非线性结构有限元分析.ppt

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第十章第十章非线性结构有限元分析非线性结构有限元分析第二节第二节第二节第二节材料模式材料模式材料模式材料模式第一节第一节第一节第一节有限元基本方程有限元基本方程有限元基本方程有限元基本方程返回返回返回返回第三节第三节第三节第三节非线性问题求解非线性问题求解非线性问题求解非线性问题求解非线性结构有限元分析简介非线性结构有限元分析简介非线性结构有限元分析简介非线性结构有限元分析简介在工程结构的分析计算中，从本质上讲，所有力学问题都是非线性的，线性假设只是实际问题的一种简化。

对于固体或结构力学非线性问题来说,有限元法是一种有效的数值方法。

通常把结构非线性问题分为两大类：

几何非线性和材料非线性。

这主要包括三个方面：

一、一、是在大位移问题中，尽管位移很大，结构的应变仍然不大，属于大位移小应变问题，材料的应力-应变关系仍是线性的，只是应变-位移关系是非线性的。

物体经历大的刚体位移和转动，固连于物体坐标系中的应变分量仍假设为小量。

二、二、是非线性效应由应变应力关系的非线性所引起，位移分量仍假设为小量，应力-应变关系是非线性的，即材料非线性问题；最一般的情况是位移、转动和应变都不再是小量，不但位移-应变是非线性的，而且应力-应变关系也是非线性的，即双重非线性问题。

返回返回返回返回对于结构的几何非线性和材料非线性分析，可以归结为外力与内力的平衡方程，它是关于节点位移的非线性方程；非线性的稳态与瞬态温度场计算归结为热流平衡方程，它是关于节点温度的非线性方程；因此非线性分析的有限元计算最终归结为非线性方程求解。

非线性分析简而言之就是：

将系统的平衡方程式根据系统的非线性特性不断地进行修正，然后求平衡方程的增量解。

如果是几何非线性，则在新的一步增量求解之前，坐标系进行修正，然后去求解方程，并计算几何非线性对刚度阵和载荷阵的修正。

若为材料非线性，则是将等效刚度阵和载荷阵不断地进行修正，然后进行求解。

返回返回返回返回1.修正的牛顿迭代法。

它与完全的牛顿法的不同在于迭代过程中系数矩阵保持不变，因此不需要重新形成和分解刚度阵，从而大大减少了计算量。

但是这样又带来了收敛速度慢和发散问题，对此程序中加入了加速收敛和发散处理的措施。

这些措施并不明显地增加求解的时间，但却会对修正的牛顿迭代法的性能有所改进。

在程序中，对增量方程求解的平衡迭代采用修正的牛顿迭代法或BFGS法。

2.BFGS法。

又称矩阵修正迭代，是拟牛顿法的一种。

它实际上是完全的牛顿法与修正的牛顿法之间的一种折中方法。

因为它在迭代过程中，并不重新形成返回返回返回返回程序对几何非线性的考虑可采用完全的拉格朗日公式或改进的拉格朗日公式。

在非线性动态分析中采用隐式时间积分（Newmarli法和Wilson-法）或显式时间积分（中心差分法）的方法。

隐式时间积分通常用来分析结构的振动问题，显式时间积分主要用来分析波传布现象。

刚度阵，但也不保持不变，而是用某种方法对刚度阵（确切地说是对它的逆）进行修改，从而求解。

它在有限元分析遇到的许多问题中，具有相当好的收敛性，尤其在复杂材料的非线性分析和动态分析中推荐采用BFGS法。

返回返回返回返回第一节第一节第一节第一节有限元基本方程有限元基本方程有限元基本方程有限元基本方程一、线性问题的基本方程一、线性问题的基本方程由复杂结构受力平衡问题的虚功方程有:

（10-1）上式左端为内力的虚功，右端为外力的功。

由于：

式中为单元体内的位移；为节点位移；形函数阵；弹性系数矩阵。

代入上式并整理后得线性问题有限元基本方程返回返回返回返回（10-2）（10-3）（10-4）（10-5）（10-6）其中：

返回返回返回返回对于静力问题方程简化为：

（10-7）对动力分析问题，在时的控制平衡方程为：

（10-8）解此方程也用隐式时间积分，显式时间积分或振形迭加法求解。

返回返回返回返回二、非线性问题的基本方程二、非线性问题的基本方程对于非线性问题通常不能用一步直接求解方案，必须分成若干步加载,按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，即增量求解方案。

