几何画板课件设计三角函数图像的变换和应用2 2.docx

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几何画板课件设计三角函数图像的变换和应用22

三角函数图像的变换和应用

作者：

于红伟指导教师：

刘胜利

首都师范大学数学系00级3班1000500092

摘要

TheGeometer’sSketchpad是美国优秀的教育软件。

它的中文名是《几何画板─21世纪的动态几何》，以下简称《几何画板》。

《几何画板》是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。

它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。

在学习了《几何画板》之后，我利用有关知识制作了三大类数学课件。

本文讨论了用几何画板展示三角函数图像变换和应用的有关问题．主要包括：

1.简单的三角函数变换2.自定义坐标系下的三角函数3.创新部分——三角函数在物理学中的应用（用动态效果演示）。

这三大类课件在教学上都有很重要的应用。

全文由三部分组成：

第一部分:

几何画板课件制作的选题原则。

第二部分：

详细介绍了我所选择制作的课件及其详细制作过程。

第三部分：

我学习及应用几何画板的体会。

关键词：

几何画板、三角函数、图像、变换、旋转、反射、缩放、平移、标记、动画、追踪、轨迹、隐藏。

Abstract

TheGeometer’sSketchpadisanexcellentAmericaeducationsoftware.Itiswell-knowntobe"geometrydrawing-board─thedevelopmentgeometryof21centuryinchina",followingabbreviation"geometrydrawing-board"."geometrydrawing-board"appliestotheteachingofgeometry（planegeometry,analyticgeometry,projectiongeometryandsolidgeometry）,partialphysicsandthisplatformnotonlycanhelpteachersusethemoderneducationaltechnologyintheirteaching,butalsocanhelpstudentsgrasptheinwardnessofscience,andcultivatetheirabilityofobservationandsolvingquestion,andprogressingtheirideation.Asfarasitgoes,theplatformrepresentsthedevelopingdirectionoftheeducativetoolsoftware.

AfterlearningtheGeometer’sSketchpad,threetypesofmathematicfacilitiesusingconcernedknowledgearemade.ThispaperdiscussestheproblemofthediagramvarianceandtheapplianceoftrigonometricfunctionbyGeometer’sSketchpad,mainlyincluding:

1.simplediagramvarianceoftrigonometricfunction.2.trigonometricfunctionofself-definedcoordinatesystem.3.createdpart----theapplicationoftrigonometricfunctioninphysics（demonstratingwithtrends）.Thesethreetypesoffacilitieshaveimportantapplicationinmathematics.

Thispaperiscomposedofthreeparts:

Inthefirstpart,somefundamentalaboutwhatkindsofproblemwecanmakethecoursewarebytheGeometer’sSketchpadaredescribed.

Inthesecondpart,severalofcourseware,whichImadeparticularly,andthecourseofmakingareintroduced.

Inthelastpart,IrelatetheexperienceofstudybyusingtheGeometer’sSketchpadarerelated.

Keyword:

TheGeometer’sSketchpad,trigonometricfunction，image,transform,reflect,zoom,translate,mark,animation,trail,track,hide.

