高考数学异构异模复习第八章立体几何课时撬分练83直线平面平行的判定与性质文.docx

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高考数学异构异模复习第八章立体几何课时撬分练83直线平面平行的判定与性质文

2019-2020年高考数学异构异模复习第八章立体几何课时撬分练8.3直线平面平行的判定与性质文

1.[xx·武邑中学预测]已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列为真命题的是（　　）

A．m∥n，m⊥α⇒n⊥α

B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n

C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α

D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β

答案　A

解析　选项A中，如图①，n∥m，m⊥α⇒n⊥α一定成立，选项A正确．选项B中，如图②，α∥β，m⊂α，n⊂β，m与n互为异面直线，∴选项B不正确．选项C中，如图③，m⊥α，m⊥n，n⊂α，∴选项C不正确．选项D中，如图④，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，但α与β相交，∴选项D不正确．

2．[xx·衡水二中模拟]直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：

①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α.

其中正确命题的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　D

解析　对命题①，根据线面平行的判定定理知，m∥α；对命题②，如果直线m与平面α相交，则必与平面β相交，而这与α∥β矛盾，故m∥α；对命题③，在平面α内取一点A，设过A，m的平面γ与平面α相交于直线b.因为n⊥α，所以n⊥b，又m⊥n，所以m∥b，则m∥α；对命题④，设α∩β＝l，在α内作m′⊥β，因为m⊥β，所以m∥m′，从而m∥α.故四个命题都正确．

3．[xx·枣强中学期末]已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是（　　）

A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β

B．若α∥γ，β∥γ，则α∥β

C．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β

D．若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β

答案　C

解析　由线面垂直的性质可知A正确；由两个平面平行的性质可知B正确；由异面直线的性质易知D也是正确的；对于选项C，α，β可以相交、可以平行，故C错误，选C.

4．[xx·衡水二中仿真]平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（　　）

A．AB∥CDB．AD∥CB

C．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面

答案　D

解析　充分性：

A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．

5．[xx·枣强中学期中]如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.（注：

请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）

答案　M位于线段FH上

解析　连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.（答案不唯一）

6．[xx·冀州中学期末]给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中真命题为________．

答案　③

解析　①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m.

②中l与m也可能异面．

③中

⇒l∥m，

同理l∥n，则m∥n，正确．

7．[xx·衡水中学预测]如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一个直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD.若E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系是________．

答案　平行

解析　取PD的中点F，连接EF，AF.在△PCD中，EF∥CD，且EF＝

CD.∵AB∥CD，且CD＝2AB，∴EF∥AB，且EF＝AB，∴四边形ABEF为平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.

8．[xx·枣强中学热身]如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝2，E是侧棱PA上的中点．

（1）求证：

PC∥平面BDE；

（2）求四棱锥P－ABCD的体积．

解　

（1）证明：

连接AC交BD于点O，连接OE，如图：

∵四边形ABCD是正方形，

∴O是AC的中点．

又E是PA的中点，∴PC∥OE.

∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，

∴PC∥平面BDE.

（2）∵PA⊥平面ABCD，

∴VP－ABCD＝

S正方形ABCD·PA＝

×12×2＝

，

∴四棱锥P－ABCD的体积为

.

9．[xx·衡水中学猜题]已知三棱柱ABC－A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝3，E，F分别在棱AA′，CC′上，且AE＝C′F＝2.

（1）求证：

BB′⊥底面ABC；

（2）在棱A′B′上找一点M，使得C′M∥平面BEF，并给出证明．

证明　

（1）如图，取BC中点O，连接AO，因为三角形ABC是等边三角形，所以AO⊥BC，

又平面BCC′B′⊥底面ABC，AO⊂平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC＝BC，

所以AO⊥平面BCC′B′，

又BB′⊂平面BCC′B′，

所以AO⊥BB′.

又BB′⊥AC，AO∩AC＝A，AO⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，

所以BB′⊥底面ABC.

（2）如图，显然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一点M，使得C′M∥平面BEF，过M作MN∥AA′交BE于N，连接FN，MC′，所以MN∥C′F，即C′M和FN共面，

所以C′M∥FN，

所以四边形C′MNF为平行四边形，

所以MN＝2，

所以MN是梯形A′B′BE的中位线，M为A′B′的中点．

10．[xx·衡水中学一轮检测]如图所示，在棱长均为4的三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点．

（1）求证：

A1D1∥平面AB1D；

（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1－ABC的体积．

解　

（1）证明：

如图所示，连接DD1，

在三棱柱ABC－A1B1C1中，因为D，D1分别是BC与B1C1的中点，

所以B1D1∥BD，且B1D1＝BD.

所以四边形B1BDD1为平行四边形，所以BB1∥DD1，且BB1＝DD1.又因为AA1∥BB1，AA1＝BB1，所以AA1∥DD1，AA1＝DD1，

所以四边形AA1D1D为平行四边形，

所以A1D1∥AD.