1.增量形式的平衡方程：

已知设：

0，t，2t的位移和应力（各载荷步的）要求出：

t+t步时的位移和应力。

全拉格朗日（TL）公式以t=0时刻状态为度量基准，求t+t时刻的值。

由虚功方程：

（10-9）（10-10）其中：

返回返回返回返回其中为弹塑性关系矩阵。

利用（10-11）-（10-15），注意到：

，方程（10-9）可改写成增量形式：

写成增量形式：

（10-11）（10-12）（10-13）（10-14）增量应力、应变之间的关系有：

（10-15）返回返回返回返回线性化处理后：

（10-16）（10-17）此为增量形式的全拉格朗日（TL）方程。

改进的拉格朗日（UL）公式与TL公式推导类似，只是它以t=t时刻（即变形后）的状态为度量基准。

由虚功方程：

（10-18）返回返回返回返回其中：

增量关系为：

（10-19）（10-20）（10-21）式中：

，为增量应力、应变和位移；为t时刻的Canchy应力张量。

将分成线性主部和非线性部分则有：

应用增量应力、应变关系（10-22）（10-23）返回返回返回返回代入（10-18）则变为：

进行线性的处理：

（10-24）（10-25）此为改进的拉格朗日（UL）公式。

三、非线性问题有限元基本方程三、非线性问题有限元基本方程有了方程（10-19），（10-25）式，就可以按通常的方法进行有限元离散，从而得到非线性问题的有限元基本方程。

（10-25）返回返回返回返回取位移插值函数为：

写成矩阵形式：

（10-26）（10-27）其中：

Nk为插值函数，N为形函数矩阵；为k点i方向上t时刻的位移和位移增量；n为单元节点数。

取坐标变换为：

（10-28）其中：

，为节点k，i方向上在0，t，t+t时刻的节点坐标值。

返回返回返回返回将（10-27），（10-28）代入TL方程（10-17）式可得：

其中：

（10-29）（10-30）为线性部分刚度矩阵，由积分得到；为单元内部变形功；为变形增量；为应变位移关系；为应力应变关系；返回返回返回返回（10-31）（10-32）令：

由单元内部变形功等于作用在节点上得单元外力功即：

（10-33）其中：

为非线性部分刚度矩阵，由积分得到；返回返回返回返回为与应力等效的节点力矩阵，由积分得到；为载荷阵，由项推倒得到分别为线性和非线性应变位移关系矩阵；为应力应变关系阵；为应力矩阵；为应力分量。

同理，对于动力学问题，TL形式的非线性有限元基本方程，只须在右端加上惯性力项，即：

（10-34）返回返回返回返回为线性刚度矩阵部分；为非线性影响部分刚度矩阵；为与应力等效的节点力阵。

同理，对改进拉格朗日UL形式的非线性增量有限元基本方程：

（10-35）其中：

对于动力学问题的UL非线性有限元基本方程为：

（10-36）方程（10-29），（10-34），（10-35），（10-36）即为非线性静力，动力分析的有限元基本增量方程。

如果采用适当材料应力-应变关系矩阵。

TL和UL公式可以得到同样的计算结果。

一般UL公式计算效率更高些。

这两个方程对各类单元，各种材料模式都是适合的。

返回返回返回返回第二节第二节第二节第二节材料模式材料模式材料模式材料模式由非线性有限元基本方程中的增量形式：

（10-37）（10-38）ULTL这些公式适用于各类单元和各类材料模式，若单元类型相同，材料模式不同，在运算中体现在刚度阵和应力计算中用不同的C：

即：

（10-39）（10-40）式中C阵对不同材料具有不同形式和数值，故对材料模式讨论，归结为对C阵的建立的讨论。

返回返回返回返回线弹性材料：

线弹性材料：

广义虎克定律：

其中：

a11a66中的所有元素都是常量就是为线性的。

对于线性的为应变的线性组合；极端各向异性：

线性材料正交各向异性：

各向同性：

即：

，E。

返回返回返回返回一、各向同性的一、各向同性的C矩阵：

矩阵：

（10-41）返回返回返回返回二、正交各向异性材料二、正交各向异性材料C-1阵：

阵：

（10-42）如果在物体内每一点有三个互相正交的弹性对称面，在每个面两边的对称方向上弹性相同，但在这三个方面上弹性并不相同，这种物体称为正交各向异性体，煤就是属于这一种。

