学年新课标最新湘教版八年级数学下册《四边形》同步练习题及答案解析.docx

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学年新课标最新湘教版八年级数学下册《四边形》同步练习题及答案解析

湘教版2017—2018学年八年级数学下学期

《四边形》2.1—2.2同步练习与解析

一.选择题(共10小题)

1.从n边形一个顶点出发,可以作(  )条对角线.

A.nB.n﹣1C.n﹣2D.n﹣3

2.从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线,将多边形分成10个三角形,则此多边形的边数为(  )

A.9B.11C.12D.10

3.若一个多边形的内角和与它的外角和相等,则这个多边形是(  )

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

4.若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是(  )

A.7B.10C.35D.70

5.设四边形的内角和等于a,五边形的外角和等于b,则a与b的关系是(  )

A.a>bB.a=bC.a<bD.b=a+180°

6.商店出售下列形状的地砖:

①长方形;②正方形;③正五边形;④正六边形.

若只选购其中某一种地砖镶嵌地面,可供选择的地砖共有(  )

A.1种B.2种C.3种D.4种

7.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于E,∠BED=150°,则∠A的大小为(  )

A.150°B.130°C.120°D.100°

8.如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1,另两张直角三角形纸片的面积都为S2,中间一张正方形纸片的面积为S3,则这个平行四边形的面积一定可以表示为(  )

A.4S1B.4S2C.4S2+S3D.3S1+4S3

9.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是(  )

A.10B.14C.20D.22

10.如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,则AE+AF的值等于(  )

A.2B.3C.4D.6

 

二.填空题(共8小题)

11.如图,在▱ABCD中,BE⊥AB交对角线AC于点E,若∠1=20°,则∠2的度数为  .

12.如图,▱ABCD中,AC=8,BD=6,AD=a,则a的取值范围是  .

13.如图,在▱ABCD中,AB=3,BC=5,以点B的圆心,以任意长为半径作弧,分别交BA、BC于点P、Q,再分别以P、Q为圆心,以大于

PQ的长为半径作弧,两弧在∠ABC内交于点M,连接BM并延长交AD于点E,则DE的长为  .

14.如图,在▱ABCD中,P是CD边上一点,且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA,若AD=5,AP=8,则△APB的周长是  .

15.如图,在▱ABCD中,AB=2

cm,AD=4cm,AC⊥BC,则△DBC比△ABC的周长长  cm.

16.一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形的边数是  .

17.试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子:

  .

18.如图,若▱ABCD的周长为36cm,过点D分别作AB,BC边上的高DE,DF,且DE=4cm,DF=5cm,▱ABCD的面积为  cm2.

 

三.解答题(共5小题)

19.如图,已知正五边形ABCDE,AF∥CD交DB的延长线于点F,交DE的延长线于点G,求∠G的度数.

20.一个多边形的内角和是它外角和的2倍,求这个多边形的边数.

21.已知线段AC=8,BD=6.

(1)已知线段AC垂直于线段BD.设图

(1)、图

(2)和图(3)中的四边形ABCD的面积分别为S1,S2和S3,则S1=  ,S2=  ,S3=  ;

(2)如图(4),对于线段AC与线段BD垂直相交(垂足O不与点A,C,B,D重合)的任意情形,请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想,并证明你的猜想.

22.如图,在▱ABCD中,E、F分别为边AD、BC的中点,对角线AC分别交BE,DF于点G、H.求证:

AG=CH.

23.在▱ABCD中,BC=2AB,M为AD的中点,设∠ABC=α,过点C作直线AB的垂线,垂足为点E,连ME.

(1)如图①,当α=90°,ME与MC的数量关系是  ;∠AEM与∠DME的关系是  ;

(2)如图②,当60°<α<90°时,请问:

(1)中的两个结论是否仍然成立?

若成立,请证明;若不成立,请说明理由;

(3)如图③,当0°<α<60°时,请在图中画出图形,ME与MC的数量关系是  ;∠AEM与∠DME的关系是  .(直接写出结论即可,不必证明)

 

2.1—2.2同步练习解析

 

一.选择题(共10小题)

1.从n边形一个顶点出发,可以作(  )条对角线.