又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，故A1D1∥平面AB1D.

（2）在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.

因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A－B1BC的高．

在△ABC中，因为AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2

.

在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，

所以△B1BC的面积S△B1BC＝

×4×4×

＝4

，

所以三棱锥B1－ABC的体积即三棱锥A－B1BC的体积，V＝

S△B1BC·AD＝

×4

×2

＝8.

11．[xx·冀州中学模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：

（1）直线EG∥平面BDD1B1；

（2）平面EFG∥平面BDD1B1.

证明　

（1）如图，连接SB，

∵E、G分别是BC、SC的中点，

∴EG∥SB.

又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.

（2）连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，

又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.

12．[xx·衡水二中周测]如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝

，AD＝2.

（1）求证：

平面FCB∥平面AED；

（2）若二面角A－EF－C为直二面角，求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值．

解　

（1）证明：

在矩形BDEF中，FB∥ED，

∵FB⊄平面AED，ED⊂平面AED，

∴FB∥平面AED，

同理BC∥平面AED，

又FB∩BC＝B，∴平面FBC∥平面EDA.

（2）取EF的中点M.连接AM，CM.连接AC交BD于点N.由于ED⊥平面ABCD，ED∥FB，

∴ED⊥AD，ED⊥DC，FB⊥BC，FB⊥AB.

又ABCD是菱形，BDEF是矩形，

∴△ADE，△EDC，△ABF，△BCF是全等三角形，

∴AE＝AF，CE＝CF，

∴AM⊥EF，CM⊥EF，∠AMC就是二面角A－EF－C的平面角．

延长CB到G，使BC＝BG，由已知可得，ADBG是平行四边形，又BDEF是矩形，∴AEFG是平行四边形，即A，E，F，G共面，由此可知，AM⊥MC，CM⊥EF，EF，AM相交于M，

∴CM⊥平面AEFG，∠CGM为所求．

由AD＝2，∠DAB＝60°，得AC＝2

，

等腰Rt△AMC中，AC＝2

，可得MC＝

，Rt△GMC中，sin∠CGM＝

＝

.

能力组

13.[xx·枣强中学仿真]已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是（　　）

A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥β

C．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2

答案　D

解析　由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可知，选项D可推知α∥β.

14．[xx·衡水二中月考]平面α∥平面β的一个充分条件是________（填写正确的序号）．

①存在一条直线a，a∥α，a∥β；

②存在一条直线a，a⊂α，a∥β；

③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂βa∥β，b∥α；

④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.

答案　④

解析　根据两平面平行的条件，只有④符合．

15.[xx·武邑中学热身]在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．

（1）若AC⊥BC，证明：

直线BC⊥平面ACC1A1；

（2）设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？

请证明你的结论．

解　

（1）证明：

因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.

因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，

所以AA1⊥平面ABC.

因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.

又AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1.

（2）取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．

由已知可知O为AC1的中点．

连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以MD綊

AC，OE綊

AC，因此MD綊OE.

连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.

因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，

所以直线DE∥平面A1MC，

即线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A1MC.

2019-2020年高考数学异构异模复习第八章立体几何课时撬分练8.4直线平面垂直的判定与性质文

1.[xx·冀州中学猜题]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）

A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n

B．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n

C．m∥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β

D．m⊂α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β

答案　B

解析　对于A，m，n的位置关系应该是平行、相交或异面，故A不正确；对于B，由面面垂直及线面垂直的性质知，m⊥n，故B正确；对于C，α与β还可以平行或相交，故C不正确；对于D，α与β还可以相交，所以D不正确．故选B.

2．[xx·武邑中学仿真]已知不同直线m、n及不重合平面α、β给出下列结论：

①m⊂α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β

②m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β

③m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β

④m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β

其中的假命题有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

答案　C

解析　①为假命题，m不一定与平面β垂直，所以平面α与β不一定垂直．命题②与③为假命题，②中两平面可以相交，③α与β可能相交．只有④是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补．

3．[xx·衡水中学模拟]设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.

但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α.

即l⊥α是l⊥m且l⊥n的充分不必要条件．故选A.

4．[xx·冀州中学期中]已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（　　）

A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥β

C．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β

答案　B

解析　根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m⊂α，则m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．

5．[xx·衡水中学仿真]设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.

6．[xx·枣强中学预测]PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（　　）

①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；

③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC.

A．①②B．①③

C．②③D．②④

答案　A

解析　易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC.又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB.

7．[xx·冀州中学一轮检测]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

答案　DM⊥PC（答案不唯一）

解析　由定理可知，BD⊥PC.

∴当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，

∴平面MBD⊥平面PCD.

8．[xx·武邑中学一轮检测]已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：

①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；

②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；

③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；

④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则l⊥α.

