高考数学总复习 第二章25 函数的奇偶性与周期性教案 理 北师大版.docx

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高考数学总复习第二章25函数的奇偶性与周期性教案理北师大版

2019-2020年高考数学总复习第二章2.5函数的奇偶性与周期性教案理北师大版

考纲要求

1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

2．会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性．

3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

知识梳理

1．函数的奇偶性

奇偶性

定义

图像特点

偶函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f（x）是偶函数

关于____对称

奇函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f（x）是奇函数

关于______对称

2．周期性

（1）周期函数：

对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝______，那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的一个周期．

（2）最小正周期：

如果在周期函数f（x）的所有周期中____________的正数，那么这个____正数就叫作f（x）的最小正周期．

基础自测

1．函数f（x）＝

－x的图像关于（　　）．

A．y轴对称

B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称

D．直线y＝x对称

2．函数f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f（x）在区间（－5，－3）上（　　）．

A．先减后增B．先增后减

C．单调递减D．单调递增

3．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f

（1）＝1，f

（2）＝2，则f（3）－f（4）＝（　　）．

A．－1B．1

C．－2D．2

4．偶函数f（x）是以4为周期的函数，f（x）在区间[－6，－4]上是减少的，则f（x）在[0,2]上的单调性是__________．

思维拓展

1．奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？

它是函数具有奇偶性的什么条件？

提示：

定义域关于原点对称，必要不充分条件．

2．若f（x）是偶函数且在x＝0处有定义，是否有f（x）＝0？

奇函数呢？

提示：

不一定，如f（x）＝x2＋1是偶函数，而f（0）＝1；若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0.

3．若T为y＝f（x）的一个周期，那么nT（n∈Z）是函数f（x）的周期吗？

提示：

不一定．由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当n∈Z且n≠0时，nT是f（x）的一个周期．

4．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？

若有，有多少个？

提示：

存在，即f（x）＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．

一、函数奇偶性的判定

【例1】判断下列函数的奇偶性．

（1）f（x）＝

＋

；

（2）f（x）＝（x＋1）

；

（3）f（x）＝

方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路：

1．定义法

2．图像法

3．性质法：

（1）“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；

（2）“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；

（3）“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．

提醒：

（1）分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的化简解析式，判断f（x）与f（－x）的关系，得出结论，也可以利用图像作判断．

（2）“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．

（3）性质法在小题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．

请做[针对训练]1

二、抽象函数的奇偶性

【例2】函数f（x）的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）．

（1）求f

（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明．

方法提炼抽象函数奇偶性的判断方法：

1．利用函数奇偶性的定义，找准方向（想办法出现f（－x），f（x））；

2．巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；

3．找出f（－x）与f（x）的关系，得出结论．

提醒：

抽象函数奇偶性的判断，关键是要充分理解题意，灵活选取变量的值．

请做[针对训练]2

三、函数奇偶性的应用

【例3－1】设偶函数f（x）满足f（x）＝x3－8（x≥0），则{x|f（x－2）＞0}＝（　　）．

A．{x|x＜－2或x＞0}B．{x|x＜0或x＞4}

C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜－2或x＞2}

【例3－2】设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间（－b，b）内的函数f（x）＝lg

是奇函数，则a＋b的取值范围为__________．

【例3－3】设函数f（x）＝x3＋bx2＋cx（x∈R），已知g（x）＝f（x）－f′（x）是奇函数．

（1）求b，c的值；

（2）求g（x）的单调区间与极值．

方法提炼函数奇偶性的应用：

1．已知函数的奇偶性求函数的解析式

抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f（x）的方程，从而可得f（x）的解析式．

2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：

利用f（x）±f（－x）＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．

3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

提醒：

（1）奇函数f（x）在x＝0处有意义，一定有f（0）＝0.

（2）f（x）是偶函数⇔f（－x）＝f（x）＝f（|x|）．

请做[针对训练]3

四、函数的周期性及其应用

【例4－1】（xx浙江金华十校联考）若存在常数p＞0，使得函数f（x）满足f（px）＝f

（x∈R），则f（x）的一个正周期为__________．

【例4－2】已知定义在R上的奇函数f（x）的图像关于直线x＝1对称，f（－1）＝1，则f（2008）＋f（2009）＋f（2010）＋f（2011）＝__________.