A.nB.n﹣1C.n﹣2D.n﹣3

【分析】根据多边形的对角线的方法,不相邻的两个定点之间的连线就是对角线,在n边形中与一个定点不相邻的顶点有n﹣3个.

【解答】解:

n边形(n>3)从一个顶点出发可以引n﹣3条对角线.

故选D.

【点评】本题主要考查了多边形的对角线的定义,是需要熟记的内容.

 

2.从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线,将多边形分成10个三角形,则此多边形的边数为(  )

A.9B.11C.12D.10

【分析】根据从一个n边形一个顶点出发的对角线可将这个多边形分成(n﹣2)个三角形进行计算即可.

【解答】解:

设这个多边形的边数是n,

由题意得,n﹣2=10,

解得,n=12.

故选:

C.

【点评】本题考查的是n边形的对角线的知识,从n边形从一个顶点出发可引出(n﹣3)条对角线,可将这个多边形分成(n﹣2)个三角形.

 

3.(2016•南通)若一个多边形的内角和与它的外角和相等,则这个多边形是(  )

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解.

【解答】解:

设多边形的边数为n,根据题意得

(n﹣2)•180°=360°,

解得n=4.

故这个多边形是四边形.

故选B.

【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理,熟记公式与定理是解题的关键.

 

4.(2016•广安)若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是(  )

A.7B.10C.35D.70

【分析】由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式,即可得出关于n的一元一次方程,解方程即可求出n的值,将其代入

中即可得出结论.

【解答】解:

∵一个正n边形的每个内角为144°,

∴144n=180×(n﹣2),解得:

n=10.

这个正n边形的所有对角线的条数是:

=

=35.

故选C.

【点评】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线,解题的关键是求出正n边形的边数.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键.

 

5.(2016•宜昌)设四边形的内角和等于a,五边形的外角和等于b,则a与b的关系是(  )

A.a>bB.a=bC.a<bD.b=a+180°

【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论.

【解答】解:

∵四边形的内角和等于a,

∴a=(4﹣2)•180°=360°.

∵五边形的外角和等于b,

∴b=360°,

∴a=b.

故选B.

【点评】本题考查的是多边形的内角与外角,熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键.

 

6.商店出售下列形状的地砖:

①长方形;②正方形;③正五边形;④正六边形.

若只选购其中某一种地砖镶嵌地面,可供选择的地砖共有(  )

A.1种B.2种C.3种D.4种

【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是:

围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角.

【解答】解:

①长方形的每个内角是90°,4个能组成镶嵌;

②正方形的每个内角是90°,4个能组成镶嵌;

③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°,不能整除360°,不能镶嵌;

④正六边形的每个内角是120°,能整除360°,3个能组成镶嵌;

故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面,可供选择的地砖有①②④.

故选C.

【点评】此题主要考查了平面镶嵌,用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°.任意多边形能进行镶嵌,说明它的内角和应能整除360°.

 

7.(2016•河池)如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于E,∠BED=150°,则∠A的大小为(  )

A.150°B.130°C.120°D.100°

【分析】由在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于E,易证得∠AEB=∠ABE,又由∠BED=150°,即可求得∠A的大小.

【解答】解:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,

∴∠AEB=∠CBE,

∵BE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠CBE,

∴∠AEB=∠ABE,

∵∠BED=150°,

∴∠ABE=∠AEB=30°,

∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°.

故选C.

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.

 

8.(2016•宁波)如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1,另两张直角三角形纸片的面积都为S2,中间一张正方形纸片的面积为S3,则这个平行四边形的面积一定可以表示为(  )

A.4S1B.4S2C.4S2+S3D.3S1+4S3

【分析】设等腰直角三角形的直角边为a,正方形边长为c,求出S2(用a、c表示),得出S1,S2,S3之间的关系,由此即可解决问题.

【解答】解:

设等腰直角三角形的直角边为a,正方形边长为c,

则S2=

(a+c)(a﹣c)=

a2﹣

c2,

∴S2=S1﹣

S3,

∴S3=2S1﹣2S2,

∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1.

