浙教版中考数学难题突破专题十基于PISA理念测试题含答案.docx
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浙教版中考数学难题突破专题十基于PISA理念测试题含答案
难题突破专题十 基于PISA理念测试题
PISA是国际学生评估项目的缩写，是一项由经济合作与发展组织统筹的学生能力测试项目．PISA类测试可强化对考生知识面，综合分析，创新素养等方面的考查，测试的重点是考生全面参与社会的知识与技能，发现和提出简单数学问题，初步懂得应用所学的数学知识、技能和基本数学思想进行独立思考．PISA测试题是中考命题的最新方向．
1[2015·嘉兴]小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，感觉最舒适（如图Z10－1①），侧面示意图为图②.使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图③），侧面示意图为图④.已知OA＝OB＝24cm，O′C⊥CA于点C，O′C＝12cm.
图Z10－1
（1）求∠CAO′的度数；
（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？
（3）如图④，垫入散热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？
例题分层分析
（1）根据题意可得：
O′C＝12cm，AO′＝AO＝24cm，O′C⊥CA于C，所以sin∠CAO′＝________，从而可求得∠CAO′＝________．
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD＝________cm，由C，O′，B′三点共线可得CB′＝________cm，所以显示屏的顶部B′比原来升高了________cm.
（3）没有旋转之前O′B′与水平线的夹角为________度，要使显示屏O′B′与水平线的夹角保持120°，则还需按顺时针方向旋转________度．
2[2015·丽水]某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运动时间为t（秒），经过多次测试后，得到如下部分数据：
t（秒）
0
0.16
0.2
0.4
0.6
0.64
0.8
…
x（米）
0
0.4
0.5
1
1.5
1.6
2
…
y（米）
0.25
0.378
0.4
0.45
0.4
0.378
0.25
…
（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起，y与x满足y＝a（x－3）2＋k.
①用含a的代数式表示k；
②球网高度为0.14米，球桌长1.4×2米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．
图Z10－2
例题分层分析
（1）根据表格中数据直接可知当t＝________秒时乒乓球达到最大高度．
（2）以点A为原点，以桌面中线为x轴，乒乓球运动方向为正方向，建立平面直角坐标系，根据表格中数据先画出大致图象，根据图象的形状，可判断y是x的________函数．可设函数表达式为____________．选一个点代入即可求得函数表达式为________________，然后将y＝0代入即可求得乒乓球落在桌面上时，与端点A的水平距离．
（3）①由
（2）得乒乓球落在桌面上时，得出对应点坐标，只要利用待定系数法求出函数解析式即可；
②由题意可得，扣杀路线在直线y＝
x上，由①得y＝a（x－3）2－
a，进而利用根的判别式求出a的值，进而求出x的值．
专题训练
1．[2016·金华]一座楼梯的示意图如图Z10－3所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ，现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度为1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A.
米2B.
米2
C．（4＋
）米2D．（4＋4tanθ）米2
图Z10－3图Z10－4
2．[2015·绍兴]如图Z10－4，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：
根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SASB．ASA
C．AASD．SSS
3．[2015·绍兴]挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：
当一根棒条没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图Z10－5中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走（ ）
A．②号棒B．⑦号棒
C．⑧号棒D．⑩号棒
图Z10－5 图Z10－6
4．[2015·绍兴]由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图Z10－6①，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是________cm.
5．[2016·江西]已知不等臂跷跷板AB长为3m，当AB的一端点A碰到地面时（如图Z10－7①），AB与地面的夹角为30°，当AB的另一端点B碰到地面时（如图②），AB与地面的夹角的正弦值为
，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH＝________m.
图Z10－7
6．[2016·绍兴]如图Z10－8①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为________cm.
图Z10－8
7．[2016·余干二模]如图Z10－9是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°，则垂直支架CD的长度为________厘米．（结果保留根号）
图Z10－9
8．[2015·金华]图Z10－10①是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面上的实物图，此时点A，B，C在同一直线上，且∠ACD＝90°.图②是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC′D′，最后折叠形成一条线段BD″.