方法提炼关于函数周期性常用的结论：

（1）定义在R上的函数f（x），①若有两条对称轴x＝a，x＝b，则f（x）是周期函数且2|a－b|是它的一个周期；②若有两个对称中心（a,0），（b,0），则f（x）是周期函数且2|a－b|是它的一个周期；③若有一个对称中心（a,0）和一条对称轴x＝b，则f（x）是周期函数且4|a－b|是它的一个周期．

（2）若对于函数f（x）的定义域内任一个自变量的值x都有f（x＋a）＝－f（x）或f（x＋a）＝

或f（x＋a）＝－

（a是常数且a≠0），则f（x）是以2a为一个周期的周期函数．

（3）如果T是函数y＝f（x）的周期，则①kT（k∈Z且k≠0）也是y＝f（x）的周期，即f（x＋kT）＝f（x）；②若已知区间[m，n]（m＜n）的图像，则可画出区间[m＋kT，n＋kT]（k∈Z且k≠0）上的图像．

请做[针对训练]4

考情分析

从近两年的高考试题看，函数奇偶性、周期性的应用是高考的热点，多以选择题和填空题的形式出现，与函数的概念、图像、性质综合在一起考查，难度一般不大．

预测今后高考将以三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性与周期性为主要考点，重点考查逻辑推理与理解能力．

针对训练

1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（　　）．

A．y＝2|x|B．y＝lg（x＋

）

C．y＝2x＋x－xD．y＝lg

2．已知函数f（x）对一切x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），则f（x）为（　　）．

A．偶函数B．奇函数

C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数

3．函数f（x）的定义域为R，且满足：

f（x）是偶函数，f（x－1）是奇函数，若f（0.5）＝9，则f（8.5）等于（　　）．

A．－9B．9

C．－3D．0

4．（xx江西南昌二中月考）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x＋4）＝－

，且当x∈[－3，－2]时，f（x）＝4x，则f（2011）＝__________.

参考答案

基础梳理自测

知识梳理

1．f（－x）＝f（x）　y轴　f（－x）＝－f（x）　原点

2．

（1）f（x）　

（2）存在一个最小　最小

基础自测

1．C　解析：

判断f（x）为奇函数，图像关于原点对称，故选C.

2．D　解析：

当m＝1时，f（x）＝2x＋3不是偶函数，当m≠1时，f（x）为一元二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y轴，故需m＝0，此时f（x）＝－x2＋3，其图像的开口向下，所以函数f（x）在（－5，－3）上单调递增．

3．A　解析：

∵f（3）＝f（5－2）＝f（－2）＝－f

（2）＝－2，f（4）＝f（5－1）＝f（－1）＝－f

（1）＝－1，∴f（3）－f（4）＝－1，故选A.

4．增加的　解析：

∵T＝4，且在x∈[－6，－4]上是减少的，

∴函数在（x＋4）∈[－2,0]上也是减少的，又f（x）为偶函数，故f（x）的图像关于y轴对称，

由对称性知f（x）在[0,2]上是增加的．

考点探究突破

【例1】解：

（1）由

得x＝－

或x＝

.

∴函数f（x）的定义域为{－

，

}．

∵对任意的x∈{－

，

}，－x∈{－

，

}，且f（－x）＝－f（x）＝f（x）＝0，

∴f（x）既是奇函数，又是偶函数．

（2）要使f（x）有意义，则

≥0，

解得－1＜x≤1，显然f（x）的定义域不关于原点对称，

∴f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

（3）∵

∴－2≤x≤2且x≠0.

∴函数f（x）的定义域关于原点对称，

f（x）＝

＝

.

又f（－x）＝

＝－

，

∴f（－x）＝－f（x），即函数f（x）是奇函数．

【例2】解：

（1）令x1＝x2＝1，

有f（1×1）＝f

（1）＋f

（1），

解得f

（1）＝0.

