实用文档之光的衍射习题附答案.docx

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实用文档之光的衍射习题附答案

实用文档之"光的衍射（附答案）"

一．填空题

1.波长λ=500nm（1nm=10−9m）的单色光垂直照射到宽度a=0.25mm的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹．今测得屏幕上中央明条纹之间的距离为d=12mm，则凸透镜的焦距f为3m．

2.在单缝夫琅禾费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光（λ1≈589nm）中央明纹宽度为4.0mm，则λ2≈442nm（1nm=10−9m）的蓝紫色光的中央明纹宽度为3.0mm．

3.平行单色光垂直入射在缝宽为a=0.15mm的单缝上，缝后有焦距为f=400mm的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕．现测得屏幕上中央明纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8mm，则入射光的波长为500nm（或5×10−4mm）．

4.当一衍射光栅的不透光部分的宽度b与透光缝宽度a满足关系b=3a时，衍射光谱中第±4,±8,…级谱线缺级．

5.一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅，用平行钠光束与光栅平面法线成30°角入射，在屏幕上最多能看到第5级光谱．

6.用波长为λ的单色平行红光垂直照射在光栅常数d=2μm（1μm=10−6m）的光栅上，用焦距f=0.500m的透镜将光聚在屏上，测得第一级谱线与透镜主焦点的距离l=0.1667m，则可知该入射的红光波长λ=632.6或633nm．

7.一会聚透镜，直径为3cm，焦距为20cm．照射光波长550nm．为了可以分辨，两个远处的点状物体对透镜中心的张角必须不小于2.24×10−5rad．这时在透镜焦平面上两个衍射图样中心间的距离不小于4.47μm．

8.钠黄光双线的两个波长分别是589.00nm和589.59nm（1nm=10−9m），若平面衍射光栅能够在第二级光谱中分辨这两条谱线，光栅的缝数至少是500．

9.用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上，波长为λ1=440nm的第3级光谱线将与波长为λ2=660nm的第2级光谱线重叠（1nm=10−9m）．

10.X射线入射到晶格常数为d的晶体中，可能发生布拉格衍射的最大波长为2d．

二．计算题

11.在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长λ1和λ2，垂直入射于单缝上．假如λ1的第一级衍射极小与λ2的第二级衍射极小相重合，试问：

（1）这两种波长之间有何关系？

（2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其它极小相重合？

解：

（1）由单缝衍射暗纹公式得

asinθ1=1λ1asinθ2=2λ2

由题意可知θ1=θ2,sinθ1=sinθ2

代入上式可得λ1=2λ2

（2）asinθ1=k1λ1=2k1λ2（k1=1,2,…）

sinθ1=2k1λ2/a

asinθ2=k2λ2（k2=1,2,…）

sinθ2=2k2λ2/a

若k2=2k1，则θ1=θ2，即λ1的任一k1级极小都有λ2的2k1级极小与之重合．

12.在单缝的夫琅禾费衍射中，缝宽a=0.100mm，平行光垂直如射在单缝上，波长λ=500nm，会聚透镜的焦距f=1.00m．求中央亮纹旁的第一个亮纹的宽度Δx．

解：

单缝衍射第1个暗纹条件和位置坐标x1为

asinθ1=λ

x1=ftanθ1≈fsinθ1≈fλ/a（∵θ1很小）

单缝衍射第2个暗纹条件和位置坐标x2为

asinθ2=2λ

x2=ftanθ2≈fsinθ2≈2fλ/a（∵θ2很小）

单缝衍射中央亮纹旁第一个亮纹的宽度

Δx1=x2−x1≈f（2λ/a−λ/a）=fλ/a=1.00×5.00×10−7/（1.00×10−4）m

=5.00mm．

13.在单缝夫琅禾费衍射中，垂直入射的光有两种波长，λ1=400nm，λ2=760nm（1nm=10−9m）．已知单缝宽度a=1.0×10−2cm，透镜焦距f=50cm．

