中学数学情境与提出问题教学案例精品文档.docx

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中学数学情境与提出问题教学案例

　　1教学设计　　　　1．1教学内容分析　　函数是高中数学的基础内容，也是最重要的内容之一，它为解决其他数学问题提供了有力工具，从而成为高考的重点和热点．函数模块又包含

　　了众多知识点和数学思想、数学方法，涉及面广，应用层面多，从而成为高中数学的难点．

　　1．2学生状况分析

　　云阳中学是重庆市重点中学，学生素质相对较好．高一

（一）班又是实验班，学生勤思好学，有较好的学习习惯和思维能力．在这之前，学生已学完函数章节的全部内容，初步掌握了函数中的一些思想和方法．

　　1．3教学目标

　　通过提出问题、解决问题，增强学生对函数模块的知识、方法、思想的理解和掌握，建立起函数模块的知识体系；促进学生归纳、总结和反思的学习能力；激发学生学习数学的兴趣和研究数学问题的自主性．

　　1．4情境的创设

　　函数模块的知识、方法和思想比较多，学生要从提出问题、解决问题的过程中总结和归纳这些知识和方法，就必须创设一个学生熟悉的、能亲身体验的数学情境，从而激活学生的思维，激发其学习主动性．受贵州桐梓一中管理河老师的案例《函数复习（高三）》的启发，及2006年高考（上海卷）（理）第22题的启示；结合我校的实际情况，前一周，校团支部为纪念红军长征胜利70周年，开展了黑板报和美术作品展．我以美术展为背景，创设了以函数y=ax+bx（ab≠0）为研究对象的数学情境．

　　2教学过程

　　2．1情境展示

　　师：

前一周学校团支部为纪念长征胜利，在美术作品展览中有一设计要求，请看屏幕．

　　图1为纪念红军长征胜利70周年，云阳中学团支部开展了美术作品展览，要求参赛的作品设计为宽xcm，长为ycm的矩形画图，矩形的上部分为正方形，下部分留9cm2的面积标写作者的班级和姓名，如图1：

　　师：

请同学们根据提供的信息，用已学过的知识，提出你关心的、感兴趣的数学问题．

　　2．2问题的提出

　　学生经过2分钟左右的思考和讨论，提出了以下两个数学问题：

　　问题1：

寻找题目中的x和y的关系．

　　问题2：

寻找图形中正方形和小矩形的面积关系．

　　师：

这两个问题提得很好！

我们先来解决刚提出来的问题，看能不能找到x和y的关系．请张昕同学说说你的答案！

　　生1：

x和y的关系是：

9+x2=xy.

