解
（1）导体B和带电板A共同达到静电平衡。
由静电平衡导体表面
的电荷密度和导体表面外附近处场强的关系，可得
P点处的场强为
（2）电荷元二2丄S所受电场力为f
其中E是指在导体B表面P点附近挖去面元=S后，导体B上剩下的电荷以及带电板A上的电荷在面元S所在处产生的场强，我们把挖去面元S后导体B上剩下的电荷以及带电板A上的电
荷称为其它电荷。
这样一来，导体内与P点紧邻处的总场强是由电荷元二2‘S和其它电荷共同产
生的，在静电平时该点总场强为零。
考虑面元S邻近处的场强，可将S看成无限大带电平板，
P点处的场强等于
因此电荷元—AS两侧的场强的大小都为o-^/（^0），方向沿离开AS的方向（设▽2=0）。
由于总场强为零，所以其它电荷在导体内与P点紧邻处的场强的大小等于匚2,（2；0），方向与电荷元二2丄S的场强的方向相反，垂直于导体表面向外。
为使全部电荷分布在导体外
匚2,；0，则要求其它电荷在导体外P点处的场强与在导体内与P点紧邻处的场强大小、方向都
相同。
由于在没有电荷的空间电场线是连续的，所以其它电荷在面元
■.2
E-因此，电荷元6詣所受的电场力为f二;「2厶SE二
2名0
S所在处产生的场强为
二S方向垂直于导体表面向外。
2;0
h处,
5、如图所示，一个点电荷q放在一无限大接地金属平板上方
试根据电场叠加原理求出板面
P•点总场强为零,
所以E1和E2大小相等,
备注：
求解此类习题常出现的错误是
方向相反。
在图（b）中,
E1和E2分别代表点电荷
q和金属板表面的感生电荷在
P点的场强。
因P点和
P•点紧邻，则已
=E1。
由于P点和P点镜面对称，所以E2和E2也镜面对称。
因此，点电荷
q和金属板表面的感生电荷在P点的总场强为
CL.
E=-2Eisinq——负号代表方向竖直向下。
由静电平衡导体表面的
2兀讣R
电荷密度和导体表面外附近处场强的关系，可得三二E=_—J卫
所以，板面上距q为R处的感生面电荷密度为c
qh
3
6、径为Ri的导体球，带电荷q，在它外面同心地罩一金属球壳，其内、外半径分别为
R2=2Ri,
R3=3Ri，今在距球心
d=4R1处放一电荷为Q的点电荷，并将球壳接地（如图所示），试求球壳上
感生的总电荷.
A、
-_3Qq
3QC、-qD、-I3Qq1答案：
A
4
解：
应用高斯定理可得导体球与球壳间的场强为
E=qr/4二；0r3
（RivrvR2）
设大地电势为零，则导体球心0点电势为:
r2q
U0Edr-
只4二；0Rr
R2dr
2
根据导体静电平衡条件和
应用高斯定理可知，球壳内表面上感生电荷应为一q.设球壳外表面上感生电荷为Q'.以无
穷远处为电势零点，根据电势叠加原理，导体球心0处电势应为：
Uo
4江R3R2R1；
假设大地与无穷远处等电势，则上述二种方式所得的
0点电势应相等，由此可得
Q「3Q
4
故导体壳上感生的总电荷应是-号7
7、两个半径分别为R1和R2（R|vR2）的同心薄金属球壳，现给内球壳带电
外球壳上的内表面带电则为
，外表面带电为
，其电势大小
A、-qB、qC
D、0答案：
A,B,C
（2）先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，外球壳上的内表面带电则为
外表面带电
，其电势大小
A、
R^R2q
B、
R2
&qC…
R24n0R
q答案:
B,A,D
解：
⑴内球带电q;球壳内表面带电则为-q,外表面带电为•q，且均匀分布，其电势
qdr
R24n；0r2
q
4n；oR
（2）外壳接地时，外表面电荷
q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为
-q•所以球壳电势由内球
q与内表面-q产生:
d=3R处有一点电荷
⑶设此时内球壳带电量为q七则外壳内表面带电量为-q，，外壳外表面带电量为-q・q，（电荷
守恒），此时内球壳电势为零，且
」g口=0得q丄旦q外球壳上电势
4n；0R14n0R24n；0R2R2
q'q'_qq'=R卡q
4npR24n0R24n“0R24n-0R2
8、半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为
+q，试求：
金属球上的感应电荷的电量.答案：
-q/3解：
如图所示，设金属球感应电荷为q•，则球接地时电势U。
=0
由电势叠加原理有：
UO1q0
4n0R4n03R
9、一个半径为R的各向同性均匀电介质球，相对介电常量为；r,球内均匀地分布着体密度为「的
自由电荷，试求球心与无穷远处的电势差•答案：
B
A、
2i1R2'B
2；r1R2?