返回返回返回返回（10-43）三、各向同性热弹性材料：

三、各向同性热弹性材料：

认为：

E，是随温度的变化而变化的，所以它是一种非线性材料模型。

在某一特定温度下的C阵为：

其中：

应力计算必须考虑温度对应变的影响。

即：

其中为温度变化值。

返回返回返回返回（10-44）四、土壤，岩石材料模式：

四、土壤，岩石材料模式：

1.土壤，岩石视为各向同性非线性材料。

考虑到土壤和岩石的抗压性能与体积压缩的应变（ev）有关，所以材料C阵可用体积模量K和剪切模量G表示更方便些，由于体积模量，剪切模量所以C阵可用K和G来表示为：

返回返回返回返回计算时须按单元所计算点上的体积应变的大小从曲线（图10-1）上用线性插值找出相应的K，G值。

然后形成对应于该点的应变状态的C阵。

从而再计算刚度矩阵和应力。

evb体积变形ev10KL加载evbev10Kuevevbev10G加载图10-1其中，K，G是体积压缩应变ev的函数，不是常数返回返回返回返回图10-2eOACBeuecucOA=E0e（e0）OC曲线其中：

2.混凝土材料模式：

混凝土：

i）单向应力状态应力应变关系。

ii）多向应力状态应力应变关系。

单向应力实验分三段分析（见图10-2）返回返回返回返回CB应变在CB段出现软化现象，到B点被压碎。

A：

拉伸或压缩较小时，按线性处理，E0，。

B：

当123，3Kc时视为各向同性（K取0.4左右）。

C：

当3Kc时，视为正交各向异性的非线性材料。

多向应力状态：

主要处理方法是对单向应力状态的修正。

即：

返回返回返回返回V.Mises屈服准则的物理解释是相当于一点的歪形能达到某一数值时，材料就进入屈服。

（10-45）五、弹塑性材料：

五、弹塑性材料：

1.屈服准则V.Mises屈服准则对于金属材料来说，塑性屈服与三向等压无关，即与J1无关，它认为：

应力偏量第二不变量J2达到某一个值时，材料就进入屈服，即：

其中：

第二应力偏量不变量平均应力返回返回返回返回（10-46）在（123）应力空间中Drucker-Prager屈服面相当于一圆锥面，其轴线为1=2=3，即坐标的等倾线圆锥在平面上的交线为半径的圆，顶点在1、2、3为正的象限内（图10-3）。

Drucker-Prager屈服准则对于土壤或岩石一类材料屈服与静水压力有关，即：

其中：

应力第一不变量；材料常数；K为由实验确定的材料性质参数。

返回返回返回返回用Drucker-Prager屈服准则来描述土壤、岩石等材料仍不理想，因为实验证实在较大的静水压力下，材料会发生明显的屈服，且体积在缩小，为此引进带帽的Drucker-Prager模型屈服准则，即相当于在Drucker-Prager圆锥面的压缩边，加上一个椭球或球形帽子（如图10-4）帽的形状由材料性质决定，在图上（图10-5），带帽的Drucker-Prager模型分两个区域，在ABC段仍是达到一定值进入屈服，CD段在静水压力和的共同作用下，材料提前进入屈服，屈服后有硬化效应。

（10-3）-3-1-2-1（10-4）-3-2（10-5）ABCCDD带帽的Drucker-Prager模型屈服准则返回返回返回返回（10-47）2.等向硬化、随动硬化和帽硬化塑性硬化：

材料屈服后卸载，然后再加载，要再产生塑性变形的屈服极限提高了，此现象称为塑性硬化。

显然塑性硬化与塑性变形程度和应变历史有关。

根据不同类型材料实验，有几种硬化模型印：

等向硬化：

拉伸和压缩硬化总是同样地产生和发展，屈服面保持原来的形状，只是均匀地膨胀和缩小。

随动硬化：

在一个方向屈服极限高了，在反方向则减少，两屈服极限之差保持常数，屈服石的形状和大小不变，只是其中心沿变形方向移动了aij，加载屈服厂的表达式为：

F为常数，是中心移动值，由塑性变性形的大小决定。

返回返回返回返回带帽硬化：

对土壤或岩石材料采用Drucker-Prager带帽模式（如图10-4），受压屈服时，对CD边则外移到CD，相当于屈服帽不断扩大，这种变化称帽