现代信号处理自适应信号处理.ppt

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自适应信号处理1引言引言2LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器3LMS自适应格型滤波器自适应格型滤波器4最小二乘自适应滤波器最小二乘自适应滤波器5自适应滤波的应用自适应滤波的应用自适应滤波器和维纳滤波器一样，都是符合某种准则的最佳滤波器。

维纳滤波器的参数是固定的，适用于平稳随机信号的最佳滤波，但要设计这种滤波器，必须要求输入信号是平稳的，且必须信号和噪声自相关特性。

在实际中，常常无法知道这些特性，且信号和噪声自相关函数还会随时间变化，因此实现最佳滤波是困难的。

一、引一、引言言自适应信号处理自适应滤波器的特点是：

滤波器的参数可以按照某种准则自动地调整到满足最佳滤波的要求；实现时不需要任何关于信号和噪声的自相关特性，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要，即具有学习和跟踪的性能。

自适应滤波器发展很快，已广泛地用于系统模型识别，通信信道的自适应均衡，雷达与声纳的波束形成，减少或消除心电图中的周期干扰，噪声中信号的检测、跟踪、增强和线性预测等。

一、引一、引言言自适应信号处理LMS自适应滤波器是以均方误差最小作为最佳滤波准则的，原理框图如图2.1所示，图中x（n）称为输入信号，y（n）是输出信号，d（n）称为期望信号，或者称为参考信号、训练信号，e（n）是误差信号。

图2.1自适应滤波器原理图e（n）=d（n）-y（n）二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理其中自适应滤波器H（z）的系数根据误差信号，通过一定的自适应算法，不断地进行改变,使输出y（n）最接近期望信号d（n）,这里暂时假定d（n）是可以利用的，实际中，d（n）要根据具体情况进行选取,能够选到一个合适的信号作为期望信号，是设计自适应滤波器的一项重要的工作。

如果真正的d（n）可以获得，我们将不需要做任何自适应滤波器。

二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理图2.2表示的是一个有N个权系数的自适应线性组合器，图中N个权系数w1,w2,wN受误差信号ej的自适应控制。

对于固定的权系数，输出yj是输入信号x1j,x2j,xNj的线性组合，因此称它为线性组合器。

图2自适应线性组合器二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理2.1.2.1.自适应滤波器的矩阵表示式自适应滤波器的矩阵表示式这里的x1j,x2j,xNj可以理解为是从N个不同的信号源到达的瞬时输入，是一个多输入系统，也可以是同一个信号源的N个序贯样本，如图3所示，因此它是一个单输入系统，实际上也是一个自适应横向滤波器。

其输出y（n）用滤波器的单位脉冲响应表示成下式：

二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理2.1.2.1.自适应滤波器的矩阵表示式自适应滤波器的矩阵表示式（2.1.1）图2.3自适应横向滤波器结构二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理2.1.2.1.自适应滤波器的矩阵表示式自适应滤波器的矩阵表示式二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理2.1.2.1.自适应滤波器的矩阵表示式自适应滤波器的矩阵表示式这里称为滤波器单位脉冲响应，令：

时间n用下标j表示，（2.1.1）上式可以写成（2.1.2）这里也称为滤波器加权系数。

二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理2.1.2.1.自适应滤波器的矩阵表示式自适应滤波器的矩阵表示式用上面公式表示其输出，适合于自适应线性组合器，也适合于FIR滤波器。

将上式表示成矩阵形式：

（2.1.3）式中误差信号表示为（2.1.4）误差信号被用来作为权系数的控制信号。

下面采用均方误差最小的准则，求最佳权系数。

由（2.1.4）式，均方误差为：

（2.1.5）2.2.2.2.用用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理令：

2.2.2.2.用用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理（2.1.7）（2.1.6）将（2.1.6）、（2.1.7）式代入（2.1.5）式，得到（2.1.8）称为dj与Xj的互相关矩阵，是一个维列矩阵；是输入信号的自相关矩阵。

2.2.2.2.用用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理（2.1.8）式表明，当输入信号和期望信号是平稳随机信号时,均方误差信号是权系数的二次函数，即将该式展开时，公式中的权系数均以它的一次幂或二次幂出现。

如果只有一个权系数,则是的口向上的抛物线；如果有两个权系数,则是它们的口向上的抛物面；对于两个权系数以上的情况，则属于超抛物面性质，它具有唯一的极小点。

2.2.2.2.用用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理在自适应信号处理中是一个重要的函数，经常称它为性能函数。

为选择权系数，使性能函数到达它的最小点，一些有用的自适应方法都是基于梯度法的，用表示的梯度向量，它是用对每个权系数求微分而形成的一个列向量，用公式表示如下：

（2.2.1）2.2.2.2.用用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理可以用（2.1.8）式对W求导得到：

（2.2.2）令上式等于0,得到最佳权矢量表达式：

（2.2.3）对比前面维纳滤波器的最佳解，结果是一样的。

上式也称为维纳权矢量。

在维纳滤波器中，当滤波器的单位脉冲响应取最佳值时，其误差信号和输入信号是正交的；这里也有相同的结果，当权矢量取最佳值时，梯度为0。

2.2.2.2.用用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理当自适应滤波器的权系数满足上式时，均方误差将取最小值。