2r1R"
C、rD
2；0；r
6；0；r
3%%
解：
由高斯定理可求得：
P
球内:
Er
球夕卜:
2；r1R2r
r3?
30r2
:
:
rp
Uo二Edrrdr
o---o-0■
0-T
:
:
R3t
3；°r
2dr
6；o；r3；o
10、有三个大小相同的金属小球，小球1,2带有等量同号电荷，相距甚远,
求:
（1）用带绝缘柄的不带电小球
3先后分别接触1,2后移去,
（2）小球3依次交替接触小球
1,
2很多次后移去，小球1，
4
9Fo
B、
3Fo
C、
FoD、3Fo答案:
4
解：
由题意知
Fo
（1）小球3接触小球
1后，小球3和小球1均带电q
小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电
此时小球1与小球2间相互作用力片=.q'q"2
（2）小球3依次交替接触小球1
2很多次后,
小球1、2间的作用力F2
2；r1R2T
6；o；r
其间的库仑力为F。
•试
小球1，2之间的库仑力
2之间的库仑力
C,A
32
8q
4nor4nor2
每个小球带电量均为
4nor^9Fo
3
Fo
8
2q
11、在半径为R的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为；「,
金属球带电Q.试求:
（1）电介质内的场强
电介质外的场强
B、
3
2n；0；rr
4nor3
Q'3答案：
A,C
2nor
（2）电介质层内的电势
.电介质外的电势
B、
2nor
斗）
4no7r
（3）金属球的电势
.答案:
1；r-1
4B、
R2
R2
—（^七」答案：
C,A
2no；rr
R2
2（R
np'rIR
D
2Q
n；0；r
解：
利用有介质时的高斯定理：
DGS-7q
S
-Qr-Qr
（1）介质内（R：
r:
:
:
R2）场强D3,E内3
4nr4n0%r
介质外（r:
:
R2）场强D二
Qr
4nr3
Qr
4n;0r3
再Q
⑵介质外（r-R2）电势UE外dr:
Lr4n0r
介质内（Ri:
:
:
r:
:
:
R2）电势
U=E内drE外dr
rr
亠（1一丄）•亠
4n0；rrR24n0R2
（-
■1
匚）
R2
（3）金属球的电势
U=：
E内dr；E外dr
r2Qdr
R4n；o；」2
:
:
Qdr
R24nor2
L（丄,1）
4n0rR1R2
一、判断题
1、处于静电平衡的导体表面不是等势面。
错误
分析：
处于静电平衡的导体是等势体，导体表面是等势面，此时导体表面及内部不会发生电荷的
定向运动。
2、导体的静电平衡状态是指导体内部和表面都没有电荷的状态错误
分析：
静电平衡状态指的是导体内没有电荷的定向运动，而不是指没有电荷。
3、处于静电平衡的空腔导体，当空腔内有电荷q时,内表面因静电感应出现等值异号的电荷
-q,外表面有感应电荷q（电荷守恒）。
正确
4、空腔导体可以屏蔽外电场，使空腔内物体不受外电场影响。
这时，整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等。
正确5、将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近，导体B的电势将降低。
错误分析：
不带电的导体相对无穷远处为零电势。
由于带正电的带电体A移到不带电的导体B附近时,
在导体B的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带导体的电势将高于无穷远处，即导体B的电势将升高。
6、将电介质放置到外电场中，电解质就会立刻失去了绝缘性。
错误
分析：
电介质内几乎不存在自由电子（或正离子）。
当把电介质放置到外电场中，电解质中的电
子等带电粒子，也只能在电场力的作用下作微观的相对移动。
只有在强电场的作用下被击穿，电
解质中的一些电子才被解除束缚而作宏观的定向运动，从而失去绝缘性。
7、高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D为零错误
分析：
根据有介质时的高斯定理，高斯面内不包围自由电荷时，高斯面上的电位移通量等于零，
即D・dS=0，但不能由此推出D=0
S
8、高斯面上处处D为零，则面内必不存在自由电荷；错误
分析：
根据高斯定理，高斯面上处处D为零，则高斯面上的电位移通量等于零，即-DS=7Q=0，1Q为零即表示面内自由电荷的代数和为零。
S
9、高斯面的电位移（D）通量仅与面内自由电荷有关；正确
分析：
高斯面的电位移通量-DVS-7QQ为面内自由电荷的代数和。
S
10、若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷。
错误分析：
电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，根据高斯定理，只能判断出
曲面内一定有自由电荷。
11、在静电场中，作闭合曲面S,若有IDdS=0（式中D为电位移矢量），贝yS面内必定自
S
由电荷和束缚电荷的代数和为零；错误
分析：
根据高斯定理，高斯面上的电位移通量等于零，则面内自由电荷的代数和为零
12、介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关正确
13、各相同性的均匀电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强
1
度一定等于没有介质时该点电场强度的丄倍。
正确
6
14、电介质中的电场强度一定等于没有介质时的该点电场强度的；r倍错误
分析：
对于正确各相同性的均匀电介质，表述应该如下，电介质充满整个电场并且自由电荷的分
—倍。
布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的
三填空题：
1、任意带电体在导体体内（不是空腔导体的腔内）（填会或不会）产生电场，处于静电平衡下
的导体，空间所有电荷（含感应电荷）在导体体内产生电场的（填矢量和标量）叠加为零.