　　师：

你是怎样得到这个关系式的．

　　生1：

由图可知，上面的正方形面积加下面矩形的面积就等于整个大矩形的面积，从而得出上述关系式．

　　师：

很好！

你不但准确地找出了x、y的关系式，而且把第二个问题的答案说出来了，请坐！

下面我们来进一步研究x、y这两个量的关系．这里的两个量x、y是常量还是变量？

　　众：

是变量！

　　师：

对于两个变量间的关系，我们最熟悉的就是函数关系，它们能不能构成函数关系？

如能，找出表达式，如不能，说说理由！

　　生2：

由函数的定义知，能构成函数．其中以x为自变量，以y为函数，表达式为：

y=x+9x．

　　师：

回答非常好！

你再说说你是怎样得到这一表达式的呢？

　　生2：

只要在原关系式9+x2=xy中，两边同除以x就得到了！

　　师：

能直接除以x吗？

　　生3：

如果只看这一个关系式，不能除，因为x的值有可能为0；但从题意知，x是画面的宽，所以不能为0，因此等式两边可以同除x．

　　师：

回答得非常精彩！

对于这个函数，你想研究它的哪些问题呢？

　　学生相继地提出了8个问题，去掉重复，我把研究的问题板书在黑板上：

　　问题1：

研究此函数的定义域．

　　问题2：

研究此函数的值域．

　　问题3：

研究此函数的反函数．

　　问题4：

研究此函数的图像．

　　问题5：

研究此函数的单调性．

　　问题6：

研究此函数的奇偶性．

　　问题7：

研究此函数的周期性．

　　2．3问题解决

　　由于还没有学函数的周期性，问题7现在不作研究．分组探究问题1~6．

　　师：

请选问题1的小组代表报告你们的研究结果．

　　问题1的代表：

这个函数的定义域是：

（0，+∞）．

　　师：

这个问题我们前面刚研究过，知道x只能取正数，但x的取值能无限大吗？

　　生1：

不能吧，因为画图的下面是一个面积为9cm2的矩形．

　　生2：

不对，应该能，因为当矩形的高很小时，它的宽x就可以无限增大了．

　　师：

说得好！

事实上，在实际生活中，x的取值不能取到无限大；但我们这是一种理论研究，只研究x的可能取值，所以，x的值可以无限大，即定义域是（0，+∞）．

　　请问选问题1的小组，你们研究了求函数定义域的类型和方法吗？

　　问题的代表：

研究了，从我们接触过的求定义域的问题，归纳为三种：

　　类型1：

有具体解析式的函数―（要函数式有意义）

　　类型2：

复合函数的定义域―（内函数的值域是外函数的定义域）

　　类型3：

实际问题―（不仅函数式要有意义，而且要有实际意义）

　　师：

研究的非常好！

我们研究的这个函数就是第三类；再问一下，求定义域的常用方法是什么？

解不等式或不等式组！

　　师：

大家注意，定义域是研究函数的重要内容，忽视了它，会导致解题的错误．如判断奇偶性，求单调区间，求函数的值域、最值或极值，以及画函数图像等，必先求出定义域．

　　师：

下面我们请问题2的代表发言．

　　问题2的代表：

函数的值域是：

［6,+∞）．

　　师：

回答正确，你们是怎样求解出来的呢？

　　图2问题2的代表：

我们是用画图像来求解的，如图2所示：

　　师：

画出图像，利用数形结合来求，是个好方法，还用了其他方法吗？

　　生：

我用了判别式法，也求得值域是［6,+∞）．

　　师：

说说你的解答过程！

　　生：

原函数可化为：

x2-yx+9=0，因为等式成立，

　　所以判别式Δ=（-y）2-4?

