a和b两条直线平行，那么a和b两条直线一定不会相交。
这个规律有利于提示学生在思维过程中容易忽略的一些知识点。
就如刚才举的例子：
a是正数的反面a 不是负数和零，学生就容易忽略零这个特殊的数字。
2.2.2.3 排中律
排中律的形式是“或者是甲，或者是非甲”它的基本内容是：
同一对象在同一时间内和同一关系下，或者是具有某种性质，或者是不具有某种性质，二者必居其一，不能有第三种情况，例如三角形内有和为180 ，那么三角形内角和不可能既等于又大于或者180 ，两个奇数之和为偶数，那么两个奇数之和不可能既是偶数又是奇数，二者必居其一是排中律的实质。
排中律要求我们在同一时间内和同一关系下，对于同一对象不能允许有两种互相成为对立性或对抗性的矛盾判断存在。
它不仅指出其中之一，必然是错误的，而且还有着更积极意义。
它只杜绝思维中的逻辑矛盾，而不否认客观存在的现实矛盾。
因此，它与辩证法并不抵触，它正确处理不同称的肯定判断和否定判断的关系，排除认识上的含糊，坚持原则，判别是非。
因此，排中律是寻求真理的逻辑基础。
2.2.2.4 充足理由律
充足理由律的形式是“所以有甲，是因为有乙”，它的基本内容是：
特定事物之所以具有某种性质，是因为它有着现实的依据。
这个规律要求我们，在进行思维的时候，必须有充分的根据，任何判断或论证，只有当它具有充分的根据，也就是具有充足的理由时，才能是正确的，合乎逻辑的，才能具有论证和说服力量。
充足理由要求我们，不论是直接地根据客观的事实，或者是间接地援引了逻辑理由，只要这些事实和理由千真万确的。
那么，根据它们推出来的论断或结论就能成立，所以，充足理由律是正确判断与正确论证的逻辑基础。
在教学中，引导学生掌握好上述四条思维原则，是培养逻辑思维能力的基础。
2.2.3 强化推证实践
2.2.3.1 综合法
也称为“顺推法[8]”它是从已知条件出发，从“已知”得“推知”，由“推知”，逐步求出“未知”的过程。
例1：
若方程 两根相等，试求邻边的和为6，且夹角为 的平行四边形的最大面积。
解：
因为 ,
所以 .
解得：
（舍去）.
因为
所以 .
设有平行四边形的一边长为 ，则另一边长为 ，又设平行四边形的面积为 ，则有：
,
所以当 时, 有最大值是 即平行四边形的最大面积为 .
所以当 时， 有最大值是 .
即平行四边形的最大面积为 .
2.2.3.2 分析法
也称“逆推法”是从“未知”找“需知”，由需知逐步地靠拢“已知”的思维方法。
例2：
已知 为两个不相等的正数，求证：
.
证明：
（分析法）要证 ，只需要证明:
.
由于 是不相等的正数，则
要证 ，只需要证 .
要证 ，只需要证 .
即
显然成立.
但在这分析过程中，学生应注意的是分析中建立的与需证明的命题是等价的辅助命题，分析法中需用假定的语气，如“若A成立，则需先有B成立”即从前面的式子都可以推出后面的式子，反之亦然。
2.2.3.3 分析综合法
在解某些数学题时，有时单用分析法或综合法不能沟通思路，就将分析与综合用时兼用，先从“未知”出发倒寻找“需知”，又从“已知”出发，顺着推“推知”，逐步解决实际问题[9]。
例3：
设 为任意三角形的三边的长，已知
求证：
探求：
（分析法）
（1）由已知可以看出 .故要证 ，只需要证
（2）要证 ，即证 .联想到基本不等式的运用思路就沟通了。
（3）（综合法）要证 .若还要用基本不等式，达不到目的。
若用已知条件“三角形”。
则会有“三角形的两边之和大于第三边”这条性质，证题就会解决。
看看具体的证明过程：
证明：
因为 为任意三角形三边的长
所以
所以
将上面三个式子相加，得
…………………
（1）
又因为
又将上面三个式子相加，得
…………………………
（2）
又因为
所以 ………………………………………………（3）
将（3）代入
（1）和
（2），得
所以
2.2.3.4 演绎与归纳
从一般到特殊和从特殊到一般，这是我们认识事物的基本方法，在形式逻辑中，称这一方法为演绎和归纳。
简单的演绎推理，通常是通过“三段论式”来实现的。
即大前提提供了一般的判断；小前提指出了特殊情况，结合两个判断说明一般原理与特殊情况间的联系，从而得出结论。
例4：
求证：
直角三角形两锐角之和为 .
