高三数学下学期第一次模拟考试试题理整理.docx
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高三数学下学期第一次模拟考试试题理整理
甘肃省天水市2018届高三数学下学期第一次模拟考试试题理
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天水市一中2015级2017—2018学年度第二学期第一次模拟考试数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知（－1＋3i）（2－i）＝4＋3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数）,则z的虚部为（）
A．1B．－1C．iD．－i
2．如图，已知R是实数集，集合A＝{x|log12（x－1）＞0}，B＝｛x｜2x－3x＜0}，则阴影部分表示的集合是（）
A．[0，1]B．[0，1）C．（0，1）D．（0,1］
3．已知命题p：
∃x∈（－∞，0），2x＜3x;命题q：
∀x∈π2，tanx＞sinx,则下列命题为真命题的是（）
A．p∧qB．p∨（
q）C．（
p）∧qD．p∧（
q）
4．有4位同学参加某智力竞赛,竞赛规定：
每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分．若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为12,那么这4位同学得分之和为0的概率为（）
A.1164B。
34C。
38D.1116
5．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于（）
A。
OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→
6.设a＞b＞1，
，给出下列三个结论：
1
＞
;②
＜
;③
，
其中所有的正确结论的序号是
.
A．①B。
①②C.②③D.①②③
7。
某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（）
A．
B．
C．
D．
8．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P（n，an）和Q（n＋2，an＋2）（n∈N*）的直线的斜率是（）
A．4B．3C．2D．1
9．某程序框图如图所示，若输出的k的值为3，则输入的x的取值范围为（）
A．[15,60）B．（15，60]C．［12,48）D．（12,48］
10．已知P（x,y）为平面区域y2－x2≤0a≤x≤a＋1（a＞0）内的任意一点,当该区域的面积为3时，z＝2x－y的最大值是（）
A．1B．3C．2D．6
11．设Sn是公差不为0的等差数列{an｝的前n项和，S1,S2，S4成等比数列，且a3＝－52，则数列1an的前n项和Tn＝（）
A．－n2n＋1B.n2n＋1C．－2n2n＋1D.2n2n＋1
12．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为π4的直线与抛物线交于A，B两点，若AB的垂直平分线经过点（0，2），M为抛物线上的一个动点，则M到直线l1：
5x－4y＋4＝0和l2：
x＝－25的距离之和的最小值为（）
A.4141B。
3131C。
4141D。
3131
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．双曲线Γ:
y2a2－x2b2＝1（a＞0,b＞0）的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．
14．已知（1－2x）5（1＋ax）4的展开式中x的系数为2，则实数a的值为________．
15.已知
，则不等式
的解集为
16．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在其表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于________．
三、解答题（解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）在△ABC中,内角A，B，C所对的边分别为a,b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.
（1）求证:
a，b，c成等比数列；
（2）若b＝2,求△ABC的面积的最大值．
18．（本小题满分12分）某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取20个网点作为样本进行元旦期间网购金额（单位：
万元）的调查，获得的所有样本数据按照区间［0，5］,（5，10],（10,15］，（15,20]，（20,25]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据样本数据,试估计样本中网购金额的平均值；
（注：
设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xi（i＝1，2,3,4，5）,则样本数据的平均值为＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋x4p4＋x5p5）
（2）若网购金额在（15,25]的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点．从这20个服务网点中任选2个,记ξ表示选到优秀服务网点的个数，求ξ的分布列及数学期望．
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD中,底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，SA＝1,AB＝2,SB＝,平面SAB⊥底面ABCD，直线SC与底面ABCD所成的角为30°。
（1）证明：
平面SAD⊥平面SAC;、
（2）求二面角BSCD的余弦值．
20。
（本小题满分12分）已知椭圆C:
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F2（2,0），点P153在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在斜率为－1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|＝|F1N｜（F1为椭圆的左焦点）？
若存在,求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
21。
（本小题满分12分）已知函数f（x）＝（x＋a）lnx，g（x）＝x2ex，曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线与直线2x－y－3＝0平行．
（1）求证：
方程f（x）＝g（x）在（1,2）内存在唯一的实根;
（2）设函数m（x）＝min｛f（x），g（x）｝（min｛p，q｝表示p，q中的较小者），求m（x）的最大值．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程
将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ.