目录

摘要………………………………………………………1

abstract……………………………………………………2

第一部分几何画板的选题原则……………………4

第二部分课件设计与制作…………………………4

一.简单的三角函数变换…………………………4

1.y=sinx的图像的形成………………………………4

2.由y=sinx转换成y=cosx…………………………6

3.由y=sinx转换成y=sin（x+w）……………………6

4.由y=sinx转换成y=sin（2x）……………………6

5.例1由y=sinx转换成y=cos（x/3）………………7

6.由y=sinx转换成y=2sinx……………………7

7.例2由y=sinx转换成y=2sin（x/2）………………8

8.由y=sinx转换成y=asin（bx+w）……………………8

二.在自定义坐标系的三角…………………………9

1．自定义坐标系下的y=sinx图像………………9

2．y=sinx的周期函数………………………………9

三.创新部分——三角函数在物理学中的应用………10

1．绳波的形成…………………………………………10

2．示波器………………………………………………12

第三部分学习几何画板的体会………………………13

参考文献：

………………………………………………14

第一部分几何画板的选题原则

心理学认为变动的事物，图形容易引起人们的注意，从而在人脑里形成较深刻的映像。

在教学中，使用常规工具（如纸，笔，圆规和直尺等）画图，有一定的局限性，并且所画的图形很容易掩盖极其重要的几何原理。

《几何画板》在中学数学教学中有很多应用，不论在代数教学还是在几何教学中都显示出它的超凡魅力。

例如，在代数学教学中，它对函数、极限、复数和不等式等的教学起到了很大的作用。

在几何学教学中，平面、立体和解析几何更让《几何画板》大显身手。

当然，并不是所有教学都要利用几何画板来完成，应用几何画板制作课件，应该注意课题的选择。

第一：

几何画板可以很好的表现图形的任意性。

例如：

在让学生掌握三角形重心，内心，外心等概念时，在黑板上只能画出几个三角形作代表，不能很好的说明任意三角形，利用几何画板就可以形象的演示任意三角形重心、内心、外心等重要点的位置了。

第二：

几何画板可以精确画出函数图形并表现其全部情况。

例如：

在讲解三角函数有关概念时，正弦和余弦函数图像的画法，就可以利用几何画板出，其中正弦函数y=Asin（ωx+φ）+d的图像通过调整A，ω，φ，d的值不仅可以得到不同的精确图像，而且还能够将动态效果展示给学生。

这充分体现出了人机交互的功能。

我做的课件是关于三角函数图像的变换和应用。

我之所以选这个题目，是因为三角函数图像变换和应用是中学数学教学中的重点和难点，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的式子变形和图像分析，因此三角函数的研究已初步把几何与代数联系起来了。

在各个应用技术学科中都经常用到三角函数的图像和性质，因此这些内容既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学的基础，在传统的学校教学中，教师一般利用直尺、圆规在黑板上作图，这种传统的作图方式，点和线是孤立的、静止的，甚至是抽象的，这样难于记忆，难于理解，学生不明其究竟。

然而利用《几何画板》就是要充分利用它动态几何的特点，把在传统教学中比较难描述清楚的图形，用动态效果展现给学生，从而达到更好得教学效果，能够使三角函数图像的变换生动、鲜明地展现出来。

第二部分课件设计与制作

一．简单的三角函数变换

1．y=sinx的图像的形成.

方法一：

如图1.1所示。

逐个描点法。

利用描点发可以揭示三角函数的几何意义。

把单位圆上的点投影到X轴上。

图1.1

打开一个新画板，执行<图表/自定义坐标系>；改原点为O，单位点为1。

执行<图表/隐藏网格〉；

为了方便看正弦波，我们不妨取（-1，0）点为单位圆的圆心，

（1）找（-1，0）并作单位圆。

选中Y轴再执行＜变换/标记镜面>（或双击Y轴）选中（1，0）再执行＜变换/反射＞即得到点（-1，0）。

选中（-1，0）和原点0执行＜构造/以圆心和圆周上的点绘圆＞得到单位圆。

（2）在圆上取点。

选中点（-1，0），再执行＜变换/标记中心＞（或双击点（-1，0））选中原点再执行＜变换/旋转/π/6弧＞画下滑线的部分顺次执行11次。

便在圆上得到11个不同的点。

分别选中这11个点与点（-1，0）作连线。

这些线段分别与x轴正半轴的夹角为π/6,π/3,π/2,2π/3,5π/6,π,7π/6,4π/3,3π/2,5π/3,11π/6

（3）在横坐标轴上找横坐标值为π/6,π/3,π/2,2π/3,5π/6,π,7π/6,4π/3,3π/2,5π/3,11π/6的点，并选中这11个点和x轴执行＜构造/垂线＞

（4）在圆上选取这11个不同的点和x轴执行＜构造/平行线＞。

（5）找交点。

即夹角为π/6和x轴所构成平行线与横坐标值为π/6和x轴所构成的垂线的交点。

同理π/3,π/2,2π/3,5π/6,π,7π/6,4π/3,3π/2,5π/3,11π/6。

共构成11个交点。

（6）顺次选中原点和这11个交点中的三点执行＜构造/过三点的弧＞这样可构造出六条首尾相接弧。

这六条弧所构成的曲线便为正弦曲线。

（7）最后隐藏所有没必要的对象。

方法二：

做轨迹法。

如图1.1’在单位圆上任取一点

图1.1’

