交集并集补集全集.docx

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交集并集补集全集

交集、并集

补集、全集

一、学习内容：

1.理解交集、并集、全集与补集的概念。

2.熟悉交集、并集、补集的性质，熟练进行交、并、补的运算

二、例题

第一阶梯

例1、什么叫集合AB的交集？

并集？

答案：

交集：

AnB={x|x€A,且X€B}

并集：

AUB={x|x€A,或x€B}

说明：

上面用描述法给出的交集、并集的定义，要特别注意逻辑联结词"且"、"或"的准确意义，在交集中

用"且"在并集中用"或交、并运算有下列推论：

①妇SqA;②若加万二4则生场若Au8=At则趾4

例2、什么叫全集？

补集？

答案：

在研究集合与集合的关系时，相对于所研究的问题，存在一个集合I，

使得问题中的所有集合都是I的

子集，我们就把集合I看作全集，全集通常用I表示。

补集：

中弍且肮同。

说明:

全集和补集都是相对的概念。

全集相对于所研究的问题，我们可以适当地选取全集，而补集又相对于

全集而言。

如果全集改设了，那么补集也随之而改变。

为了简化问题可以巧设全集或改设全集，"选

取全集"成为解题的巧妙方法。

补运算有下列推论：

①八上二『；②小」山―f:

③A=A0

例3、⑴求证：

一■厂丄—一一」，0

（2）画出下列集合图（用阴影表示）：

①川八石；②円；③丢c刁；④

0

提示：

（1）证明两个集合M和P相等可分两步完成：

第一步证明"由x€MTx€P";第二步证明"由x€P—

Tx€M"。

（2）利用

（1）的结果画③、④。

答案:

（D证明：

由任意的

xe（An占）二>龙E/,且戈eE二戈吃-仏且兀芒3=£殳（AoE）nxeXuBf

：

\Ar\B}^Ax^（j4n5\

FAJEUAc迟）,

：

.Ac\B-A\jB

在所证得的上面等式中，卫代以元*a代以即得

AryB=A^jB、

r.AnB-A^jE,

.\Ar\B=AijB.证完

o1

ffl3HClB

（8夕AU»

说明:

应用

中的两个等式是集合的运算定律，很容易记住它，解题时可以它。

这个证明较难，通常不作

要求。

但其证明是对交、并、补运算及子集的很好练习。

（2）中的四个集合图也是集合的图示法的很好练习。

图

（1）叫做"左月牙"，

图2叫做"右月牙"。

画图3、

图4时要利用集合的两个运算律来画。

第二阶梯

4322

例1、已知A={x|2x+5x-3x=0},B={x|x+2|x|—15=0}，求AHB,AUB。

［提示］

先用列举法化简集合A和Bo

［答案］

由2x4+5x3—3x2=0得x=0,或2x2+5x—3=0,

•••x=0,或x=—3,或x=,

•••A={—3,0,}

由x2+2|x|—15=0得|x|=3或凶=—5,

•x=±3,即得B={—3,3}o

1

•AHB={—3},AUB={—3,0,,3}

例2、设全集I={2,3,a2+2a—3},A={2,|2a—1|},={5},求实数a的

值。

答案：

由得也丸亠勿一3=5,Ac=—4f或42*

当©=—4时f\2a—I|=9f但9隹故狞一4.

当左=2时，|加一1|=劣5,且山={乙3}cTo

Aa的值为2*

说明：

本题隐含条件应&由此隐含|也一1|"故当由A={5}求得e—4』或4=2之后'必须|加一1岸几遠是本题的难点。

克服这个难点的关键是准确而全面地拿握集合符号语言」富要是全集、补集的概念及复符号语言。

例3、设全集I={1,2,3,…9},丘…盖={3,8}，占Cil={2,5}，卫毛={1,

2,3,5,6,7,8},

求集合A,Bo

［答案］

解祛一：

VZ={lr2j3,-9}t

且Ar\B-AuB={lf2.3f5,6f7t3}f二乂口岳三{4*9}.

把Ar\B={3,8},占C^={Z,5\及AC\B={4t9}

填入卫u百的集合图中，如图二

由圏得」={£8,4>9},5={2f44,9}.

鱗法二：

由7={h2,3t…9}及Ar\B=A^B={\t2,3,求得占口5={4t9}.

乂=（AC可U（£cB）={3』}W9}={3,gM,9},B=（B^A）u（AnB）={255}u{4,9}={2,5,4,9},.

说明:

本趣的两个解法都是用集台图打开思路的』就是解法二也以集合图1T为思考的槪曲如为什么缶就是由月牙图得到的r集合图是数形貉合的得力工具“

此外，本题为了求处民利用了运算律由此可见运算律AuS=JnAnB^AuB在解题中很有用蜡

例4、设A={x|x>5或x<—1},B={x|a

⑴AnB=©;

（2）AnBM©;（3）A=Bo

答案:

把数集召&表示在数轴上F如图酩运动風比鮫且与占的端点,

的条件是

ra>-1

j（j+3<5

解得一1WgWN

乙当ae｛a|—iw口花2｝时十£口£斗"

⑵设全集为总所求◎值集含是U）的门值集合仗I—1W戈W2｝的补集「故答,

当a^{a\a<—1或a>2}肘，WFIBH帕（势上E的条件^^+3<-1,或^>5.即£?