（2）f（x）为偶函数，证明如下：

定义域D＝{x|x≠0}关于原点对称．

令x1＝x2＝－1，

有f[（－1）×（－1）]＝f（－1）＋f（－1），解得f（－1）＝0.

令x1＝－1，x2＝x，有f（－x）＝f（－1）＋f（x），∴f（－x）＝f（x），∴f（x）为偶函数．

【例3－1】B　解析：

当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）＝（－x）3－8＝－x3－8，

又f（x）是偶函数，

∴f（x）＝f（－x）＝－x3－8.

∴f（x）＝

∴f（x－2）＝

由f（x－2）＞0得：

或

解得x＞4或x＜0，故选B.

【例3－2】

　解析：

∵f（x）在（－b，b）上是奇函数，

∴f（－x）＝lg

＝－f（x）＝－lg

＝lg

，

∴

＝

对x∈（－b，b）成立，可得a＝－2（a＝2舍去）．

∴f（x）＝lg

，

由

＞0，得－

＜x＜

，

又f（x）定义区间为（－b，b），

∴0＜b≤

，－2＜a＋b≤－

.

【例3－3】解：

（1）∵f（x）＝x3＋bx2＋cx，∴f′（x）＝3x2＋2bx＋c，

∴g（x）＝f（x）－f′（x）

＝x3＋（b－3）x2＋（c－2b）x＋c，

∵g（x）是一个奇函数，

∴g（0）＝0，得c＝0，

由奇函数定义f（－x）＝－f（x）得b＝3.

（2）由

（1）知g（x）＝x3－6x，

从而g′（x）＝3x2－6，

由此可知，（－∞，－

）和（

，＋∞）是函数g（x）的增区间；（－

，

）是函数g（x）的减区间．

g（x）在x＝－

时，取得极大值，极大值为4

；

g（x）在x＝

时，取得极小值，极小值为－4

.

【例4－1】　

　解析：

f

＝f

＝f

＝f（x），

所以，函数f（x）是以

为周期的周期函数．

【例4－2】0　解析：

由已知得f（0）＝0，f

（1）＝－1，

又f（x）关于x＝1对称，

∴f（x）＝f（2－x）且T＝4，

∴f

（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（3－4）＝f（－1）＝1，

f（2008）＝f（0）＝0，f（2009）＝f

（1）＝－1，

f（2010）＝f

（2）＝0，f（2011）＝f（3）＝1.

f（2008）＋f（2009）＋f（2010）＋f（2011）＝0.

演练巩固提升

针对训练

1．D　解析：

对于D，y＝lg

的定义域为{x|x＞－1}，不关于原点对称，是非奇非偶函数．

2．B　解析：

显然f（x）的定义域是R，它关于原点对称．

令y＝－x，得f（0）＝f（x）＋f（－x），

又∵f（0）＝0，∴f（x）＋f（－x）＝0，

即f（－x）＝－f（x）．

∴f（x）是奇函数，故选B.

3．B　解析：

由题可知，f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（－x）．

又f（x－1）是奇函数，

所以f（－x－1）＝－f（x－1）．

令t＝x＋1，可得f（t）＝－f（t－2），

所以f（t－2）＝－f（t－4）．

所以可得f（x）＝f（x－4），所以f（8.5）＝f（4.5）＝f（0.5）＝9，故选B.

4．－12　解析：

∵f（－x）＝f（x），f（x＋8）＝f（x＋4＋4）＝－

＝f（x），

∴f（x）的周期为8.