将（3.2.11）式代入（3.2.8）式得到最小均方误差：

（2.2.4）2.2.2.2.用用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理或者将上式取转置，用下式表示：

通过式子（2.1.12）可以准确的求出，但在权的数目N很大或输入数据率很高的时候，用这种方法直接求解会遇到很大困难，它不仅需要计算NN矩阵的逆，还需要测量或估算N（N+1）/2个自相关或互相关函数才能得到和的各矩阵元素。

不仅如此，当输入统计特性发生某种变化时，还必须重新作相应的计算，这样就存在收敛速度慢的问题。

所以，推出了更有实用价值的递推估计等算法。

（2.2.5）2.2.2.2.用用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理从非负二次均方误差函数的几何性质来看，权向量从某一初始值出发，通过不断调整自身数值使均方误差达到最小。

最陡下降法就是下一个权矢量为现在权矢量加上一个正比于梯度的负值变化量，即（2.3.1）2.3.12.3.1递推公式递推公式2.3.最陡下降法最陡下降法二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理是一个控制稳定性和收敛速度的参量，是调整步长的一个常数，也称为步长因子。

某一点的梯度方向即为该点变化率最大的方向，也是下降最快的方向，因此这种方法被称为最陡下降法。

2.3.12.3.1递推公式递推公式2.3.最陡下降法最陡下降法二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理按（3.2.14）式，当时，将以的方向，即最陡下降的方向向W*靠拢，靠拢步距由确定。

当达到的最小点时，即：

2.3.12.3.1递推公式递推公式2.3.最陡下降法最陡下降法二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理由最陡下降法的递推公式不难分析出它的收敛条件，即当迭代次数j趋于时，权系数收敛最佳时的条件。

得出只有当：

（2.3.2）（2.3.3）满足时，才能得到：

。

2.3.最陡下降法最陡下降法二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理2.3.22.3.2收敛条件收敛条件（2.3.3）式即是最陡下降法的收敛条件，式中是的最大特征值。

为保证收敛，不能取得太大，受限于最大特征值。

如果特征值比较分散时，即和相差很大时，使最陡下降法的收敛性能很差。

值对收敛过程影响很大，当选择得太大时，即使收敛条件满足，也可能形成振动性的过渡特性。

在图2.4中，图（a）是较小时的情况；图（b）是较大时的情况，此时过渡过程已发生振荡。

2.3.最陡下降法最陡下降法二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理2.3.22.3.2收敛条件收敛条件图2.4值的影响（a）较小时的情况；（b）较大时的情况2.3.最陡下降法最陡下降法二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理2.3.22.3.2收敛条件收敛条件权矢量的平均值可以收敛到它的最佳值，但权矢量变化过程是随机的，即使其平均值收敛到最佳值，它仍然按。

随机地进行变化，从而导致权矢量仍在最佳值附近随机变化，这种起伏意味着：

即使调整到了平衡状态的权矢量,均方误差仍大于最小均方误差，这是由于用代替产生梯度估计误差（梯度噪声）。

归一化后的超量均方误差称为失调量：

（2.3.4）2.3.最陡下降法最陡下降法二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理2.3.32.3.3失调系数失调系数可以推出失调系数为：

（2.3.5）或（2.3.6）式中，N是滤波器的阶数，是输入信号功率。

上式说明和输入功率加大都会增加失调系数。

在保证收敛的情况下加大，会提高收敛速度，但为了减小失调系数，应该适当选择收敛速度，以保证收敛速度和失调系数都满足要求。

2.3.最陡下降法最陡下降法二、二、LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器自适应信号处理2.3.32.3.3失调系数失调系数LMS横向滤波器的优点结构简单，但收敛速度较慢，而LMS格型滤波器克服了这种不足。

一一个个阶格型滤波器由p个反射系数表示：

是阶前向预测误差与延迟一拍的阶后向预测误差之间的相关系数。

当反射系数为实数时，格型滤波器的基本方程表示为：

三、三、LMS自适应格型滤波器自适应格型滤波器自适应信号处理如图3.1所示,为阶格型预测误差滤波器图3.1阶格型预测误差滤波器格型预测误差滤波器前后各级的输出误差是正交的，且它们的均方误差是相等的，其均方误差为：

（3.1.1）三、三、LMS自适应格型滤波器自适应格型滤波器自适应信号处理如果输入过程是平稳的，那么在一组合理的反射系数下，预测误差系列和也是平稳的，由于可以证明：

即：

其中：

三、三、LMS自适应格型滤波器自适应格型滤波器自适应信号处理由于不依赖于，jp，因此可以依次进行对的最小化运算（），从而得到最小的各反射系数的最佳值,其式子如下：

可见，是和之间的互相关函数与的自相关函数之比。

三、三、LMS自适应格型滤波器自适应格型滤波器自适应信号处理各阶反射系数可依次按如下的递推方程作自适应调整最终得到格型自适应算法的公式:

是第p级的自适应增益，它的收敛范围是：

三、三、LMS自适应格型滤波器自适应格型滤波器自适应信号处理格型预测误差滤波器前后各阶输出误差是相互正交的，使滤波器前后级互相解耦，对于系统最小化问题化为一系列独立的对每一级局部最小化问题。

用作自适应滤波时，各级可选用不同的自适应步长，使收敛速度提高。

另外，为提高线性预测性能，需要增加一节或几节