打开一个新画板。

（1）自定义单位圆。

画线段AB.作线段AB的中点C.选中C点和B点执行＜构造/圆心和圆上的点绘圆＞。

（2）度量角BCD的弧长。

在圆上任选一点D。

选中点B、C、D。

执行＜度量/角度＞得到角BCD的值，并计算BCD的半角，并标记角BCD的半角值。

标记中心点C，选中B点执行＜变换/旋转/标记角度＞在圆上便得到此半角的点E。

构造BED的弧长，并度量弧长。

（3）构造此单位圆的轨迹。

计算此单位圆的周长。

标记此周长值。

选中B点执行＜变换/平移/极坐标/标记距离/0度＞得到点F，连接线段BF。

标记弧BED的值，再选中B点执行＜变换/平移/极坐标/标记距离/0度＞得到点G，过点G作BF的垂线。

过点D作BF的平行线。

取两线的交点H.同时选中D、H两点执行＜构造/轨迹＞。

这样便得到一个周期的正弦曲线。

（4）最后隐藏所有没必要的对象。

2.由y=sinx的图像转换成y=cosx图像

原理：

因为cosx=sin（π/2+x）,要想得到cosx只需要sinx向左平移π/2即可。

如图1.2

做法如下：

（1）作y=sinx的轨迹。

（2）构造y=cosx的轨迹。

选中y=sinx的轨迹，选中＜构造/对象上的点＞得到点A,依次选中X轴上坐标值为π/2和原点，选中＜变换/标记向量＞，选中A点选中＜变换/平移/标记＞变得到点A’,同时选中点A、A’并选中＜构造/轨迹＞，这样便得到y=cosx的曲线。

（3）

最后隐藏所有没必要的对象。

图1.2

3．由y=sinx图像转换成y=sin（x+w）图像其中w属于[-π,π].如图1.3

图1.3

（1）作y=sinx的轨迹。

（2）构造w。

在X轴上选中点-π与π作线段。

选中此线段，选中＜构造/对象上的点＞得到点W，依次选中点w与原点，选中＜变换/标记向量＞。

（3）选中y=sinx的轨迹选中＜构造/对象上的点＞得到点A。

选中A点，选中＜变换/平移/标记＞便得到点A’,同时选中点A、A’并选中＜构造/轨迹＞，这样便得到y=sin（x+w）的曲线。

（4）选中点W，选中＜编辑/操作类按钮/动画＞。

这样便能观察到y=sin（x+w）动态显示。

（5）最后隐藏所有没必要的对象。

4．Y=sin（2x）图像是怎么由y=sinx图像转变而来的

原理：

令u=2x那么x=u/2所以只要让sinx中的x等于原来的一半即可。

如图1.4

（1）作y=sinx的轨迹。

（2）构造y=sin2x的轨迹。

选中sinx的轨迹选中＜构造/对象上的点＞得到点A。

过A点作Y轴的垂线，垂线与Y轴交于B点，标记中心点B，选中A点，选中＜变换/缩放/固定比例/1.0/2.0＞则得到点C,选中点A、C并选中＜构造/轨迹＞，便得到y=sin2x的图像。

（3）最后隐藏所有没必要的对象。

图1.4

5.例1y=cos（x/3）图像是怎样由y=sinx图像转变而来的呢？

如图1.5

原理：

令u=x/3,则x=2u所以只要让cosx中的x等于原来的3倍即可

（1）作y=sinx的轨迹。

（2）作y=cosx的轨迹。

（3）方法同4，只需把＜变换/缩放＞作一下变动

图1.5

6.Y=2sinx图像是怎么由y=sinx图像转变而来的？

如图1.6

图1.6

（1）作y=sinx的轨迹。

（2）选中y=sinx的轨迹选中＜构造/对象上的点＞得到点A。

过A点作X轴的垂线，垂线与X轴交于B点，标记中心点B，选中A点，选中＜变换/缩放/固定比例/4.0/2.0＞则得到点C,选中点A、C并选中＜构造/轨迹＞，便得到y=2sinx的图像。

（3）最后隐藏所有没必要的对象。

7.例2由以上方法想一想y=2sin（x/2）的图像要怎样做，如下图1.7

图1.7

（1）y=sinx的轨迹。

（2）选中y=sinx的轨迹选中＜构造/对象上的点＞得到点A。

过A点作Y轴的垂线，垂线与Y轴交于B点，标记中心点B，选中A点，选中＜变换/缩放/固定比例/4.0/2.0＞则得到点C,过C点作X轴的垂线，垂线与X轴交于D点，标记中心点D，选中C点，执行＜变换/缩放/固定比例/4.0/2.0＞则得到点E,选中点A、E并选中＜构造/轨迹＞，便得到y=2sin（x/2）的图像。