∴f（2011）＝f（3）＝f（－3）＝4×（－3）＝－12

2019-2020年高考数学总复习第二章2.7指数与指数函数教案理北师大版

考纲要求

1．了解指数函数模型的实际背景．

2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点．

4．知道指数函数是一类重要的函数模型．

知识梳理

1．根式

（1）根式的概念

根式的概念

符号表示

备注

如果存在实数x，使得______，那么x叫作a的n次方根

a∈R，n＞1且n∈N＋

当n为奇数时，正数的n次方根是一个____，负数的n次方根是一个____

零的n次方根是零

当n为偶数时，正数的n次方根有______，它们互为______

±

负数没有偶次方根

（2）两个重要公式

①

＝

②（

）n＝______（n＞1且n∈N＋）（注意a必须使

有意义）．

2．实数指数幂

（1）分数指数幂的表示

①正数的正分数指数幂的意义是

______（a＞0，m，n∈N＋，n＞1）．

②正数的负分数指数幂的意义是

______＝

（a＞0，m，n∈N＋，n＞1）．

③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义．

（2）有理指数幂的运算性质

①aras＝____（a＞0，r，s∈Q）；

②（ar）s＝____（a＞0，r，s∈Q）；

③（ab）r＝____（a＞0，b＞0，r∈Q）．

（3）无理指数幂

一般地，无理指数幂aα（a＞0，α是无理数）是一个____的实数，有理指数幂的运算法则________于无理指数幂．

3．指数函数的图像和性质

函数

y＝ax（a＞0，且a≠1）

图像

0＜a＜1

a＞1

图像特征

在x轴______，过定点

当x逐渐增大时，图像逐渐下降

当x逐渐增大时，图像逐渐上升

性

质

定义域

__________

值域

__________

单调性

在R上__________

在R上__________

函数值变

化规律

当x＝0时，__________

当x＜0时，__________；

当x＞0时，__________

当x＜0时，__________；

当x＞0时，__________

基础自测

1．化简

（x＜0，y＜0）得（　　）．

A．2x2yB．2xy

C．4x2yD．－2x2y

2．函数y＝（a2－3a＋3）ax是指数函数，则有（　　）．

A．a＝1或a＝2

B．a＝1

C．a＝2

D．a＞0且a≠1

3．把函数y＝f（x）的图像向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y＝2x的图像，则（　　）．

A．f（x）＝2x＋2＋2B．f（x）＝2x＋2－2

C．f（x）＝2x－2＋2D．f（x）＝2x－2－2

4．设指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），则下列等式不正确的是（　　）．

A．f（x＋y）＝f（x）·f（y）B．f[（xy）n]＝fn（x）·fn（y）

C．f（x－y）＝

D．f（nx）＝fn（x）

5．函数（a＞1）恒过点（1,10），则m＝__________.

思维拓展

1．分数指数幂与根式有何关系？

提示：

（a＞0，m，n∈N＋，且n＞1），（a＞0，m，n∈N＋，且n＞1）．

2．如图是指数函数

（1）y＝ax，

（2）y＝bx，（3）y＝cx，（4）y＝dx的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？

你能得到什么规律？

提示：

图中直线x＝1与它们图像交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1＞d1＞1＞a1＞b1，∴c＞d＞1＞a＞b，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．

3．函数y＝ax，y＝a|x|，y＝|ax|（a＞0，a≠1）三者之间有何关系？

提示：

y＝ax与y＝|ax|是同一个函数的不同表现形式，函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其图像关于y轴对称，当x≥0时两函数图像相同．

一、指数幂的化简与求值

【例1】计算：

__________.

方法提炼指数幂的化简与求值

（1）化简原则：

①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．

提醒：

有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．

（2）结果要求：

①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．

请做[针对训练]3

二、指数函数的图像与性质的应用

【例2－1】在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝

x的图像之间的关系是（　　）．

A．关于y轴对称B．关于x轴对称

C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称

【例2－2】已知函数

（1）若a＝－1，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有最大值3，求a的值．

【例2－3】k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？

有一解？

有两解？

方法提炼1．与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．

2．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤：

（1）求复合函数的定义域；

（2）弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；

（3）分层逐一求解函数的单调性；

（4）求出复合函数的单调区间（注意“同增异减”）．

3．函数y＝af（x）的值域的求解，先确定f（x）的值域，再根据指数函数的单调性，确定y＝af（x）的值域．

请做[针对训练]2

三、指数函数的综合应用

【例3】已知f（x）＝

（ax－a－x）（a＞0且a≠1）．

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）讨论f（x）的单调性；

（3）当x∈[－1,1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

方法提炼1．利用指数函数的性质解决相关的综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

2．解决恒成立问题，一般需通过分离变量，通过转化为求函数的最值来实现．

请做[针对训练]5

考情分析

对指数函数基础知识的考查：

以考查指数幂的运算法则为目的，如指数运算，求函数值等；以考查指数函数的单调性为目的，如比较函数值的大小、解简单的指数不等式等．题型主要是选择题、填空题，属中低难度．

