高考文科数学知识点总结.docx
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高考文科数学知识点总结
集合与简易逻辑
知识回顾：
（一）集合
1.基本概念：
集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用
2.集合的表示法：
列举法、描述法、图形表示法^
集合元素的特征：
确定性、互异性、无序性^
3⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.
（二）含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.含绝对值不等式的解法
（1）公式法：
axbc,与|axbc（c0）型的不等式的解法
（2）定义法：
用“零点分区间法”分类讨论.
（3）
几何法：
根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+box>0（a>0）解的讨论.
0
0
0
二次函数
2
yaxbxc
（a0）的图象
Ki
I
6
f
2
J
一兀一次方程
axbxc0
a0的根
有两相异实根
x1,x2（x〔x2）
有两相等实根
b
x1x2—
2a
无实根
ax2bxc0
（a0）的解集
x
xx1或xx2
b
xx
2a
R
ax2bxc0
（a0）的解集
x
x1xx2
（三）简易逻辑
（3）p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真.
4、四种命题的形式：
原命题：
若P则q;逆命题：
若q则p；
否命题：
若.?
则「q;逆否命题：
若.q则「p°
6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p?
q.
函数
知识回顾：
（1）映射与函数
1.映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数
才是同一函数.
（2）函数的性质
L函数的单调性
定义：
对于函数f（x）的定义域I某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑴若当X1⑵若当x1f（x2），则说f（x）在这个区间上是减函数.
若函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格
的）单调性，这一区间叫做函数y=f（x）的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数
2.函数的奇偶性
偶函敬的定义=如果对于•饱教的定义域内任意'个X,都有么函叫做偈函数.
&僵函敷0/（-I）-/（I）=力-功-凡）（o
奇函数的定义：
如果对于函效too的定义域内任竟•个X,都有函数就叫做奇函教.
六对是奇函数加-加0*力+/印心祭=1（/闵珂
4.判断函数单调性（定义）作差法：
对带根号的一定要分子有理化，例如:
f（Xi）f（X2）&b2辰b2J2.2|2
Xb"为
（x1x2）（x1>2）
b2
指数函数与对数函数
指数函数及其性质
（三）
y=ax（a>0,a裆）
a>1
0图
象
y■:
/
•
hll
y-A'
a■L■un■■■h
了=1
ky
0
c
图
特
征
图像分布在一、一
二象限，与有y轴相交，落在轴的上方。
都过点（0,1）
第一象限的点的纵坐标都大丁1；第
二象限的点的纵坐标都大丁0且小丁
1。
第一象限的点的纵坐标都大丁0且小
丁1;第二象限的点的纵坐标都大丁
1。
从左向右图像逐渐上升。
从左向右图像逐渐下降。
性
质
定义域：
R
值域：
（0,+8
）
过定点（0,1）,即x=0时，y=1
x>0时，y>1;x<0时，0x>0时，0时，y>1.
在R上是增函数
在R上是减函数
n
（I）aaaa.....
a（nN）
1
⑵a01（a0）（3）ap-（a0.pN）
（4）anVam（a0,m,nN,且n1）
（5）an—^（a0,m,nN,且n1）
an
（6）0的正分数指数藉等于0,0的负分数指数藉无意义
rsrs
⑺aaa,（a0,r,sQ）
rsrs__
（8）（a）a,（a0,r,sQ）
⑼（ab）raras,（a0,b0,rQ）
对数函数及其性质
y=loga（a>0,a袒）
a>1
0图
象
y/
Z
y/
0
1x
0
vx
图
像
特
征
图像分布在一、四象限，与有x轴相父，落在y轴的右侧。
都过点（1,0）
第一象限的点的横坐标都大丁1;第四
象限的点的横坐标都大丁0且小丁1。
第一象限的点的横坐标都大丁0且小丁1;第
四象限的点的横坐标都大丁1。
从左向右图像逐渐上升。
从左向右图像逐渐下降。
性
定义域：
（0,+00）
值域：
R
过定点（1,0），即x=1时，y=0
x>1时，y>0;000x>1时，y<0.