故选A.

【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识,解题的关键是求出S1,S2,S3之间的关系,属于中考常考题型.

 

9.(2016•泸州)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是(  )

A.10B.14C.20D.22

【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO,BO=DO,DC=AB=6,再利用已知求出AO+BO的长,进而得出答案.

【解答】解:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AO=CO,BO=DO,DC=AB=6,

∵AC+BD=16,

∴AO+BO=8,

∴△ABO的周长是:

14.

故选:

B.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质,正确得出AO+BO的值是解题关键.

 

10.(2016•泰安)如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,则AE+AF的值等于(  )

A.2B.3C.4D.6

【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB,证出BF=BC=8,同理:

DE=CD=6,求出AF=BF﹣AB=2,AE=AD﹣DE=2,即可得出结果.

【解答】解:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,AD=BC=8,CD=AB=6,

∴∠F=∠DCF,

∵CF平分∠BCD,

∴∠FCB=∠DCF,

∴∠F=∠FCB,

∴BF=BC=8,

同理:

DE=CD=6,

∴AF=BF﹣AB=2,AE=AD﹣DE=2,

∴AE+AF=4;

故选:

C.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键.

 

二.填空题(共8小题)

11.(2016•河南)如图,在▱ABCD中,BE⊥AB交对角线AC于点E,若∠1=20°,则∠2的度数为 110° .

【分析】首先由在▱ABCD中,∠1=20°,求得∠BAE的度数,然后由BE⊥AB,利用三角形外角的性质,求得∠2的度数.

【解答】解:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,

∴∠BAE=∠1=20°,

∵BE⊥AB,

∴∠ABE=90°,

∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°.

故答案为:

110°.

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质.注意平行四边形的对边互相平行.

 

12.(2016•巴中)如图,▱ABCD中,AC=8,BD=6,AD=a,则a的取值范围是 1<a<7 .

【分析】由平行四边形的性质得出OA=4,OD=3,再由三角形的三边关系即可得出结果.

【解答】解:

如图所示:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=

AC=4,OD=

BD=3,

在△AOD中,由三角形的三边关系得:

4﹣3<AD<4+3.

即1<a<7;

故答案为:

1<a<7.

【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系;熟练掌握平行四边形的性质,由三角形的三边关系得出结果是解决问题的关键.

 

13.(2016•深圳)如图,在▱ABCD中,AB=3,BC=5,以点B的圆心,以任意长为半径作弧,分别交BA、BC于点P、Q,再分别以P、Q为圆心,以大于

PQ的长为半径作弧,两弧在∠ABC内交于点M,连接BM并延长交AD于点E,则DE的长为 2 .

【分析】根据作图过程可得得AE平分∠ABC;再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB=∠CBE,证出AE=AB=3,即可得出DE的长.,

【解答】解:

根据作图的方法得:

AE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠CBE

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,AD=BC=5,

∴∠AEB=∠CBE,

∴∠ABE=∠AEB,

∴AE=AB=3,

∴DE=AD﹣AE=5﹣3=2;

故答案为:

2.

【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定.熟练掌握平行四边形的性质,证出AE=AB是解决问题的关键.

 

14.(2016•新疆)如图,在▱ABCD中,P是CD边上一点,且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA,若AD=5,AP=8,则△APB的周长是 24 .

【分析】根据平行四边形性质得出AD∥CB,AB∥CD,推出∠DAB+∠CBA=180°,求出∠PAB+∠PBA=90°,在△APB中求出∠APB=90°,由勾股定理求出BP,证出AD=DP=5,BC=PC=5,得出DC=10=AB,即可求出答案.

【解答】解:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥CB,AB∥CD,

∴∠DAB+∠CBA=180°,

又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA,

∴∠PAB+∠PBA=

(∠DAB+∠CBA)=90°,

在△APB中,∠APB=180°﹣(∠PAB+∠PBA)=90°;

∵AP平分∠DAB,

∴∠DAP=∠PAB,

∵AB∥CD,

∴∠PAB=∠DPA

∴∠DAP=∠DPA

∴△ADP是等腰三角形,

∴AD=DP=5,

同理:

PC=CB=5,

即AB=DC=DP+PC=10,

在Rt△APB中,AB=10,AP=8,

∴BP=

=6,

∴△APB的周长=6+8+10=24;

故答案为:

24.