（1）求两种光第一级衍射明纹中心间的距离．

（2）若用光栅常数a=1.0×10-3cm的光栅替换单缝，其它条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离．

解：

（1）由单缝衍射明纹公式可知

asinφ1=

（2k+1）λ1=

λ1（取k=1）

asinφ2=

（2k+1）λ2=

λ2

tanφ1=x1/f，tanφ2=x1/f

由于sinφ1≈tanφ1，sinφ2≈tanφ2

所以x1=

fλ1/a

x2=

fλ2/a

则两个第一级明纹之间距为

Δx1=x2−x1=

fΔλ/a=0.27cm

（2）由光栅衍射主极大的公式

dsinφ1=kλ1=1λ1

dsinφ2=kλ2=1λ2

且有sinφ=tanφ=x/f

所以Δx1=x2−x1=fΔλ/a=1.8cm

14.一双缝缝距d=0.40mm，两缝宽度都是a=0.080mm，用波长为λ=480nm（1nm=10−9m）的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f=2.0m的透镜．求：

（1）在透镜焦平面的屏上，双缝干涉条纹的间距l；

（2）在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉数目N和相应的级数．

解：

双缝干涉条纹

（1）第k级亮纹条件：

dsinθ=kλ

第k级亮条纹位置：

x1=ftanθ1≈fsinθ1≈kfλ/d

相邻两亮纹的间距：

Δx=xk+1−xk=（k+1）fλ/d−kλ/d=fλ/d=2.4×10−3m=2.4mm

（2）单缝衍射第一暗纹：

asinθ1=λ

单缝衍射中央亮纹半宽度：

Δx0=ftanθ1≈fsinθ1≈kfλ/d=12mm

Δx0/Δx=5

∴双缝干涉第±5级主极大缺级．

∴在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N=9

分别为k=0,±1,±2,±3,±4级亮纹

或根据d/a=5指出双缝干涉缺第±5级主极大，同样可得出结论。

15.用钠光（λ=589.3nm）垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为60°．

（1）若换用另一光源测得其第二级光谱的衍射角为30°，求后一光源发光的波长．

（2）若以白光（400nm~760nm）照射在该光栅上，求其第二级光谱的张角．

解：

（1）（a+b）sinφ=3λ

a+b=3λ/sinφ，φ=60°

a+b=2λ'/sinφ'，φ'=30°

3λ/sinφ=2λ'/sinφ'

λ'=510.3nm

（2）a+b=3λ/sinφ=2041.4nm

φ2'=arcsin（2×400/2041.4）nm（λ=400nm）

φ2''=arcsin（2×760/2041.4）nm（λ=760nm）

白光第二级光谱的张角Δφ=φ2''−φ2'=25°

16.一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光栅有两种波长的光，λ1=440nm，λ2=660nm．实验发现，两种波长的谱线（不计中央明纹）第二次重合于衍射角φ=60°的方向上，求此光栅的光栅常数d．