答案：
会，矢量分析：
答案依次为会，矢量。
注意电场是矢量场。
2、处于静电平衡下的导体表面（填是或不是）等势面,导体表面附近的电场线与导体
表面相互,导体体内的电势（填大于，等于或小于）导体表面的电势•答
案：
是，垂直，等于分析：
答案依次为是，垂直，等于。
要注意静电平衡下的导体是等势体，表面电势也相等。
导体表面的电场线必须与导体表面相垂直，
否则导体表面就不可能成为等势面。
3、一孤立带电导体球，其表面处场强的方向;当把另一带电体放在这个导
体球附近时，该导体球表面处场强的方向。
答案：
垂直于表面仍垂直于表面
分析：
垂直于表面仍垂直于表面
静电平衡时导体是等势体，导体表面的场强方向必定满足垂直于表面。
4、在静电场中，电位移线从出发，终止于.
答案：
正的自由电荷、负的自由电荷
分析：
答案依次为正的自由电荷、负的自由电荷。
要注意电位移与电场之间的关系。
5、在相对介电常数为；r的各向同性电介质中，电位移矢量与场强之间的关系
是。
答案：
⑰rE分析：
答案为D=；0；rE
6、两个点电荷在真空中相距为》时的相互作用力等于它们在某一无限大”各项同性均匀电介质
中相距为Q时的相互作用力，则该电介质的相对介电常数
答案：
ri2/「22分析：
答案为
。
根据题设有
肿2_胸2
2—2，
4二；0几4二；r2
2
ri
2
7、分子的正负电荷中心重合的电介质叫做电介质。
在外电场作用下，分子
的正负电荷中心发生相对位移，形成。
中心重合，有机分子正负电荷中心形成电偶极子。
8、如图所示，平行板电容器中充有各向同性
均匀电介质。
图中画出两组带箭头的线分别表示电力线、电位移线。
则其中
（1）为，
（2）为。
（2）
答案：
电位移线，电力线
分析：
答案依次为电位移线、电力线。
电位移是从正的自由电荷到负的自由电荷，而电力线还包括从自由电荷到极化电荷。
9、半径为R和R2的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为気的均匀介质。
设两筒上单位长度带电量分别为+入和一人则介质中的电位移矢量的大小D=__________，电场强度的大小,E
=。
答案：
2nr）召慣）
分析：
答案依次为、一。
2叼2兀％即
根据有电介质时的高斯定理DQS=7Q可以得到相对介电常数为；r的均匀介质中
S
电位移矢量的大小D，再由D=；0；rE便可得到电场强度的E的大小。
2兀r
10、一点电荷q被放在一个介电常量；为的有限大各向同性均匀电介质球的中心，则在介质球外
距球心为r处的P点的场强大小Ep=
答案:
q
4二；0r2
11、描述电介质极化强度的物理量电极化强度P的定义式是，它的物理意义是
答案：
刀p/△V,某点附近单位体积中的分子电矩矢量和
分析:
答案依次为
、某点附近单位体积中的分子电矩矢量和。
12、平板电容器充电后断开电源，场强为E0,现充满相对介电常数为；r的电介质，则其极化强度
为。
答案：
（1-1/r）E
''1、---e
分析：
答案为先1Eo,具体表达式如下：
P=怎oE=（£-1乳0
、选择题1、一带正电何的物体M，靠近一不带电的金属导体N,N的左端感应出负电何，右
端感应出正电荷，若将N的左端接地，如图所示，贝U答案：
B
（A）N上的负电荷入地（B）N上的正电荷入地
（C）N上的电荷不动（D）N上所有电荷都入地
分析：
选（B）。
导体N接地表明导体N为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N在哪一段接地无关3、有一带正电荷的大导体，欲测其附近P点处的场强，将一电荷量为qo（qo>0）的点电荷放在P点，如图所示，测得它所受的电场力为F•若电荷量qo不是足够小,