（1）写出Γ的参数方程；
（2）设直线l：
3x＋2y－6＝0与Γ的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
23．（本小题满分10分）选修4－5:
不等式选讲
已知函数f（x）＝|2x－a｜。
（1）若f（x）＜b的解集为{x｜－1＜x＜2}，求实数a、b的值;
（2）若a＝2时，不等式f（x）＋m≥f（x＋2）对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．
数学（理科）答案
1．解析:
选A.因为＝4＋3i2－i＋1－3i＝2＋i2＋i＋1－3i＝1＋2i＋1－3i＝2－i,所以z＝2＋i,z的虚部为1,故选A。
2．解析：
选D.由题可知A＝｛x｜1＜x＜2｝，B＝{x｜0＜x＜32}，且图中阴影部分表示的是B∩（∁RA）＝｛x|0＜x≤1}，故选D。
3．解析:
选C。
根据指数函数的图象与性质知命题p是假命题,则綈p是真命题；根据单位圆中的三角函数线知命题q是真命题,故选C.
4。
。
解析:
选A。
每人的得分情况均有4种可能，因而总的情况有44＝256种，若他们得分之和为0，则分四类:
4人全选乙类且两对两错，有C24种可能;4人中1人选甲类对或错，另3人选乙类全错或全对,有2C14种可能；4人中2人选甲类一对一错,另2人选乙类一对一错，有C24×2×2种可能；4人全选甲类且两对两错，有C24种可能．共有C24＋2C14＋C24×2×2＋C24＝44种情况，因而所求概率为P＝44256＝1164，故选A.
5．解析：
选D.因为M是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，所以OA→＋OC→＝2OM→，OB→＋OD→＝2OM→，所以OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝4OM→,故选D.
6。
【答案】D
【解析】由不等式及a＞b＞1知
，又
所以
＞
，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a＞b＞1，
知
，由对数函数的图像与性质知③正确。
7案：
B提示：
四棱锥的底面垂直与水平面。
8．解析:
选A.设等差数列{an｝的公差为d,因为S2＝2a1＋d＝10，S5＝52（a1＋a5）＝5（a1＋2d）＝55，所以d＝4,所以kPQ＝an＋2－ann＋2－n＝2d2＝d＝4，故选A.
9．解析：
选B。
根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果，可得不等式组x－3≤3,
解得15＜x≤60，故选B。
10.
解析：
选D。
不等式组y2－x2≤0a≤x≤a＋1
变形可得x＋y≥0a≤x≤a＋1,先作出可行域如图中阴影部分所示，则可行域的面积S＝12（2a＋2a＋2）×1＝3，解得a＝1，平移直线y＝2x，得z＝2x－y在点（2，－2）处取得最大值6,故选D。
11．解析：
选C。
设{an}的公差为d，S1＝a1，S2＝2a1＋d＝2a1＋a3－a12＝32a1－54,S4＝3a3＋a1＝a1－152，因为S1，S2，S4成等比数列，所以542＝152a1，
整理得4a21＋12a1＋5＝0，所以a1＝－52或a1＝－12.
当a1＝－52时，公差d＝0不符合题意,舍去；
当a1＝－12时，公差d＝a3－a12＝－1，
所以an＝－12＋（n－1）×（－1）＝－n＋12＝－12（2n－1）,
所以1an＝－22n＋1＝－12n＋1，所以其前n项和
Tn＝－12n＋1＝－12n＋1＝－2n2n＋1，故选C.
12。
解析：
选A。
抛物线的焦点为Fp，0，准线为x＝－p2,故直线AB的方程为y＝x－p2，设A（x1，y1），B（x2,y2），
由2⇒x2－3px＋p24＝0，
所以x1＋x2＝3p，y1＋y2＝2p，故线段AB的中点坐标为3p，p，
又AB的垂直平分线经过点（0,2），故AB垂直平分线的方程为y＝－x＋2，故p＝－3p2＋2，p＝45，x＝－25是抛物线的准线，作MC¡Íl1于点C，MD¡Íl2于点D，如图所示，由抛物线的定义知｜MD|＝｜MF｜，当M,C，F三点共线且点M位于C，F之间时,距离之和最小,其值是F2，0到l1:
5x－4y＋4＝0的距离，由点到直线的距离公式可得其距离d＝|6|2＝641＝4141.