【点评】本题考查了平行四边形性质,平行线性质,等腰三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,勾股定理等知识点的综合运用.

 

15.(2016•十堰)如图,在▱ABCD中,AB=2

cm,AD=4cm,AC⊥BC,则△DBC比△ABC的周长长 4 cm.

【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD=2

cm,AD=BC=4cm,AO=CO,BO=DO,根据勾股定理得到OC=3cm,BD=10cm,于是得到结论.

【解答】解:

在▱ABCD中,∵AB=CD=2

cm,AD=BC=4cm,AO=CO,BO=DO,

∵AC⊥BC,

∴AC=

=6cm,

∴OC=3cm,

∴BO=

=5cm,

∴BD=10cm,

∴△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD﹣(AB+BC+AC)=BD﹣AC=10﹣6=4cm,

故答案为:

4.

【点评】本题考查了平行四边形的性质,勾股定理,熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

 

16.(2016•黔西南州)一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形的边数是 8 .

【分析】n边形的内角和是(n﹣2)•180°,如果已知多边形的边数,就可以得到一个关于边数的方程,解方程就可以求出多边形的边数.

【解答】解:

根据n边形的内角和公式,得

(n﹣2)•180=1080,

解得n=8.

∴这个多边形的边数是8.

故答案为:

8.

【点评】本题考查了多边形的内角与外角,熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键.根据多边形的内角和定理,求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决.

 

17.试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子:

 S=

n(n﹣3) .

【分析】根据多边形对角线的条数的公式即可求解;

【解答】解:

用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子:

S=

n(n﹣3);

故答案为:

S=

n(n﹣3).

【点评】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式,熟记公式对今后的解题大有帮助.

 

18.如图,若▱ABCD的周长为36cm,过点D分别作AB,BC边上的高DE,DF,且DE=4cm,DF=5cm,▱ABCD的面积为 40 cm2.

【分析】由▱ABCD的周长为36cm,可得AB+BC=18cm①,又由过点D分别作AB,BC边上的高DE,DF,且DE=4cm,DF=5cm,由等积法,可得4AB=5BC②,继而求得答案.

【解答】解:

∵▱ABCD的周长为36cm,

∴AB+BC=18cm①,

∵过点D分别作AB,BC边上的高DE,DF,且DE=4cm,DF=5cm,

∴4AB=5BC②,

由①②得:

AB=10cm,BC=8cm,

∴▱ABCD的面积为:

AB•DE=40(cm2).

故答案为:

40.

【点评】此题考查了平行四边形的性质.注意利用方程思想求解是解此题的关键.

 

三.解答题(共5小题)

19.如图,已知正五边形ABCDE,AF∥CD交DB的延长线于点F,交DE的延长线于点G,求∠G的度数.

【分析】

(1)先分别用零指数幂,立方根,负指数化简,再计算即可;

(2)根据正五边形的内角及等腰三角形的性质计算即可.

【解答】解:

(1)原式=1﹣2﹣9=﹣10,

(2)∵ABCDE是正五边形,

∴∠C=∠CDE=108°CD=CB,

∴∠1=36°,

∴∠2=108°﹣36°=72°

∵AF∥CD,

∴∠F=∠1=36°,

∴∠G=180°﹣∠2﹣∠F=72°

【点评】此题是多边形的内角和,主要考查了正五边形的内角的计算,等腰三角形的性质,解本题的关键是求出正五边形的内角.

 

20.一个多边形的内角和是它外角和的2倍,求这个多边形的边数.

【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°以及外角和定理列出方程,然后求解即可.

【解答】解:

设这个多边形的边数是n,

根据题意得,(n﹣2)•180°=2×360°,

解得n=6.

答:

这个多边形的边数是6.