（3）最后隐藏所有没必要的对象。

8.Y=asin（bx+w）图像是怎么由y=sinx图像转变而来的？

其中a,b为任意值，w属于[-π,π]，

原理：

令u=bx+w,v=bx,v=u-w,x=（u-w）/b

图1.8

打开一个新画板。

选中＜编辑／参数选择／弧度制＞；

（1）作y=sinx的轨迹。

（2）构造a、b、w.在X轴上任做两点A、B，过这两点做X轴的垂线，分别在这两条垂线上任选一点a、b连接Aa、Bb。

选中X轴上-π与π两点，并连接两点得到线段L，在L上任选一点w,分别选中a、b、w作动画按钮。

并度量a、b的纵坐标，改标签分别为a、b，度量w的横坐标，改标签为w。

（3）选中y=sinx的轨迹选中＜构造/对象上的点＞得到点C。

依次选中点w与原点，选中＜变换/标记向量＞,选中C点，执行＜变换/平移/标记＞便得到点C’,计算1/b的大小。

标记值1/b,过C’做Y轴的垂线，与X轴交于D点，标记D点，选中＜变换/缩放/标记比例系数/1/b＞得到C”，过C”做X轴的垂线,与X轴交于E点，标记值a,标记点E，选中C”,执行＜变换/缩放/标记比例系数/a＞得到C”’,选中点C、C”’,并选中＜构造/轨迹＞，便得到Y=asin（bx+w）的图像。

（4）最后隐藏所有没必要的对象。

操作：

可以拖动点a、b、w或单击按钮a、b、w,来观察y=asin（bx+w）图像变化。

二．自定义坐标系下的三角函数

1．自定义坐标系下的y=sinx如下图2.1

图2.1

建立一个二维坐标系0-XY：

过点O点1画一条水平直线O1，作为X轴，过点O、点1’画另一条直线O1’，作为Y轴。

单击〈编辑/参数〉选项，角度选择弧度制。

（1）在X轴上取点x，依次选中点O、1、x，度量比值，改标签为x（为自变量x的值），其中O1为X轴单位长；

（2）度量O1’的值，改标签为I，为Y轴单位长；

（3）计算y1=sinx的值，并计算y=y1*I/1厘米，使其转化为对应Y轴长度；

（4）将y计算值标记比，让点1’以点O为中心按标记比缩放，得点y；

（5）让点y按标记向量Ox平移，得点y’，则点y’（x,y）在f（x）上，用线段连接y’y；

（6）选中线段y’y和度量值y，作颜色参数。

选中点x和点y’作轨迹；

注：

重新编辑计算y1=f（x）函数式（按右键选中编辑计算），可以得到不同曲线。

操作：

拖动点1或点1’，可以从不同角度观察函数曲线。

2．y=sinx的周期函数如下图2.2

图2.2

（1）作y=sinx的轨迹。

（2）自定义y=sinx坐标系。

其中X轴与Y轴是垂直的关系，并且是一个周期的函数。

（3）作动画按钮。

分别是自定义下的原点到直角坐标系下的原点，和到直角坐标系下的（-π，0）和到任一点的动画按钮。

该标签分别为周期1、周期2、还原。

（4）最后隐藏所有没必要的对象。

三．创新部分——三角函数在物理学中的应用

1.绳波的形成。

（当第一点完成一周期运动时所有的运动点都从新开始运动）

图3.1

打开一个新画板。

如图3.1

（1）制作绳波

1作一条水平直线L，隐藏两个初始点，在直线上任作两点A、B分别选中点A、B构造圆，连接点A、B.

2在线段AB上任选一点C,依次选中点C、B执行＜编辑/操作类按钮/移动＞。

3构造过点C水平方向的点0、1…12（间距为一厘米）。

选中点C作＜变换/平移/直角坐标系/水平方向1.0厘米/垂直方向0厘米＞得到点C’,改标签为0，顺次选中点C、0，执行＜变换/标记向量＞，选中点0，执行＜变换/平移/标记＞得到点0’,在顺次执行＜变换/平移/标记＞11次，分别得到了不同的11个点，依次改点0’和这11个不同点的标签为1至12。

4作边界点。

选中点0至12做直线L的垂线,在过点1的垂线上任选一点1’，过点1’作直线L的平行线，分别与过点2至12的垂线有交点，分别记为2’,3’…12’双击直线L,选中点1’和这不同的11个交点，执行＜变换/反射＞得到点1”…12”这12个点。

隐藏过点1到12与直线L的12条垂线，分别连接点1、1’，2、2’,3、3’…12、12’,在分别连接点1、1”…12、12”.