质
在R上是增函数
在R上是减函数
loga（MN）logaMlogaN⑴
M
logalogaMlogaNN
logaMnnlogaM12）
loganM1logaMn
alogaNN
换底公式：
logaN
logbn
logba
推论：
logablogbclogca
logaia2loga2as...loganianlog&an
.函数的定义域的求法：
布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数
的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数
大于0,底数大于零且不等于1;④零指数藉的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
.函数值域的求法：
①配方法（二次或四次）；②“判别式法”；③换元法；④不等式法；⑤函数的单调性法.
数列
等差数列
等比数列
定义
an1and
an1
工q（q0）
an
递推公式
anan1d;anamnmd
nm
anan1q；anamq
通项公式
ana1（n1）d
n1
ana〔q（a〔，q0）
前n项
和
Sn?
（a1an）
2
Gnan（n1）
Snna〔d
2
na〔（q1）
Sna11qna1anq
1（q2）
1q1q
重要性质
…*
amanapaq（m,n,p,qN
mnpq）
amanapaq（m,n,p,qN,mnpc
看数列是不是等差数列有以下方法:
是等比数列有以下方法:
①
anan1
②
2
anan1
（
n2
）
⑶
看
数
列
是
不
d（n
an1
2,d为'
①an
an1q（n2,q为常数，且0）
2
②anan1an1（n2,anan1an10）
在等差数列｛an｝中，有关S的最值问题:
0
的项数m使
0
am
（1）当a1>0,d<0时，满足
am
得Sm取最大值.⑵当ai<0,d>0时，满足
am
am1
0
的项数m使得Sm取最小值。
0
等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
（三）、数列求和的常用方法
1.公式法：
适用于等差、
2.裂项相消法：
适用于
c
其中｛an｝是各项不为0的等差数列，c为常数;
anan1
3.错位相减法：
适用于anbn其中｛an｝是等差数列，bn是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法：
类似于等差数列前n项和公式的推导方法
5.常用结论
n（n1）nn1
1（-n（n2）2n
.22』
sincos1
三角函数
1.三角函数的定义域:
三角函数
定义域
f（x）
sinx
x|xR
f（x）
cosx
x|xR
f（x）
tanx
x|xRHxk-,kZ
2
2、同角三角函数的基本关系式：
sintan
cos
3、诱导公式:
“奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式:
:
（一）
基本关系
cos（
）
cos
cos
sinsin
sin2
2sincos
cos（
）
cos
cos
sinsin
cos2
2.2
cossin
sin（
）
sin
cos
cossin
tan2
2tan
1tan2
tan
tan
的三角函数,
概括为:
1tantan
k
把一的三角函数化为
2
一2一2
2cos2112sin2
4.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
ysinx
ycosx
ytanx
定义域
R
R
x|xR且xk1,kZ
值域
[1,1]
[1,1]
R
周期性
2
2
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
[2k,
2上
—2k]2
为增函数；
M2k，
2上为
3
——2k]2
减函数
（kZ）
；""上为
[2k增函数板,〔]
上为减函数
（kZ）
_k,_k上
22
为增函数（kZ）
Dysin（x）或ycos（x）（0）的周期T
4ysin（x）的对称轴方程是xk—（kZ），对称中心（k,0）;ycos（x）
的对称轴方程是xk（kZ），对称中心（kI0）；ytan（x）的对称中心2，
/k
（——,0）.
2
奇偶性的两个条件：
一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：
f（x）f（x），奇函数：
f（x）f（x））
…一，一，，1、
奇偶性的单倜性：
奇同偶反.例如：
ytanx是奇函数，ytan（x§）是非奇非偶.（定
义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：
若
0x的定义域，贝Uf（x）一定有f（0）0.（0x的定义域，则无此性
y=cos|x|图象
y=|cos2x+1/21图象
质）
⑨Vsinx不是周期函数；ysinx为周期函数（T
ycosx是周期函数（如图）；ycosx为周期函数
ycos2x1的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如:
2
yf（x）5f（xk）,kR.
三角函数图象的作法:
1）、描点法及其特例一一五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）
2）、利用图象变换作三角函数图象.
向量的概念
（1）向量的基本要素：
大小和方向.
（2）向量的表示：
几何表示法AB；字母表示：
a；
坐标表示法a=xi+yj=（x,y）
（3）向量的长度：
即向量的大小，记作|aI.
（4）特殊的向量：
零向量a=O|a|=O.
单位向量ao为单位向量IaoI=1.