（1）小床这样设计应用的数学原理是________；
（2）若AB∶BC＝1∶4，则tan∠CAD的值是________．
图Z10－10
9．[2016·舟山]太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图Z10－11②所示，BC＝10米，∠ABC＝∠ACB＝36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC＝90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）
（参考数据：
sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
图Z10－11
10．[2017·赤峰]王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图Z10－12①所示．已知AC＝20cm，BC＝18cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？
请说明你的理由．（提示：
sin50°＝0.8，cos50°＝0.6，tan50°＝1.2）
图Z10－12
11．[2016·临夏州]图Z10－13①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图．已知AC＝0.66米，BD＝0.26米，α＝20°.（参考数据：
sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
（1）求AB的长（精确到0.01米）；
（2）若测得ON＝0.8米，试计算小明头顶由N点运动到M点的路径
的长度．（结果保留π）
图Z10－13
12．[2017·威海]图Z10－14①是太阳能热水器装置的示意图．利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能．玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好．假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算．
如图②，AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD＝10cm，DE＝120cm，FG⊥DE，垂足为点G.
（1）若∠θ＝37°50′，则AB的长约为________cm；
（参考数据：
sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）
（2）若FG＝30cm，∠θ＝60°，求CF的长．
图Z10－14
13．[2017·常德]图Z10－15①和②分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所形成的的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离（精确到0.01米）．
（参考数据：
cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，
≈1.732）
图Z10－15
参考答案
例1 【例题分层分析】
（1）
30°
（2）12
36 （36－12
）
（3）90 30
解：
（1）∵O′C⊥CA于C，OA＝OB＝24cm，
∴sin∠CAO′＝
＝
＝
＝
，
∴∠CAO′＝30°.
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，
∵sin∠BOD＝
，∴BD＝OB·sin∠BOD，
∵∠AOB＝120°，∴∠BOD＝60°，
∴BD＝OB·sin∠BOD＝24×
＝12
.
∵O′C⊥OA，∠CAO′＝30°，∴∠AO′C＝60°，
∵∠AO′B′＝120°，
∴∠AO′B′＋∠AO′C＝180°，
∴B′，O′，C三点共线，
∴O′B′＋O′C－BD＝24＋12－12
＝36－12
，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36－12
）cm.
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
理由：
∵显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，
∴∠EO′F＝120°，
∴∠FO′A＝∠CAO′＝30°，
∵∠AO′B′＝120°，
∴∠EO′B′＝∠FO′A＝30°，
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
例2 【例题分层分析】
（1）0.4
（2）二次 y＝m（x－1）2＋0.45
y＝－
（x－1）2＋0.45
解：
以点A为原点，以桌面中线为x轴，乒乓球运动方向为正方向，建立平面直角坐标系．
（1）由表格中的数据，可得t＝0.4（秒）．
答：
当t为0.4秒时，乒乓球达到最大高度．
（2）由表格中数据，可画出y关于x的图象，根据图象的形状，可判断y是x的二次函数．可设y＝m（x－1）2＋0.45.
将（0，0.25）代入，可得m＝－
.
∴y＝－
（x－1）2＋0.45.
当y＝0时，x1＝
，x2＝－
（舍去），
即乒乓球与端点A的水平距离是
米．
（3）①由
（2）得乒乓球落在桌面上时，对应的点为（
，0），代入y＝a（x－3）2＋k，
得a×（
－3）2＋k＝0，
化简整理，得k＝－
a.
②由题意可知，扣杀路线在直线y＝
x上．
由①，得y＝a（x－3）2－
a.
令a（x－3）2－
a＝
x，
整理，得20ax2－（120a＋2）x＋175a＝0.
