新高考精品解析湖南省天壹名校联盟届高三上学期入学考试数学试题及详细解析.docx
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新高考精品解析湖南省天壹名校联盟届高三上学期入学考试数学试题及详细解析
湖南省天壹名校联盟·2022届高三上学期入学考试
数学试题
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本卷命题范围：
高考范围。
一、单选题：
本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数
满足：
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2．集合
，
，则
中的元素个数为（）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．已知等差数列
的通项公式为
，则其前
项和
的最大值为（）
A．15
B．16
C．17
D．18
4．已知
；
，若
是
的充分条件，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
5．已知
是定义在R上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点
成中心对称是（）
A．
B．
C．
D．
6．已知文印室内有5份待打印的文件自上而下摞在一起，秘书小王要在这5份文件中再插入甲乙两份文件，甲文件要在乙文件前打印，且不改变原来次序，则不同的打印方式的种数为（）
A．15
B．21
C．28
D．36
7．将函数
图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的
然后将所得图象向左平移
个单位,可得函数
的图象,则（）
A．2
B．0
C．
D．
8．如图,在正方体
中,
为
中点,过
且与
平行的平面交平面
于直线
则直线
与
所成角的余弦值是（）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．有一组样本数据：
1，2，4，3，1，2，1，则（）
A．这组数据的众数为2
B．这组数据的极差为3
C．这组数据的平均数为2
D．这组数据的中位数为
10．已知
则（）
A．
B．
C．
D．
11．已知
，
，
，则（）
A．
B．
C．
D．
12．抛物线
的焦点为
准线
交
轴于点
过焦点的直线
与抛物线
交于
，
两点,则（）
A．
B．
C．直线
与
的斜率之和为0
D．准线
上存在点
若
为等边三角形,可得直线
的斜率为
三、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．向量
，
，
，向量
与
的夹角为
，则
．
14．双曲线
的一条渐近线与
垂直，右焦点为
，则以原点为圆心，
为半径的圆的面积为．
15．如图，在六面体
中，
平面
，平面
平面
，
，
，
，
，四边形
是菱形，则六面体
的体积为．
16．已知：
，且
，则
．
四、解答题：
本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）如图，
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，
，且
．
（1）求
；
（2）在
内有点
，
，且
，直线
交
于点
，求
．
18．（本小题满分12分）已知：
数列
满足
.
（1）求
；
（2）求满足
的最大的正整数
的值.
19．（本小题满分12分）在四棱锥
中，
，
，
，
，
，平面
平面
.
（1）证明：
平面
平面
；
（2）求二面角
的正弦值.
20．（本小题满分12分）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
在
上有零点，求实数
的取值范围．
21．（本小题满分12分）有甲、乙两个袋子，甲袋子中有
个白球
个红球，乙袋子中有
个白球
个红球，从甲袋中随机抽取一个球与乙袋中随机抽取一个球进行互换．
（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；
（2）两次互换后，记
为“乙袋中红球个数”，求随机变量
的分布列与数学期望.．
22．（本小题满分12分）椭圆
的右顶点为
上顶点为
为坐标原点,直线
的斜率为
的面积为
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上有两点
（异于椭圆顶点,且
与
轴不垂直）,
证明:
当
的面积最大时,直线
与
的斜率之积为定值.
湖南省天壹名校联盟2022届高三上学期入学考试数学试题答案与解析
选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
B
C
B
B
C
D
BC
CD
AC
BCD
1．C【解析】设
，则
，
，
∴
．
2．A【解析】集合S的元素中，满足除以4余1的整数有5，9两个.
3．B【解析】当
时，
，可得当
时，
，
的最大值为
．
4．C【解析】
，
，可知：
．
5．B【解析】
是奇函数，关于点
对称，函数
图象左移1个单位，可关于点
对称.
6．B【解析】原来5份文件加上甲乙两份共7份文件，不同的打印方式有
种．
7．C【解析】先将
向右移
个单位得
，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍,得
故
8．D【解析】
故平面
即为过
且与
平行的平面,取
中点为
中点为
易证平面
平面
交
则
又
故
即为所求的异面直线所成角,
故
.
9．BC【解析】众数为1，极差为
，平均数为
，中位数为2，故答案为BC．
10．CD【解析】
故
，A错误；
B:
为减函数,故B错误；
C:
减函数在
）上为减函数,故
正确；
D:
函数
为减函数,故
正确.
11．AC【解析】A：
，A正确，B错误；C：
，
，故C正确；由前面讨论可知，D错误.
12．BCD【解析】对于A,由
可得
故A错误；
对于B，设
，
两点的坐标分别为
，直线
的方程为
.联立方程
消去
后整理为
，有
，
，
，
，
，故B正确；
对于C，
故C正确；对于D，如图，设
的中点为
，连
，过
作
直线
为垂足，由
，
，可得
，可得
，由对称性及
可知直线
的斜率为
，故D选项正确．
填空题：
13
14
15
16
8
13．
【解析】
，即
.
14．
【解析】双曲线的渐近线方程为
，故
，故
，所求圆的面积为
.
15．8
【解析】
，可得
，
，取
中点为
，则
，
，故六面体的体积为
.
16．
【解析】原式化为
，即
，
令
，
，故可得
，
故
或
，
对
：
，故
，
对
：
，不合题意，故
.
解答题：
17．【解析】
（1）
，
即
，∴
或
，
∵
，∴
，故
，∴
．
（2）在
中，设
，则
，
在
中，则
，
而
，
．
18．【解析】
（1）
，两式相除可得：
而
，故等比数列
的通项公式为：
.
（2）
与
得
，
，
故
而
故
的最大值为5.
19．【解析】
（1）证明：
取
的中点为
，则
且
，所以
，
所以
又因为平面
平面
，所以
平面
，所以
又因为
，
平面
，而
平面
，所以平面
平面
（2）以
为原点，
，
方向分别为
，
轴的正方向，垂直于平面
向上的方向为
轴的正方向，建立空间直角坐标系
，如图，
则
，
，
，
，
，
由
（1）知平面
的法向量为
设平面
的法向量为
，则
，
，令
，
，
，
所以
设平面
与平面
夹角为
，所以
所以二面角
的正弦值为
20．【解析】
（1）
，
①当
，即
时，
时，
，
为增函数；
时，
，
为减函数；
时，
，
为增函数．
②当
时，
，故
在
上为增函数．
③当
时，
时，
，
为增函数；
时，
，
为减函数；
时，
，
为增函数．
（2）当
时，
，可知：
①当
，即
时，
，
为增函数，
，故只须
，
．
②当
时，
时，
，
时，
．故只须满足：
，
而
，故
在
上有零点，
综上所述，
的取值范围是
．
21．【解析】
（1）一次互换，红球换红球，白球换白球，可得
两袋中红球与白球个数不变，
概率为
；
（2）
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故
的分布列为：
故
22．【解析】
（1）
故
故椭圆方程为
.
（2）设
直线
方程为
代人椭圆方程整理得
而且
即
由求根公式得
原点
到
的距离为
∴
当且仅当
即
时取等号,
此时,
.故得证.
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