（5）相等的向量：
大小相等，方向相同（xi,yi）=（x2,y2）
XiX2
yiy2
⑹相反向量：
a=-bb=-aa+b=0
（7）平行向量（共线向量）：
方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作aIIb.平行向量也称为
共线向量.
3.向量的运算
运算类型
向量的
加法
几何方法
1.平行四边形法则
2.三角形法则
坐标方法
H,、
ab（*X2,y〔v2
运算性质
ddi
4
abba
T1
（ab）ca（bc）
ABBCAC
向量的减法
三角形法则
ab（x〔X2，y〔v2
aba
TBB
4
（b）
A，OBOAab
数乘向量
1.a是一个向量，7两
1
n44
足：
la||||a|
2.>0时，aLia同向；
=0时，a0.
a（x，y）
（a）
（日
（ab）
a〃b
4
（）a
aa
ab
ab
向量的数量积
0时,
0寸，
|cos（a,b）
X1X2V1V2
Jra-rb
4.重要定理、公式
（1）平面向量基本定理
ei,e2是同一平面两个不共线的向量，那么，对于这个平面任一向量，有且仅有一对实数如
为，使a=出ei+?
2e2.
（2）两个向量平行的充要条件
allba=?
b（b司）xiy2—X2yi=O.
（3）两个向量垂直的充要条件
a±bab=OX1X2+yiy2=O.
12
中点公式OP=-（OP1+Op2）或
2y1V2
y丁.
正、余弦定理：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）余弦定理：
a2=b2+c2—2bccosA,
b2=c2+a2—2cacosB,c2=a2+b2—2abcosC.
三角形面积计算公式：
（1）S=ah/2
（2）.已知三角形三边a,b,c,则S=Vp（p-a）（p-b）（p-c）]=（1/4）v[（a+b+c）（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）]
（p=（a+b+c）/2）
⑶.已知三角形两边a,b,这两边夹角C,贝US=1/2*absinC
（4）.设三角形三边分别为a、b、c,切圆半径为rS=（a+b+c）r/2
（5）.设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为RS=abc/4R
⑹.根据三角函数求面积：
S=absinC/2a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:
其中R为外切圆半
径。
不等式知识要点
1.不等式的基本概念
不等（等）号的定义：
ab0ab;ab0ab;ab0ab.
2.不等式的基本性质
（1）abba（对称性）
（2）ab,bcac（传递性）
（3）ab
acbc（加法单调性）（4）a
b,cdac
b
d（同向不等式相
加）（5）a
b,cdacbd（异向不等式相减）（6）a.
b,c
0acbc
（7）ab,c
0acbc（乘法单调性）（8）a
b0,cd0
ac
bd（同向/、等式
相乘）（9）a
b00cd-—（异向』、等式相除）
（10）ab,ab
0
11（倒数关系）
cd
ab
（11）ab
0anbn（nZ,且n1）（平方法则）
（12）ab0
na
nb（nZ,且n1）
（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）若aR,则|a|0,a20
（2）若a、bR，则a2b22ab（或a2b22|ab|2ab）（当仅当a=b时
取等号）（3）如果a,b都是正数，那么何头（当仅当a=b时取等号）
2
极一值定理一:
一若x,yR,xyS,xyP,贝U：
1如果P是定值，那么当x=y时，S的值最小；
2如果S是定值，那么当x=y时，P的值最大.
利用极值定理求最值的必要条件：
一正、二定、三相等.
（4）若a、b、cR，则abC^abc（当仅当a=b=c时取等号）
3
（5）若ab0,则ba2（当仅当a=b时取等号）
2222
（6）a0时，|x|axaxa或xa;|x|axaaxa
不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法^
不等式的解法
直线和圆的方程
一、直线方程.
1.直线的倾斜角：
一条直线向上的方向与x由正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜
角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0,故直线倾斜角的围是0180（0）.
注：
①当90或x2x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都
有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定^
2.直线方程的几种形式：
点斜式、截距式、两点式、斜切式^
3.⑴两条直线平行：
11IIl2k1k2两条直线平行的条件是：
①11和l2是两条不重合的直线.②在11和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个前提”都会导致结论的
错误.
（一般的结论是：
对于两条直线li,l2，它们在y轴上的纵截距是bi,b2，则li//12kik2,
且bib2或1i,12的斜率均不存在，即A1B2BiA2是平行的必要不充分条件，且CiC2）推论：
如果两条直线1i,12的倾斜角为i,2则li//I2i2.