其中正确命题的序号是________．

答案　②③

解析　①在正方体A1B1C1D1－ABCD中，令平面A1B1CD为α，平面DCC1D1为β，平面A1B1C1D1为γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，故②正确．③如果两平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线和另一个平面垂直，故③正确．④当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不能得出l⊥α，故④错误．

9．[xx·武邑中学月考]如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

（1）证明：

CD⊥AE；

（2）证明：

PD⊥平面ABE.

证明　

（1）在四棱锥P－ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，

∴CD⊥AE，

（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，

由

（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，

∴AE⊥PD，

∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，

AB⊥AD，∴AB⊥PD，

又∵AB∩AE＝A，

综上可得PD⊥平面ABE.

10．[xx·冀州中学一轮检测]如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.

（1）求证：

AC⊥平面BCE；

（2）求三棱锥E－BCF的体积．

解　

（1）证明：

过点C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，

所以四边形ADCM为矩形，所以AM＝MB＝2，

又AD＝2，AB＝4，所以AC＝2

，CM＝2，BC＝2

，

所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，

所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.

又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，且BE∩BC＝B，

所以AC⊥平面BCE.

（2）因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM，

又CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，

AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM⊥平面ABEF.

VE－BCF＝VC－BEF＝

×

×BE×EF×CM＝

×2×4×2＝

.

11.[xx·武邑中学模拟]如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝

PD.

（1）证明：

PQ⊥平面DCQ；

（2）求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．

解　

（1）证明：

由条件知四边形PDAQ为直角梯形，

因为QA⊥平面ABCD，QA⊂平面PDAQ，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.

又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，

所以DC⊥平面PDAQ，

又PQ⊂平面PDAQ，所以PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得

DQ＝PQ＝

PD，则PQ⊥QD.

又DC∩QD＝D，所以PQ⊥平面DCQ.

（2）设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，

所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝

a3.

由

（1）知PQ为棱锥P－DCQ的高，

而PQ＝

a，△DCQ的面积为

a2，

所以棱锥P－DCQ的体积V2＝

a3.

故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.

12．[xx·枣强中学一轮检测]如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝

CD＝1.现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直．

（1）求证：

BC⊥平面BDE；

（2）若点D到平面BEC的距离为

，求三棱锥F－BDE的体积．

解　

（1）证明：

在矩形ADEF中，ED⊥AD，

因为平面ADEF⊥平面ABCD，

所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC.

又在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，∠BDC＝45°，所以BC＝

，

在△BCD中，BD＝BC＝

，CD＝2，所以BD2＋BC2＝CD2，

所以BC⊥BD，所以BC⊥平面BDE.

（2）由

（1）得，平面DBE⊥平面BCE，作DH⊥BE于点H，则DH⊥平面BCE，

所以DH＝

.在△BDE中，BD·DE＝BE·DH，

即

·DE＝

（

），解得DE＝1.

所以VF－BDE＝VB－EFD＝

×

×1×1×1＝

.

能力组

13.[xx·衡水中学周测]已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则（　　）

A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直

B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直

D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

答案　C

解析　如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．

14．[xx·冀州中学月考]如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝AC，AC1⊥A1B，M，N分别为A1B1，AB的中点，给出下列结论：

①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥AM；③平面AMC1∥平面CNB1.其中正确结论的个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

答案　D

解析　由于ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以A1A⊥C1M.由B1C1＝A1C1，M为A1B1的中点，得C1M⊥A1B1.又AA1∩A1B1＝A1，所以C1M⊥平面A1ABB1，所以①正确．因为C1M⊥平面A1ABB1，所以C1M⊥A1B.又AC1⊥A1B，C1M∩AC1＝C1，所以A1B⊥平面AMC1，所以AM⊥A1B，所以②正确．由AM∥B1N，C1M∥CN，可得平面AMC1∥平面CNB1，所以③正确．故正确结论共有3个．

15．[xx·衡水中学预测]如图，过底面是矩形的四棱锥F－ABCD的顶点F作EF∥AB，使AB＝2EF，且平面ABFE⊥平面ABCD，若点G在CD上且满足DG＝GC.

（1）求证：

FG∥平面AED；

（2）求证：

平面DAF⊥平面BAF.

证明　

（1）因为DG＝GC，AB＝CD＝2EF，AB∥EF∥CD，所以EF∥DG，EF＝DG.

所以四边形DEFG为平行四边形，

所以FG∥ED.

又因为FG⊄平面AED，ED⊂平面AED，

所以FG∥平面AED.

（2）因为平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，

AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，

所以AD⊥平面BAF，又AD⊂平面DAF，

所以平面DAF⊥平面BAF.

16．[xx·枣强中学热身]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E、F分别是A1C1、BC的中点．

（1）证明：

平面AEB⊥平面BB1C1C；

（2）证明：

C1F∥平面ABE；

（3）设P是BE的中点，求三棱锥P－B1C1F的体积．

解　

（1）证明：

在△ABC中，∵AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°，

∴AB＝2

，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，

由已知AB⊥BB1，且BC∩BB1＝B，可得AB⊥平面BB1C1C，

又A