=0时,a0.
a(x,y)
(a)
(日
(ab)
a〃b
4
()a
aa
ab
ab
向量的数量积
0时,
0寸,
|cos(a,b)
X1X2V1V2
Jra-rb
4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
ei,e2是同一平面两个不共线的向量,那么,对于这个平面任一向量,有且仅有一对实数如
为,使a=出ei+?
2e2.
(2)两个向量平行的充要条件
allba=?
b(b司)xiy2—X2yi=O.
(3)两个向量垂直的充要条件
a±bab=OX1X2+yiy2=O.
12
中点公式OP=-(OP1+Op2)或
2y1V2
y丁.
正、余弦定理:
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径)余弦定理:
a2=b2+c2—2bccosA,
b2=c2+a2—2cacosB,c2=a2+b2—2abcosC.
三角形面积计算公式:
(1)S=ah/2
(2).已知三角形三边a,b,c,则S=Vp(p-a)(p-b)(p-c)]=(1/4)v[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
(p=(a+b+c)/2)
⑶.已知三角形两边a,b,这两边夹角C,贝US=1/2*absinC
(4).设三角形三边分别为a、b、c,切圆半径为rS=(a+b+c)r/2
(5).设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为RS=abc/4R
⑹.根据三角函数求面积:
S=absinC/2a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:
其中R为外切圆半
径。
不等式知识要点
1.不等式的基本概念
不等(等)号的定义:
ab0ab;ab0ab;ab0ab.
2.不等式的基本性质
(1)abba(对称性)
(2)ab,bcac(传递性)
(3)ab
acbc(加法单调性)(4)a
b,cdac
b
d(同向不等式相
加)(5)a
b,cdacbd(异向不等式相减)(6)a.
b,c
0acbc
(7)ab,c
0acbc(乘法单调性)(8)a
b0,cd0
ac
bd(同向/、等式
相乘)(9)a
b00cd-—(异向』、等式相除)
(10)ab,ab
0
11(倒数关系)
cd
ab
(11)ab
0anbn(nZ,且n1)(平方法则)
(12)ab0
na
nb(nZ,且n1)
(开方法则)
3.几个重要不等式
(1)若aR,则|a|0,a20
(2)若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)(当仅当a=b时
取等号)(3)如果a,b都是正数,那么何头(当仅当a=b时取等号)
2
极一值定理一:
一若x,yR,xyS,xyP,贝U:
1如果P是定值,那么当x=y时,S的值最小;
2如果S是定值,那么当x=y时,P的值最大.
利用极值定理求最值的必要条件:
一正、二定、三相等.
(4)若a、b、cR,则abC^abc(当仅当a=b=c时取等号)
3
(5)若ab0,则ba2(当仅当a=b时取等号)
2222
(6)a0时,|x|axaxa或xa;|x|axaaxa
不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法^
不等式的解法
直线和圆的方程
一、直线方程.
1.直线的倾斜角:
一条直线向上的方向与x由正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜
角,其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的围是0180(0).
注:
①当90或x2x1时,直线l垂直于x轴,它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与x轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都
有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定^
2.直线方程的几种形式:
点斜式、截距式、两点式、斜切式^
3.⑴两条直线平行:
11IIl2k1k2两条直线平行的条件是:
①11和l2是两条不重合的直线.②在11和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个前提”都会导致结论的
错误.
(一般的结论是:
对于两条直线li,l2,它们在y轴上的纵截距是bi,b2,则li//12kik2,
且bib2或1i,12的斜率均不存在,即A1B2BiA2是平行的必要不充分条件,且CiC2)推论:
如果两条直线1i,12的倾斜角为i,2则li//I2i2.
⑵两条直线垂直:
两条直线垂直的条件:
①设两条直线1i和l2的斜率分别为ki和k2,则有1i12kik2I这里的前提是1i,12的斜率都存在.②li12ki0,且l2的斜率不存在或k20,且1i的斜率不存在.(即AiB2A2BI0是垂直的充要条件)
.点到直线的距离:
⑴点到直线的距离公式:
设点P(Xo,yo),直线1:
AxByC0,P到l的距离为d,则有
」AX0By。
Cd
.
.A2B2
i.两点Pi(xi,yi)>P2(x2,y2)的距离公式:
|RP2|JX2―Xip―G―yT)7.
特例:
点P(x,y)到原点O的距离:
|OP|JX2y2
2.直线的倾斜角(0°vvi80°)、斜率:
ktan
3.过两点Pi(xi,yi),P2(x2,y2)的直线的斜率公式:
ky2yi.(x〔x?
)
x2xi
当xix2,yiV2(即直线和x轴垂直)时,直线的倾斜角=90,没有斜率-
⑵两条平行线间的距离公式:
设两条平行直线li:
AxByCi0,12:
AxByC20(CiC2),
—CiC2
它们之间的距离为d,则有d二.
A2B2
7.关于点对称和关于某直线对称:
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等^
⑵关于某直线对称的两条直线性质:
若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称
直线距离相等.
若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线
⑶点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程①),过两对
称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点^
二、圆的方程.
如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y)线C上的充要条件是f(x0,y0)=0
2.圆的标准方程:
以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.
特例:
圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程是:
x2y2r2.
3.圆的一般方程:
x2y2DxEyF0.
当D2E24F0时,方程表示一个圆,其中圆心
当D2E24F0时,方程表示一个点
当D2E24F0时,方程无图形(称虚圆)
4.点和圆的位置关系:
给定点M(x0,y0)及圆C:
(xa)2(yb)2r2.
1M在圆C(x0a)2(y0b)2r2
②M在圆C上
222
(X0a)(y0b)r
222
③M在圆C外(X0a)(y0b)r
5.直线和圆的位置关系:
设圆圆C:
(xa)2(yb)2r2(r0);
直线l:
AxByC0(A2B20);
一AaBbC
圆心C(a,b)到直线l的距离dI'
、A2B2
①dr时,l与C相切;
附:
若两圆相切,则
22
xyD〔xE〔yF10
22
xyD?
xE2yF20
相减为公切线方程
2dr时,l与C相交;附:
公共弦方程:
设
有两个交点,则其公共弦方程为
3dr时,l与C相离.
(D1D2)x(EiE2)y
22
C1:
xyD1xE1yF10
C2:
x2y2D2xE2yF20(FiF2)0.
由代数特征判断:
的一元二次方程,
方程组(xa)2(yb)2「2用代入法,得关于x(或y
AxBxC0
其判别式为,则:
0l与C相切;
0l与C相交;
0l与C相离.
般方程若点(x。
y。
)在圆上,贝U(x-a)(x°-a)+(y-b)(y。
-b)=R2.特别地,过圆x2y2r2上一
点P(x°,y°)的切线方程为x°xy°yr2.
圆锥曲线方程
一、椭圆方程.
1.椭圆方程的第一定义:
PF1
PF2
2a
F1F2方程为椭圆,
PF1
PF2
2a
F1F2无轨迹,
PF1
PF2
2a
F1F2以F1,F2为端点的线段
⑴①椭圆的标准方程:
i.中心在原点,焦点在x轴上:
x2
a
y2
m1(ab0).
2ii.中心在原点,焦点在y轴上:
_La2b
1(ab0)-
②一般方程:
Ax2By21(A0,B0).⑵①顶点:
(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②轴:
对称轴:
x
轴,y轴;
FiF2
长轴长2a,短轴长2b.③焦点:
(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦距:
2c,cJa2b2⑤准线:
x—或yc
⑧通径:
垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:
—.@离心率:
e-(0e1).a
22
b、