⑵两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：
①设两条直线1i和l2的斜率分别为ki和k2,则有1i12kik2I这里的前提是1i,12的斜率都存在.②li12ki0,且l2的斜率不存在或k20,且1i的斜率不存在.（即AiB2A2BI0是垂直的充要条件）
.点到直线的距离：
⑴点到直线的距离公式：
设点P（Xo,yo）,直线1:
AxByC0,P到l的距离为d,则有
」AX0By。
Cd
.
.A2B2
i.两点Pi（xi,yi）>P2（x2,y2）的距离公式：
|RP2|JX2―Xip―G―yT）7.
特例：
点P（x,y）到原点O的距离：
|OP|JX2y2
2.直线的倾斜角（0°vvi80°）、斜率:
ktan
3.过两点Pi（xi,yi）,P2（x2,y2）的直线的斜率公式：
ky2yi.（x〔x?
）
x2xi
当xix2,yiV2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角=90，没有斜率-
⑵两条平行线间的距离公式：
设两条平行直线li：
AxByCi0,12:
AxByC20（CiC2）,
—CiC2
它们之间的距离为d，则有d二.
A2B2
7.关于点对称和关于某直线对称：
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等^
⑵关于某直线对称的两条直线性质：
若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称
直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线
⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对
称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点^
二、圆的方程.
如果曲线C的方程是f（x,y）=0，那么点P0（x0,y）线C上的充要条件是f（x0,y0）=0
2.圆的标准方程：
以点C（a,b）为圆心，r为半径的圆的标准方程是（xa）2（yb）2r2.
特例：
圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：
x2y2r2.
3.圆的一般方程：
x2y2DxEyF0.
当D2E24F0时，方程表示一个圆，其中圆心
当D2E24F0时，方程表示一个点
当D2E24F0时，方程无图形（称虚圆）
4.点和圆的位置关系：
给定点M（x0,y0）及圆C:
（xa）2（yb）2r2.
1M在圆C（x0a）2（y0b）2r2
②M在圆C上
222
（X0a）（y0b）r
222
③M在圆C外（X0a）（y0b）r
5.直线和圆的位置关系：
设圆圆C:
（xa）2（yb）2r2（r0）;
直线l:
AxByC0（A2B20）；
一AaBbC
圆心C（a,b）到直线l的距离dI'
、A2B2
①dr时，l与C相切；
附：
若两圆相切，则
22
xyD〔xE〔yF10
22
xyD?
xE2yF20
相减为公切线方程
2dr时，l与C相交；附：
公共弦方程：
设
有两个交点，则其公共弦方程为
3dr时，l与C相离.
（D1D2）x（EiE2）y
22
C1:
xyD1xE1yF10
C2:
x2y2D2xE2yF20（FiF2）0.
由代数特征判断:
的一元二次方程,
方程组（xa）2（yb）2「2用代入法，得关于x（或y
AxBxC0
其判别式为，则：
0l与C相切；
0l与C相交;
0l与C相离.
般方程若点（x。
y。
）在圆上，贝U（x-a）（x°-a）+（y-b）（y。
-b）=R2.特别地，过圆x2y2r2上一
点P（x°,y°）的切线方程为x°xy°yr2.
圆锥曲线方程
一、椭圆方程.
1.椭圆方程的第一定义：
PF1
PF2
2a
F1F2方程为椭圆，
PF1
PF2
2a
F1F2无轨迹，
PF1
PF2
2a
F1F2以F1,F2为端点的线段
⑴①椭圆的标准方程:
i.中心在原点，焦点在x轴上:
x2
a
y2
m1（ab0）.
2ii.中心在原点，焦点在y轴上：
_La2b
1（ab0）-
②一般方程:
Ax2By21（A0，B0）.⑵①顶点:
（a,0）（0,b）或（0,a）（b,0）.②轴：
对称轴:
x
轴，y轴；
FiF2
长轴长2a,短轴长2b.③焦点：
（c,0）（c,0）或（0,c）（0,c）.④焦距：
2c,cJa2b2⑤准线：
x—或yc
⑧通径：
垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:
—.@离心率：
e-（0e1）.a
22
b、
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