13．解析：
双曲线的焦点（0，5）到渐近线y＝abx，即ax－by＝0的距离为|5b|a2＋b2＝5bc＝b＝3,所以a＝4,2a＝8。
答案：
8
14．解析:
因为（1－2x）5的展开式中的常数项为1，x的系数为C15×（－2）＝－10；（1＋ax）4的展开式中的常数项为1,x的系数为C14a＝4a，所以（1－2x）5（1＋ax）4的展开式中x的系数为1×4a＋1×（－10）＝2,所以a＝3。
答案：
3
15。
【解析】
，因为
所以
是偶函数。
所以
所以
变形为：
又
所以
在
单调递增,在
单调递减。
所以
等价于
故填
16解析：
分别取BB1，CC1的中点E,F，连接AE，EF，FD，则BN¡Í平面AEFD，设M在平面ABB1A1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为á，所以能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等,又矩形AEFD的周长为2＋，所以所求轨迹的周长为2＋。
答案：
2＋
17．解:
（1）在¡÷ABC中,cosB＝－cos（A＋C）．
由已知,得（1－sin2B）－cos（A＋C）＝1－cosAcosC,
¡à－sin2B－（cosAcosC－sinAsinC）＝－cosAcosC，
化简，得sin2B＝sinAsinC．由正弦定理，得b2＝ac，¡àa，b，c成等比数列．
（2）由
（1）及题设条件，得ac＝4。
则cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac≥2ac－ac2ac＝12，当且仅当a＝c时，等号成立．
¡ß0＜B＜ð，¡àsinB＝≤12＝32。
¡àS¡÷ABC＝12acsinB≤12×4×32＝。
¡à¡÷ABC的面积的最大值为.
18．解：
（1）根据频率分布直方图可知（0.02＋0.03＋0。
04＋m＋0。
06）×5＝1，解得m＝0。
05。
¡à所求样本中网购金额的平均值＝0。
05×5×52＋0.04×5×152＋0。
06×5×252＋0.02×5×352＋0.03×5×452＝0。
25×52＋0。
2×152＋0.3×252＋0.1×352＋0.15×452＝0.625＋1.5＋3。
75＋1。
75＋3。
375＝11.
（2）这20个服务网点中，非优秀服务网点有20×0.75＝15个，优秀服务网点有20×（0.02＋0。
03）×5＝5个,
¡àî的可能取值为0,1，2。
P（î＝0）＝220＝2138，P（î＝1）＝220＝1538,P（î＝2）＝220＝119，
¡àî的分布列为
î
0
1
2
P
2138
1538
119
E（î）＝0×2138＋1×1538＋2×119＝1938＝12.
19．解:
（1）证明：
因为SA＝1，AB＝2，SB＝,SA2＋AB2＝SB2,
所以¡÷SAB为直角三角形,且SA¡ÍAB，
又平面SAB¡Í底面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，
所以SA¡Í底面ABCD，SA¡ÍAC，
故¡ÏSCA为直线SC与底面ABCD所成的角，
即¡ÏSCA＝30°，可得AC＝，SC＝2.
在¡÷ADC中,AC＝，CD＝2,¡ÏADC＝60°，
所以ACsin60°＝CDsin¡ÏDAC，即3＝2sin¡ÏDAC,
得sin¡ÏDAC＝1,故¡ÏDAC＝90°，
所以AD¡ÍAC。
因为AD∩SA＝A,所以AC¡Í平面SAD.
又AC⊂平面SAC，
所以平面SAD¡Í平面SAC。
（2）以A为原点,AC，AD,AS所在的直线分别为x,y，z轴建立空间直角坐标系（如图），
故A（0,0,0），S（0,0，1），B（，－1，0），C（，0,0），D（0，1,0），
则SB→＝（，－1，－1），SC→＝（，0,－1），SD→＝（0,1，－1），
设平面SBC的法向量为n1＝（x1，y1，z1），则SC＝0，
即3x1－y1－z1＝0x1－z1＝0，令z1＝，得x1＝1，y1＝0，
故n1＝（1，0，）为平面SBC的一个法向量．
设平面SCD的法向量为n2＝（x2，y2,z2），
则SD＝0，即3x2－z2＝0y2－z2＝0，
故y2＝z2＝x2。
令x2＝1，得n2＝（1，，）为平面SCD的一个法向量．
¡àcos〈n1，n2>＝n1·n2|n1||n2|＝1＋0＋37＝47＝77。
分析可知二面角BSCD为钝角，故其余弦值为－77.
20．解:
（1）法一：
¡ß椭圆C的右焦点为F2（2，0）,¡àc＝2,
椭圆C的左焦点为F1（－2，0）．
由椭圆的定义可得2a＝152＋152＝969＋249＝2，解得a＝，
¡àb2＝a2－c2＝6－4＝2.