9≥0，又因为y的值只能为正，所以解得y≥6．

　　师：

很精彩！

同学们，我们解决问题的方法不是唯一的，要学会从多角度思考问题，寻求答案，从而发展我们的思维能力．请问题2的代表说说，你们归纳了求值域的哪些方法？

　　问题2的代表：

常用的求值域的方法有：

配方法、换元法、图像法、反函数法、判别式法、单调性法．特别注意的是求值域，一定注意定义域．

　　师：

很好！

我们不但要知道这些方法，而且要能正确应用这些方法解决问题．下面请问题3的代表汇报你们的研究结果．

　　问题3的代表：

这个函数没有反函数，因为由图像可看出，一个函数值可以对应两个不同的自变量值，如y=10时，有两个值x=1或x=9，所以不能构成单值映射，即原函数没有反函数．

　　师：

说得好！

但你们想过没有，这个函数在哪样一个区间上就会有反函数呢？

　　生3：

原函数在区间（0,3］或［3,+∞）上存在反函数，因为在这两个区间上函数有单调性．

　　师：

回答正确，但只有这两个区间吗？

　　生4：

不是，应有无数个区间，使原函数存在反函数．因为只要是区是（0，3]或［3，+∞）的子区间就行！

　　师：

对！

这是因为单调函数必存在反函数．如果求原函数在区间［3,+∞）上的反函数，你会吗？

　　众：

先将函数式看成是关于x的一个方程，解出：

x=f-1（y）；再将x、y互换，得y=f-1（x）；求原函数的值域及反函数的定义域．

　　师：

很好！

课后请你去把结果解出来！

请问题4的代表汇报工作．

　　图3问题4的代表：

图像是一个勾形，其转折点是（3，6），只有第一象限有图，且以y轴和直线y=x为渐近线，如图3．

　　师：

正确！

画函数图像主要有两种方法：

一种是描点法，一种是图像变换．请研究问题5的代表来报告他们的结果．

　　问题5的代表：

函数在区间（0，3］上是单调递减，在区间［3,+∞）上是单调递增．

　　师：

回答正确，你们是用什么方法判断的呢？

　　问题5的代表：

我们用三种方法来判断：

1）图像法；2）定义法；3）导数法．

　　师：

图像刚才已画了，那你说说，用导数判断的过程．

　　生：

因为f（x）=x+9x，所以f（x）的导函数是：

f′（x）=1-9x2，令1-9x2≥0，又因为x＞0所以解得x≥3，所以原函数在［3,+∞）上单调递增，而在（0，3］上单调递减．

　　师：

好！

你再说说，判断函数的单调性还有哪些方法？

　　生：

可以用单调性的性质来判断，还可以用复合函数“同增导减”来判断

　　师：

很好！

你们还有什么研究结果吗？

　　生：

有！

证明函数单调性只有两种方法：

定义法和导数法．易错点：

求单调区间时，要注意定义域的范围．我们还归纳了单调性的应用，主要有比较大小；解函数不等式；求值域或最值；画图像等方面．

　　师：

说得很精彩！

感谢你们的研究．请问题6的代表发言．

　　问题6的代表：

我们的结论是：

这是一个非奇非偶函数，因为定义域（0，+∞）不关于原点对称．

　　师：

结论正确！

并指出了判断函数奇偶性的必要条件：

定义域关于原点对称．你继续说说，判断奇偶性有哪些方法？

　　生：

一种是用定义，即判别f（x）与f（-x）的关系；另一种就是用图像，判断图像是关于原点对称还是关于y轴对称；再就是也可利用奇偶性的性质来判断．

　　师：

很好！

若是将定义域改为（-∞,0）∪（0,+∞），判断原函数的奇偶性呢？

　　众生：

奇函数！

　　师：

对了！

因为此时定义域关于原点对称，且又有f（x）+f（-x）=0，所以是奇函数．

　　我们在研究问题时，不仅要研究题目本身，还要学会改变条件，引申结论，进一步发展或提出更深更广的数学问题来，也就是学会分析问题的三层境界：

见题是解；见题不是题；见题还是题！

如对函数y=x+9x，能不能提出一些变式函数来？

　　生4：

可以变为：

y=|x|+9|x|;y=2x+4x；也可变为：

y=-2x+4x．

　　生5：

还可变为：

y=x-9x、y=-x-9x等等！

　　师：

对大家提出的问题，我们能否用一个式子概括呢？

　　生6：

能，可用函数y=ax+bx概括表示，其中，a、b的值可正可负．

　　师：

非常好！

我们继续想，刚才只从系数上改变的，能否从x的次数上改变呢？

　　生7：

可以变成：

y=x2+9x2、y=x3+9x3．

　　生8：

一般地还可以变成：

y=xn+9xn．

　　生9：

还可以变为：

y=x2-9x、y=-x+9x3等许多的形式！

　　师：

同样，我们能否用一个式子将上面的所有变式进行概括．

　　生：

能，用y=axn+bxm的形式可以概括上面全部的变式，其中，a、b∈R，而n、m∈N*．

　　师：

非常精彩！

今天的课后作业，就是研究大家刚才提出的这10个变式函数，像研究函数y=x+9x一样，归纳函数y=axn+bxm的一系列性质，写成一篇数学小论文．

　　3教学反思

　　3．1数学“情境―问题”教学，激发了学生的主

　　动参与在传统教学中，特别是复习课，老师常用单一的讲授方式教学，学生在知识系统的构建中缺乏主动性，被动强化存储教师传授的数学知识．而中小学“数学情境与提出问题”教学，让学生置身于数学活动中，以自己的经验和认知基础，对教师提供的数学情境提出问题，然后在主动、积极地去探索和解决自己提出的问题，在这个提出问题与解决问题的过程中深刻感受数学、体验数学、认知数学，从而建立起自己的数学知识体系，达到更好地掌握数学知识，理解数学思想，提高数学思维能力的目的，同时分享提出问题，解决问题带来的成功感和乐趣．

　　3．2数学情境是提出问题的前提

　　本课以学校开画展为背影，设置课堂数学情境，再以研究的函数y=x+9x为纽带，激发学生提出问题．从课堂教学情况来看，刚开始，学生从画展的数学情境中提出问题时，由于缺乏明确的思维目标，有的学生提出了与主题相离甚远的问题，如一个学生提出了画面的颜色配置问题．经过引导，有了函数y=x+9x，提出研究函数的性质，有了明确的目标，学生的思维激活了，提出问题快，质量也高；课堂最后，根据函数y=x+9x提出变式时，学生思维更加活跃，提出了我预先没料到的问题，而且归纳概括性也强．由此我感悟到，老师在创设数学情境时，必须认真分析学生的身心特点，知识水平，切实把握教学内容和教学目标，综合考虑，创设更有利于学生尽快进行思维状态的数学情境，这样学生才能提出高质量的与教学有实质关系的问题，少走弯路不浪费课堂时间，提高课堂教学效益．

　　3．3本课存在的遗憾

　　本课教学内容较多，对高一学生来说要求较高．宜再增加一课时，结合上海高考试题，对学生提出的变式问题进入深入地探讨；最好是用《几何画板》展示函数y=axn+bxm，当m,n∈N为定值，a,b变化的图像和性质；当a，b为定值，n,m变化时的图像和性质．

　　注：

上海2006年高考数学试题（22题）已知函数y=x+ax有如下性质：

如果常数a＞0，那么该函数在（0,a］上是减函数，在［a,+∞）上是增函数．

（1）如果函数y=x+2bx（x＞0）的值域为［6,+∞），求b的值；

（2）研究函数y=x2+cx2（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；

　　（3）对函数y=x+ax和y=x2+ax2（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=（x2+1x）n+（1x2+x）n（n是正整数）在区间［12,2］上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

　　点评：

本课是利用已有教学资源，并有所有发展，具有一定创意的好课，希望不断实践完善，打造教学精品！

（贵州师范大学汪秉彝教授）.