证明：
因为三角形内角之和为 （大前提），而直角三角形是三角形（小前提）
所以直角三角形内角之和为 （结论）
设直角三角形两锐角之和为 ，则有
因为等量减等量相等（大前提）
而 是等量减等量（小前提）
所以 （结论）
归纳推理与演绎推理不同，它是一种以特殊情形的前提中，推出关于全部对象的一般结论的推理方法，归纳法的形式结构为：
（1）不完全归纳
归纳法
（1）普通归纳法
（2）完全归纳
（2）数学归纳法
在中学阶段需重点掌握数学归纳法的基本步骤及其方法。
2.2.3.5 类比法
它是根据两个对象有一部分性质相似，推出这两个对象的其它性质相类似的一种推理方法。
其功能有
（1）建立类比模型，帮助我们对抽象数学的理解。
（2）通过类比发现真理，其类比的内容也的很丰富的，按属性分：
有范例类比、解释类比、因果类比；按关系分：
有对应类比、例证类比、结构类比、系统类比等。
在教学中，范例类比被广泛地使用着，如分式与分数的比较，它们有好些相同的性质，分子分母乘以同式或同数其结果不变；分母相同的分式相加、减与分母相同的分数相加、减有同样的运算法则，根据这些性质类似，可以类推出在分母不同的情况下，分式和分数的加减运算法则也是相同的。
2.3 直觉思维能力的培养
直觉思维是人类一种基本的思维形式，包括直觉的判别，想像和启发，它是感性和理性，具体和抽象的辩证统一，是认识过程的飞跃和渐进的中断，直觉思维有两个显著特征：
思维的简缩性，中间步骤很少，往往由条件直接跳到结果，表现出过程和结果的直接性，思维的整体性[3]。
直觉思维在数学学习中有着重要作用，它有利于抽象问题的理解；有利合理的猜想；有利于探索解题途径；有利于创造性思维的发展，因此，培养中学生的直觉思维能力是非常必要的。
由于直觉思维与逻辑思维的互补作用，因此，直觉思维能力的培养应与逻辑思维能力培养相结合，具体做法是：
2.3.1 注意数形结合，建立智力图象
“数”与“形”是数学中最基本的两大概念，也是整个数学发展进程的两大柱石，数是关系借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念直观化，形象化，并使一些关系简单化，我们称这种抽象化，模式化的形象图形叫做智力图象[10]。
因此，要有目的的帮助学生学会抽象的概念与几何图形联系起来考虑，充分揭示抽象概念的几何背景，为发展直觉思维创造条件。
例1、已知2X+5Y≥11，5X+4Y≥19，且X≥0，Y≥0，求使7X+6Y取得最小值的X，Y的最小值？
分析：
这道题如果用代数法来解，很繁杂，如果建立智力图象，运用直觉思维，解法就显得直观，清晰，从解析几何知识可知，满足2X+5Y≥11的点在直线（L1）2X+5Y=1上和它的右上方。
如图（3-1）：
L2 Y
同理满足5X+4Y≥19的点在直线（L2）5X+4Y=19上 L
和它的右上方，加上X≥0，Y≥O，满足这四个条件 L1
的点在此图的阴影部分内，其中P点坐标就是 O X
方程组 5X+4Y=19
2X+5Y=11
的解 X=3 图3-1
Y=1
然后对7X+6Y=a，对于不同的a它表示一组平行的直线，本题就是要求这些平行线中与阴影部分有公共点，并且使a最小的一条，从图中可看出过P点的直线（L）：
7X+6Y=27满足这个条件，因为如果a<27虽有公共点，但不是最值，因此，以这样的方法就找到了本题的答案：
X=3，Y=1，最小值27.
2.3.2 培养观察、猜想、验证能力
直觉思维是在观察，猜想，验证中运用，在教学中培养学生观察，猜想，验证能力对发展直觉思维是非常有益的。
有些数学问题的结论，是需要根据已知条件，通过观察，猜想，验证引出来的，对于这类问题，如果一时得不出这个问题的结论，那么解的过程就不容易。
这时，不妨根据问题的条件分析一下这道题的某些简单的、特殊的情况，看能否从中猜想出问题的结论。
这样，不但可以从问题的某些简单的，特殊的情况猜想出问题的一般结论，而且还可以从中发现解题的途径和方法。
例2、在有理数范围内分解 的因式。
对于这个题，首先引导学生有目的猜想：
如果 能分解，那么它总可以分解为两个二项因式，并
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