【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理,需要注意,多边形的外角和与边数无关,任何多边形的外角和都是360°.

 

21.已知线段AC=8,BD=6.

(1)已知线段AC垂直于线段BD.设图

(1)、图

(2)和图(3)中的四边形ABCD的面积分别为S1,S2和S3,则S1= 24 ,S2= 24 ,S3= 24 ;

(2)如图(4),对于线段AC与线段BD垂直相交(垂足O不与点A,C,B,D重合)的任意情形,请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想,并证明你的猜想.

【分析】

(1)把四边形ABCD的面积分成△ABD和△BCD的和,然后列式求解即可;

(2)猜想,四边形的面积等于互相垂直的对角线乘积的一半,然后根据四边形ABCD的面积分成△ABD和△BCD的和进行证明.

【解答】解:

(1)S1=

×6×3+

×6×5=9+15=24,

S2=

×6×4+

×6×4=12+12=24,

S3=

×6×6+

×6×2=18+6=24;

(2)猜想四边形ABCD面积为24,

理由如下:

S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD,

=

BD•AO+

BD•CO,

=

BD(AO+CO),

=

BD•AC,

=

×8×6,

=24.

【点评】本题考查了多边形,三角形的面积,把四边形的面积分成两个三角形的面积的和是解题的关键,利用规则图形的面积求不规则图形的面积是常用的方法之一.

 

22.(2016•黄冈)如图,在▱ABCD中,E、F分别为边AD、BC的中点,对角线AC分别交BE,DF于点G、H.求证:

AG=CH.

【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC,得出∠ADF=∠CFH,∠EAG=∠FCH,证出四边形BFDE是平行四边形,得出BE∥DF,证出∠AEG=∠CFH,由ASA证明△AEG≌△CFH,得出对应边相等即可.

【解答】证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,

∴∠ADF=∠CFH,∠EAG=∠FCH,

∵E、F分别为AD、BC边的中点,

∴AE=DE=

AD,CF=BF=

BC,

∴DE∥BF,DE=BF,

∴四边形BFDE是平行四边形,

∴BE∥DF,

∴∠AEG=∠ADF,

∴∠AEG=∠CFH,

在△AEG和△CFH中,

∴△AEG≌△CFH(ASA),

∴AG=CH.

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定,全等三角形的判定与性质;熟练掌握平行四边形的判定与性质,证明三角形全等是解决问题的关键.

 

23.在▱ABCD中,BC=2AB,M为AD的中点,设∠ABC=α,过点C作直线AB的垂线,垂足为点E,连ME.

(1)如图①,当α=90°,ME与MC的数量关系是 ME=MC ;∠AEM与∠DME的关系是 ∠DME﹣∠AEM=180°﹣α ;

(2)如图②,当60°<α<90°时,请问:

(1)中的两个结论是否仍然成立?

若成立,请证明;若不成立,请说明理由;

(3)如图③,当0°<α<60°时,请在图中画出图形,ME与MC的数量关系是 ME=MC ;∠AEM与∠DME的关系是 ∠DME﹣∠AEM=α .(直接写出结论即可,不必证明)

【分析】

(1)根据α=90°,▱ABCD是矩形,又M为AD的中点,所以可以证明△ABM与△DCM是全等三角形,根据全等三角形对应边相等即可得到ME=MC;根据三角形外角性质,∠DME﹣∠AEB=∠A,再根据两直线平行,同旁内角互补,∠A=180°﹣α;

(2)点E在线段AB上,过M作MN⊥EC于N,根据M为AD的中点,可得出MN是梯形AECD的中位线,故点N是EC的中点,从而MN是线段EC的垂直平分线,所以ME=MC;先根据两直线平行,同旁内角互补求出∠A的度数,再根据三角形的外角性质即可得到两角的关系.

(3)点E在线段BA的延长线上,根据

(2)的证明求解方法,同理可解.

【解答】

(1)ME=MC;∠DME﹣∠AEM=180°﹣α.

(2)成立.连CM,过M作MN⊥EC于N,

∵AB⊥CE,MN⊥

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