解：

由光栅衍射主极大公式得dsinφ1=kλ1

dsinφ2=kλ2

=

=

=

当两谱线重合时有φ1=φ2

即

=

=

=

=∙∙∙

两谱线第二次重合即是

=

，k1=6，k2=4

由光栅公式可知dsin60°=6λ1

∴d=

=3.05×10−3mm

17.将一束波长λ=589nm（1nm=10−9m）的平行钠光垂直入射在1厘米内有5000条刻痕的平面衍射光栅上，光栅的透光缝宽度a与其间距b相等，求：

（1）光线垂直入射时，能看到几条谱线？

是哪几级？

（2）若光线以与光栅平面法线的夹角θ=60°的方向入射时，能看到几条谱线？

是哪几条？

解：

（1）（a+b）sinϕ=kλ

当ϕ=π/2时，k=（a+b）/λ=3.39，kmax=3

又∵a=b，（a+b）sinϕ=2asinϕ=kλ

有谱线asinϕ=kλ/2

但当k=±2,±4,±6,…时缺级．

∴能看到5条谱线，为0,±1,±3级．

（2）（a+b）（sinθ+sinϕ）=kλ，

θ=30°，ϕ=±90°

ϕ=

，k=（a+b）（sin30°+sin90°）/λ=5.09．取kmax=5

ϕ=−

，k=（a+b）（sin30°−sin90°）/λ=−1.7．取k'max=−1

∵a=b

∴第2,4,…级缺级．

∴能看到5条谱线，为+5,+3,+1,0,−1级．

18.波长λ=600nm（1nm=10−9m）的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级主极大的衍射角为30°，且第三级是缺级．

（1）光栅常数（a+b）等于多少？

（2）透光缝可能的最小宽度a等于多少？

（3）在选定了上述（a+b）和a之后，求在衍射角–

<φ<

范围内可能观察到的全部主极大的级次．

解：

（1）由光栅衍射的主极大公式得a+b=

=2.4×10−4cm

（2）若第三级不缺级，则由光栅公式得（a+b）sinφ'=3λ

由于第三级缺级，则对应于最小可能的a，φ'方向应是单缝衍射第一级暗纹：

两式比较，得asinφ'=λ

a=

=8.0×10−5cm

（3）（a+b）sinφ=kλ（主极大）

asinφ=k'λ（单缝衍射极小）（k'=1,2,3,…）

因此k=3,6,9,…缺级；

又∵kmax=

=4，

∴实际呈现出的是k=0,±1,±2级明纹（k=±4在π/2处不可见）．

19.在通常亮度下，人眼瞳孔直径约为，若视觉感受最灵敏的光波长为λ=550nm（1nm=10−9m），试问：

（1）人眼最小分辨角是多大？

（2）在教室的黑板上，画的等号两横线相距2mm，坐在距黑板10m处的同学能否看清？

（要有计算过程）

解：

（1）已知得d=3mm，λ=550nm，人眼的最小分辨角为：

θ=1.22λ/d=2.24×10−4rad

（2）设等号两横线相距Δx=2mm时，人距黑板刚好看清，则

l=Δx/θ=8.9m

所以距黑板10m处的同学看不清楚．

20.一平面透射多缝光栅，当用波长λ1=600nm（1nm=10−9m）的单色平行光垂直入射时，在衍射角θ=30°的方向上可以看到第2级主极大，并且在该处恰能分辨波长差Δλ=5×10−3nm的两条谱线．当用波长λ2=400nm的单色平行光垂直入射时，在衍射角θ=30°的方向上却看不到本应出现的第3级主极大．求光栅常数d和总缝数N，再求可能的缝宽a．

解：

根据光栅公式dsinθ=kλ1

得d=

=

=2.4×10−3nm=2.4μm

据光栅分辨本领公式R=λ1/Δλ=kN

得N=

=60000

在θ=30°的方向上，波长λ2=400nm的第3级主极大缺级，因而此处一定恰好是波长为λ2入射光单缝衍射的一个极小出现的位置。

故有：

dsin30°=3λ2，asin30°=k'λ2

∴a=k'd/3,k'=1或2

缝宽a有下列两种可能：

当k'=1时，a=

d=

×2.4μm=0.8μm

当k'=2时，a=

d=

×2.4μm=1.6μm

21.某单色X射线以30°角掠射晶体表面时，在反射方向出现第一级极大；而另一单色X射线，波长为0.097nm，它在与晶体表面掠射角为60°时，出现第三级极大．试求第一束X射线的波长．

解：

设晶面间距为d，第一束X射线波长为λ1，掠射角θ1=30°，级次k1=1；

另一束射线波长为λ2=0.097nm，掠射角θ2=60°，级次k2=3．

根据布拉格公式：

第一束2dsinθ1=k1λ1

第二束2dsinθ2=k2λ2

两式相除得λ1=

=0.168nm．