5作圆上一动点的动画按钮。

在点A、B构成的圆上任选一点D,选中点D，执行选中＜编辑/操作类按钮/动画/逆时针/快速＞，改标签为快速。

选中点D，执行选中＜编辑/操作类按钮/动画/逆时针/中速＞，改标签为中速。

选中点D，执行选中＜编辑/操作类按钮/动画/逆时针/慢速＞，改标签为慢速。

6构造圆上的点。

双击点A,选中点D，顺次执行6次＜变换/旋转/固定角度/-30＞，分别得到点D’至D”””选中D点与这五个点作与直线L的平行线,分别记作L1、L2…L6。

7作运动点。

作Li与线段ii’（i=1,2…6）的交点，作线段OP（充分小），选中这六个不同的交点，作以OP为半径的小圆。

8作圆的下半弧和下半弧的运动点。

标记点A,选中点C顺次执行3次＜变换/旋转/固定角度/-90＞得到点C’,C”,C”’,依次选中点C、C’、C”作过三点的弧a1（即下半圆）,连接线段AD,作弧a1与线段AD的交点E,选中点E,顺次执行五次＜变换/旋转/固定角度/-30＞得到点E’至E’’’’’,过点E、E’…E’’’’’作与直线L的平行线,分别记作K1…K6，作Kj与线段jj’’（j=1,2…6）的交点,选中这六个不同的交点，作以OP为半径的小圆.

9作圆的上半弧和上半弧的运动点。

依次选中点C、C”、C’’’作过三点的弧a2（即上半圆）,连接线段AD”””作与弧a2的交点F,选中点F,顺次执行五次＜变换/旋转/固定角度/-30＞得到点F’至F’’’’’,过点F、F’…F’’’’’作与直线L的平行线,分别记作L7…L12,作Lx与线段xx’（x=7,8…12）的交点，选中这六个不同的交点，作以OP为半径的小圆。

（2）制作弹簧振子。

1选取弹簧振子的直径。

双击点A,选中点C,执行＜变换/缩放/固定比例系数/2/1＞得到点G,过点A作与直线L的垂线K,在垂线K上任作两点Q、R,双击直线K,选中点G,执行＜变换/反射＞得到G’，过点G、G’作直线L的垂线H1、H2。

2作弹簧。

过D点作垂线K的垂线分别交H1、H2于S、T点，与K交于U点，连接UR,并度量其长度，计算线段UR的八等分的大小。

并标记其距离，选中点S、T，执行8次＜变换/平移/标记距离/-90＞得到点S’…S””””和T’…T””””连接线段（粗线）US’,S’T”,T”S’’’,S’’’T’’’’,T’’’’S’’’’’,S’’’’’T’’’’’’,T’’’’’S’’’’’’’,S’’’’’’’T’’’’’’’’,T’’’’’’’’R。

3作修饰。

双击点R,选中点T’’’’’’’’执行＜变换/平移/固定距离1厘米/固定角度-90＞得到点V，隐藏点S…S””””、T…T””””、G、G’H1、H2和K.连接QV（虚线）RV（粗线）过点Q、点V作与直线L的平行线J1、J2，在J1上任取一点W1，双击线段QR,选中点W1执行＜变换/反射＞，得到点W1’,过W1、W1’作J1的垂线交J2于点W2和点W2’，隐藏其垂线和J1、J2，连接线段W1Q,QW1’,W2V,VW2’,并作其四条线段的中点得到点B1、C1、D1、E1，双击点W1选中点B1,执行＜变换/旋转/固定角度/60＞得到点B1’,选中点W1和点B1’执行＜变换/标记向量＞，选中点B1、Q、C1、W1’,执行＜变换/平移＞，并连接其平移与被平移点。

双击点W2选中点D1,执行＜变换/旋转/固定角度/-120＞得到点D1’选中点W2和点D1’执行＜变换/标记向量＞，选中点D1、R、E1、W2’,执行＜变换/平移＞，并连接其平移与被平移点。

4选中D点执行＜编辑/操作类按钮/显示隐藏＞。

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