¡à椭圆C的标准方程为x26＋y22＝1。
法二：
¡ß椭圆C的右焦点为F2（2,0），
¡àc＝2，故a2－b2＝4，
又点P153在椭圆C上，则1a2＋159b2＝1，故1b2＋4＋159b2＝1，化简得3b4＋4b2－20＝0，得b2＝2,a2＝6，
¡à椭圆C的标准方程为x26＋y22＝1。
（2）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为y＝－x＋t,
由＝1y＝－x＋t得x2＋3（－x＋t）2－6＝0,即4x2－6tx＋（3t2－6）＝0，Ä＝（－6t）2－4×4×（3t2－6）＝96－12t2＞0，
解得－2＜t＜2.
设M（x1,y1），N（x2,y2），则x1＋x2＝3t2，x1x2＝3t2－64，
由于｜F1M｜＝|F1N｜，设线段MN的中点为E，则F1E¡ÍMN，故kF1E＝－1kMN＝1，又F1（－2,0），Ey1＋y22，
即Et4，
¡àkF1E＝3t＋2＝1，解得t＝－4.
当t＝－4时,不满足－2＜t＜2，
¡à不存在满足条件的直线l.
21．解：
（1）由题意知，曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线斜率为2,
所以f′
（1）＝2，又f′（x）＝lnx＋ax＋1,所以a＝1.
设h（x）＝f（x）－g（x）＝（x＋1）lnx－x2ex，
当x¡Ê（0,1］时,h（x）＜0,
又h
（2）＝3ln2－4e2＝ln8－4e2＞1－1＝0,
所以存在x0¡Ê（1，2），使h（x0）＝0。
因为h′（x）＝lnx＋1x＋1＋x－2ex，
当x¡Ê（1，2）时，0＜x（2－x）＝－（x－1）2＋1＜1，
ex＞e，所以0＜1ex＜1e，所以2－xex＜1e，
所以h′（x）＞1－1e＞0，
所以当x¡Ê（1,2）时，h（x）单调递增，
所以方程f（x）＝g（x）在（1，2）内存在唯一的实根．
（2）由
（1）知，方程f（x）＝g（x）在（1,2）内存在唯一的实根x0，且x¡Ê（0，x0）时，f（x）＜g（x）,
又当x¡Ê（x0,2）时,h′（x）＞0,当x¡Ê（2，＋∞）时，h′（x）＞0，
所以当x¡Ê（x0,＋∞）时，h′（x）＞0，
所以当x¡Ê（x0，＋∞）时，f（x）＞g（x），
所以m（x）＝x2x0，＋∞
当x¡Ê（0,x0）时,若x¡Ê（0，1]，则m（x）≤0;
若x¡Ê（1，x0],由m′（x）＝lnx＋1x＋1＞0，
可知0＜m（x）≤m（x0），故
当x¡Ê（0，x0]时，m（x）≤m（x0）．
当x¡Ê（x0，＋∞）时,由m′（x）＝2－xex可得当x¡Ê（x0,2）时，
m′（x）＞0，m（x）单调递增；
x¡Ê（2,＋∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减．
可知m（x）≤m
（2）＝4e2,且m（x0）＜m
（2）．
综上可得，函数m（x）的最大值为4e2.
22．解：
（1）设（x1,y1）为圆上的点，在已知变换下变为Ã上的点（x，y）,
依题意，得x＝2x1y＝3y1，即y3。
由x21＋y21＝1，得x22＋y32＝1。
即曲线Ã的方程为x24＋y29＝1.故Ã的参数方程为x＝2costy＝3sint（t为参数）．
（2）由＝13x＋2y－6＝0，解得x＝2y＝0，或x＝0y＝3.
不妨设P1（2,0）,P2（0，3），则线段P1P2的中点坐标为32，
所求直线的斜率k＝23.于是所求直线方程为y－32＝23（x－1），即4x－6y＋5＝0.
化为极坐标方程,得4ñcosè－6ñsinè＋5＝0.
23．解：
（1）¡ß|2x－a|＜b，¡àa－b2＜x＜a＋b2，
¡ßf（x）＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，¡àa＋b＝2,¡àa＝1b＝3.
（2）由已知，得m≥f（x＋2）－f（x）＝｜2x＋2｜－｜2x－2｜对一切实数x均成立，
又｜2x＋2|－|2x－2｜≤｜（2x＋2）－（2x－2）|＝4，¡àm≥4.
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