则
（A）F/qo比P点处场强的数值大；（B）F/qo比P点处场强的数值小；
（C）F/qo与P点处场强的数值相等；（D）F/qo与P点处场强的数值哪
个大无法确定•答案：
B分析：
选（B）。
qo电量不是足够小，将影响导体上电荷的分布，近端的电荷在库仑力的作用下原理P点，因此选B。
4、有一接地的金属球，用一弹簧吊起，金属球原来不带电•若在它的下方放置一电
量为q的点电荷，贝U答案：
C
（A）只有当q>0时，金属球才下移.（B）只有当q<0时，金属球才下移.
（C）无论q是正是负金属球都下移.（D）无论q是正是负金属球都不动.
分析：
选（C）q不论正负，由于接地，金属球上的出现的感应电荷中只保留与q
异号的电荷，因此在库仑力的作用下，金属球都要下移。
5、把A，B两块不带电的导体放在一带正电导体的电场中，如图所示。
设无限远处为电势零点，A的电势为Ua，B的电势为Ub，则答案：
D
（A）Ub>Ua工0（B）Ub>Ua=0（C）Ub=Ua（D）Ub分析：
选（D）。
可以根据电场线的分布来判断电势的高低。
'
图所示，设地的电势为零，则球上的感生电荷q为
答案：
C
6、半径为R的金属球与地连接.在与球心0相距d=2R处有一电荷为q的点电荷.如
（A）o.（B）q.（C）-q.
22
分析：
选（C）。
由已知题设，电势叠加有—^+―^=0，所以感生电荷总量为
4w0d4w0R
R
2R
7、如图所示，两同心金属球壳，它们离地球很远，内球壳用细导线穿过外球壳上的绝缘小孔与地连接，外球壳上带有正电荷，则内球壳：
（A）不带电荷.（B）带正电荷.（C）带负电荷.
（D）内球壳外表面带负电荷，内表面带等量正电荷•答案：
C
分析：
选（C）。
外球壳有正电荷，由于接地，则大地中的负电荷进入内球壳。
十十十、
dS
8、一带电孤立导体，处于静电平衡时其电荷面密度的分布为匚x,y,z。
已知面元dS处的电荷面密度为co0，如图所示，贝U导体上除dS面元处的电荷以外的其它电荷在dS处产生的电场强度的大小为
（A）—（B）—.（C）J；。
.（D）2^0•答案：
B
%2®
分析：
选（B）。
带电导体表面的场强大小与表面电荷面密度的关
系E=—，考虑面元dS邻近处的场强，可将dS看成无限大带电平板，因此电荷元匚0dS
%
两侧的场强的大小都为匚0,2；0），方向沿离开dS的方向。
所以其它电荷在导体内与P
点紧邻处的场强的大小等于二0.（2；0），方向与电荷元二0dS的场强的方向相反，垂直
于导体表面向外。
为使全部电荷分布在导体外P点处的场强等于匚0.「（；0），则要求其
它电荷在导体外P点处的场强与在导体内与P点紧邻处的场强大小、方向都相同。
其它电荷在面元S所在处产生的场强为E-
2®
9、一均匀带电球体，总电量为+Q,其外部同心地罩一内、外半径分别为GJ的金属
球壳，设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r（ri：
：
：
r:
:
的P点处的场强和
电势为
（A八EQ^,U-（B）、E=0,U-（C八E=0,U—
4兀w0r4兀名0r^s0r14兀E0r
（D）、E=0,U—答案：
D
4®r2
分析：
选（D）。
球壳达到静电平衡后，球壳的内表面带-Q的感应电荷，外表面带+Q的感应电荷，球壳内部场强为零，球壳为等势体。
P点处的电势就等于球壳表面的
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