当Δ＝（120a＋2）2－4×20a×175a＝0时符合题意．
解方程，得a1＝
，a2＝
.
当a1＝
时，
求得x＝－
，不符合题意，舍去．
当a2＝
时，
求得x＝
，符合题意．
答：
当a＝
时，能恰好将球沿直线扣杀到点A.
专题训练
1．D 2.D
3．D [解析]按照条件中的游戏规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒，第7次应拿走⑦号棒，第8次应拿走③号棒，第9次应拿走④号棒，第10次应拿走①号棒，因此，本题应该选D.
4．18
5.
[解析]设OH＝xm，∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，∴AO＝2xm.
∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为
，∴BO＝3xm.
则AO＋BO＝2x＋3x＝3，解得x＝
.
故答案为：
.
6．25 [解析]如图，设圆的圆心为O，连结OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O的半径为Rcm.
易知OC⊥AB，
∴AD＝DB＝
AB＝20cm，∠ADO＝90°，
在Rt△AOD中，
∵OA2＝OD2＋AD2，
∴R2＝202＋（R－10）2，
∴R＝25.故答案为25.
7．38
[解析]∵支架CD与水平面AE垂直，
∴∠DCE＝90°.在Rt△CDE中，∠DCE＝90°，∠CED＝60°，DE＝76厘米，∴CD＝DE·sin∠CED＝76×sin60°＝38
（厘米）．
故答案为38
.
8．
（1）三角形的稳定性和四边形的不稳定性
（2）
9．解：
∵∠BDC＝90°，BC＝10米，sinB＝
，
∴CD＝BC·sinB≈10×0.59＝5.9（米）．
∵在Rt△BCD中，
∠BCD＝90°－∠B＝90°－36°＝54°，
∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝54°－36°＝18°，
∴在Rt△ACD中，tan∠ACD＝
，
∴AD＝CD·tan∠ACD≈5.9×0.32＝1.888≈1.9（米）．
故改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为1.9米．
10．解：
过点A作AD⊥BC于D，得
AD＝ACsin50°＝20×0.8＝16，
CD＝ACcos50°＝20×0.6＝12.
∵BC＝18，
∴BD＝BC－CD＝6.
∵AB2＝AD2＋DB2＝162＋62＝292，172＝289＜292，
∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．
11．解：
（1）过B作BE⊥AC于E，
则AE＝AC－BD＝0.66－0.26＝0.4（米），
∠AEB＝90°，
所以AB＝
＝
≈1.17（米）．
（2）∠MON＝90°＋20°＝110°，
所以
的长度是
＝
π（米）．
12．解：
（1）83.2.
（2）如图，过M点作MN∥AB，
过点E作EP∥AB，交CB于点P，分别延长ED，BC，两线交于点K，
∴MN∥EP，∴∠1＝∠2.
∵AB⊥BK，EP∥AB，
∴KP⊥EP，
∴∠2＋∠K＝90°.
∵∠θ＋∠1＝90°，
∴∠K＝∠θ＝60°.
在Rt△FGK中，∠KGF＝90°，sinK＝
，
∴KF＝
＝20
（cm）．
又∵CD∥AB，AB⊥BK，∴CD⊥CK.
在Rt△CDK中，∠KCD＝90°，tanK＝
，
∴CK＝
＝
（cm）．
∴CF＝KF－CK＝
（cm）．
13．解：
如图，过点A作AM⊥FE交FE的延长线于M，
∵∠FHE＝60°，
∴∠F＝30°.
在Rt△AFM中，FM＝AF·cosF＝AF·cos30°＝2.50×
≈2.165（米）．
在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝BC·tan75°≈0.60×3.732＝2.2392（米）．
∴篮板顶端F点到地面的距离为FM＋AB＝2.165＋2.2392＝4.4042（米），
∴篮筐D到地面的距离为4.4042－FD＝4.4042－1.35＝3.0542≈3.05（米）．
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