预测xx年高考仍将以指数函数的图像与性质为主要考点，重点考查应用知识解决问题的能力．

针对训练

1．（xx山东高考，文3）若点（a,9）在函数y＝3x的图像上，则tan

的值为（　　）．

A．0B．

C．1D．

2．函数y＝

（0＜a＜1）图像的大致形状是（　　）．

3．（xx四川高考，理13）计算＝__________.

4．（xx江西临川一中月考）若函数y＝

|1－x|＋m的图像与x轴有公共点，则实数m的取值范围是（　　）．

A．m≤－1B．－1≤m＜0

C．m≥1D．0＜m≤1

5．若函数y＝

为奇函数．

（1）求a的值；

（2）求函数的定义域；

（3）讨论函数的单调性．

参考答案

基础梳理自测

知识梳理

1．

（1）xn＝a　正数　负数　两个　相反数　

（2）①a　a　－a　②a

2．

（1）①

　②　③0　

（2）①ar＋s

②ars　③arbr　（3）确定　同样适用

3．上方　（0,1）　R　（0，＋∞）　递减

递增　y＝1　y＞1　0＜y＜1　0＜y＜1　y＞1

基础自测

1．D　解析：

＝

＝

＝

＝2（－x）2（－y）＝－2x2y.

2．C　解析：

由已知，得

即

∴a＝2.

3．C　解析：

因为将函数y＝2x的图像向上平移2个单位长度得到函数y＝2x＋2的图像，再向右平移2个单位长度得到函数y＝2x－2＋2的图像，所以，函数f（x）的解析式为f（x）＝2x－2＋2.

4．B　解析：

由f（x）＝ax，验证B知，f[（xy）n]＝，fn（x）·fn（y）＝（ax）n·（ay）n＝axn·ayn＝axn＋yn，

∴f[（xy）n]≠fn（x）fn（y），而验证A，C，D都正确．

5．9　解析：

在x2＋2x－3＝0时过定点（1,1＋m）或（－3,1＋m），

∴1＋m＝10，解得m＝9.

考点探究突破

【例1】

　解析：

原式＝

【例2－1】A　解析：

∵y＝

x＝2－x，∴它与函数y＝2x的图像关于y轴对称．

【例2－2】解：

（1）当a＝－1时，，

令g（x）＝－x2－4x＋3，

由于g（x）在（－∞，－2）上是增加的，在（－2，＋∞）上是减少的，

而y＝

g（x）在R上是减少的．

所以f（x）在（－∞，－2）上是减少的，在（－2，＋∞）上是增加的，

即函数f（x）的增区间是（－2，＋∞），减区间是（－∞，－2）．

（2）令h（x）＝ax2－4x＋3，y＝

h（x）．

由于f（x）有最大值3，所以h（x）应有最小值－1，

因此必有

解得a＝1.

即当f（x）有最大值3时，a的值等于1.

【例2－3】解：

函数y＝|3x－1|的图像是由函数y＝3x的图像向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图像如图所示．

当k＜0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像无交点，即方程无解；

当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；

当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解．

【例3】解：

（1）函数定义域为R，关于原点对称．

又∵f（－x）＝

（a－x－ax）＝－f（x），∴f（x）为奇函数．

（2）当a＞1时，a2－1＞0，

y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，

从而y＝ax－a－x为增函数，∴f（x）为增函数．

当0＜a＜1时，a2－1＜0，

y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，

从而y＝ax－a－x为减函数，∴f（x）为增函数．

故当a＞0，且a≠1时，f（x）在定义域内单调递增．

（3）由

（2）知f（x）在R上是增函数，

∴在区间[－1,1]上为增加的．

∴f（－1）≤f（x）≤f

（1）．

∴f（x）min＝f（－1）＝

（a－1－a）

＝

·

＝－1.

∴要使f（x）≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是（－∞，－1]．

演