<—4#或£2>5o

「■当a^{aIar<—4或a>2—时】止>&

说明：

数形结合在集合中有两个方法：

一是画集合图，如例3;二是利用坐标系，如本例画数轴（数轴是

一维的坐标系）。

这两个方法总括为集合的图示法，即寻求集合与图形的对应，找到直觉。

从而把

抽象的集合问题具体化和形象化

此外，本题之

（二）的解法是补集法，省去了多少烦恼！

第三阶梯:

eR}，集合M={（x,y）|H-J，N={（x,

例1、设全集匸{（x,y）|x,y

y）|y=3x-2}，那

先等价化简集合M再用坐标平面内的点集理解集合M与N的关系

答案:

二M={（x,y）|y=3x—2,且x工2},

•••N=MJ{（2,4）}

.••衣c时二｛（2,4）｝，故选（C

说明:

本题是数形结合法的范例，用点集来理解抽象的集合MN的关系就

十分清晰、直观。

解题的关键是

分清M和N的关系，当找到N=MJ｛（2,4）｝时，问题便迎刃而解。

此外，注意

单元素集合｛（2,4）｝和元素

（2,4）不同，所以选（B）是错误的。

例2、据统计我校高中一年级的100名学生中，爱好体育的学生有75人，爱好文艺的学生有56人，试问文

艺、体育都爱好的学生最多有多少人？

最少有多少人？

利用集合图列出各种爱好者的人数间的函数关系。

设A=｛爱好体育的学生｝，B=｛爱好文艺的学生｝，

则AHB=｛文艺、体育都爱好的学生｝，

AUB=｛爱好文艺或爱好体育的学生｝。

我们把有限集合M的元素个数记作card（M），card（A）=75，

card（B）=56，card（AHB）=y,card（AUB）=x。

于是由集合图（图7）

得x=75+56—y（75

即y=131—x（75

说明:

关于有限集合的并、交的元素个数的问题，用图解法解决具有无比的优越性。

般地，对于任意两个有限集合A,B有

card（AUB）=card（A）+card（B）—card（AA

B）.

其道理可由图8看出来对于任意的三个有限集合A,B,C,有

card（AUBUC）

=card（A）+card（B）+card（C）—card（AAB）—card（BAC）—card（CAA）+card（AABAC）

其道理可由图9看出来。

三、练习题

A组

一、选择题

（1.已知全集1={0,—1,—2,—3,—4}，集合M={0,1,—2},N={0,—3,—4},贝qEcM=

A.{0}B.{—3,—4}C.{—1,—

2}D.©

（2.设全集为R,集合M={x|f（x）=0},P={x|g（x）=0},S={x|h（x）=0}，则

方程

的解集是（）

a.mnpnnb.mnpc.mnpn

sd.mnpnm

（3.已知集合P、M满足pnM={1,2},PUM={1,2,3,4,5}，全集I=N，贝U（PuM）n（）为（）

A.{1,2,3}B.{2,3,4}C.{3,4,

5}D.{1,4,5}

（4.设I是全集，集合P、Q满足P€Q则下面结论中错误的是

A.pUQ=Qb."Q』C.E&*D.尸厂住厂

（5.满足{1,2}UM={1,2,3}的所有集合皿有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

1、设A={梯形},B={平行四边形},C={矩形},D={菱形},E={正方形}，则（AnB）U（BnC）U（DUE）=

2、设x,y€R,集合A={（x,y）|4x-y—3=0},B={（x,y）|2x-3y+11=0},则An

B=.

3、全集I={1,2,3,4},子集A和B满足：

7门3={1},AnB={3},处〃={2},贝UA=。

4、集合A={1,x2},且上--={1,3,x},则实数x的取值范围

是。

5、某班48名学生中,有13人爱打篮球又爱唱歌,有29人不爱唱歌,有16人不爱打篮球。

则不爱打篮球

又不爱唱歌的学生数为。

答案：

、选择题

、填空题

1、D2、{（2,5）}

3、{3,4}

5、10

、选择题

.Z・{x|x-0,x€Z}

C.空集是任何集合的真子集

（=_

3.同时满足｛1｝•A二｛1,2,3,4,5｝，且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是（）

4.设A={x|1

u

若AB,则a的取值范围是（

A.•{——B.-C

（6）0€{0}。

其中正确的个数为（）

二、填空题

7.已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若gP,那么a的值是

8.设S={x|x是至少有一组对边平行的四边形},A={x|x是平行四边形}，则

CsA=.

9.求满足条件{x|x2+1=0,x€R}的集合M的个数。

答案：

一、1.B2.D3.C4.A5.C6.C

二、7.0、或一18.{x|x是梯形}

22

9.{x|x+1=0,x€R}=0'，又{x|x-1=0,x€R}={-1,1},其非空子集为{-1},{1},1,1}。

u

所以满足条件{x|x2+1=0,x€R}+M{x|x2-仁0}的集合M共3