浙江省杭州市萧山区八年级上册期中测试.docx

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浙江省杭州市萧山区八年级上册期中测试

浙江省杭州市萧山区八年级（上）期中数学试卷

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）（下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．）

1．（3分）亲爱的同学们，你一定喜欢QQ吧？

以下这四个QQ表情中哪个不是轴对称图形

（　　）

A．第一个B．第二个C．第三个D．第四个

【答案】A

【解答】解：

第一个图形不是轴对称图形，

第二个图形是轴对称图形，

第三个图形是轴对称图形，

第四个图形是轴对称图形，

综上所述，不是轴对称图形的是第一个．

故选：

A．

2．（3分）如图，△ABC中，延长BC到点D，若∠ACD＝123°，∠B＝45°，则∠A为（　　）

A．12°B．88°C．78°D．68°

【答案】C

【解答】解：

∵∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝123°，∠B＝45°，

∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝123°﹣45°＝78°．

故选：

C．

3．（3分）一个三角形三个内角的度数之比是2：

3：

5，则这个三角形一定是（　　）

A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形

【答案】A

【解答】解：

设一份为k°，则三个内角的度数分别为2k°，3k°，5k°．

根据三角形内角和定理可知2k°+3k°+5k°＝180°，

得k°＝18°，

所以2k°＝36°，3k°＝54°，5k°＝90°．

即这个三角形是直角三角形．

故选：

A．

4．（3分）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（　　）

A．∠B＝∠E，BC＝EFB．BC＝EF，AC＝DF

C．∠A＝∠D，∠B＝∠ED．∠A＝∠D，BC＝EF

【答案】D

【解答】解：

A、添加∠B＝∠E，BC＝EF可用SAS判定两个三角形全等，故A选项正确；

B、添加BC＝EF，AC＝DF可用SSS判定两个三角形全等，故B选项正确；

C、添加∠A＝∠D，∠B＝∠E可用ASA判定两个三角形全等，故C选项正确；

D、添加∠A＝∠D，BC＝EF后是SSA，无法证明三角形全等，故D选项错误．

故选：

D．

5．（3分）下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（　　）

A．a＝7，b＝24，c＝25B．a＝1.5，b＝2，c＝2.5

C．

D．a＝15，b＝8，c＝17

【答案】C

【解答】解：

A、满足勾股定理：

72+242＝252，故A选项不符合题意；

B、满足勾股定理：

1.52+22＝2.52，故B选项不符合题意；

C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；

D、满足勾股定理：

152+82＝172，故D选项不符合题意．

故选：

C．

6．（3分）如图，这是我国古代一个数学家构造的“勾股圆方图”（见课本第76页），他第一个利用此图证明了“勾股定理”．这个数学家是（　　）

A．祖冲之B．杨辉C．赵爽D．华罗庚

【答案】C

【解答】解：

如图这是我国古代一个数学家构造的“勾股圆方图”（见课本第76页），他第一个利用此图证明了“勾股定理”．

这个数学家是赵爽．

故选：

C．

7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，BD⊥AC，若∠DBC＝α，则∠BED为（　　）

A．3αB．4αC．90°+αD．180°﹣2α

【答案】B

【解答】解：

∵AB＝AC，BD⊥AC，∠DBC＝α，

∴∠ABC＝∠C＝90°﹣α，

∴∠ABD＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，

∵E为AB的中点，BD⊥AC，

∴BE＝DE，

∴∠BED＝180°﹣2（90°﹣2α）＝4α．

故选：

B．

8．（3分）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解答】解：

根据各类三角形的概念可知，A可以表示它们彼此之间的包含关系．

故选：

A．

9．（3分）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（　　）

A．1B．1.5C．

D．

【答案】C

【解答】解：

如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴M′H＝M′N′，

∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），

∵AB＝2，∠BAC＝45°，

∴BH＝AB•sin45°＝2×

＝

．

∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝

．

故选：

C．

10．（3分）下列命题：

（1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

（2）若三角形一个外角的平分线平行于第三边，则这个三角形是等腰三角形；

（3）三角形的外角必大于任一个内角；

（4）若直角三角形斜边上一点（除两个端点外）到直角顶点的距离是斜边的一半，则这个点必是斜边的中点．

其中是真命题的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解答】解：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，所以

（1）正确；

若三角形一个外角的平分线平行于第三边，则这个三角形是等腰三角形，所以

（2）正确；

三角形的外角必大于任一个不相邻的内角，所以（3）错误；

若直角三角形的最小锐角在30度和45度之间，则斜边的一半大于最小直角边，此时斜边上的中线不垂直斜边，所以以直角顶点为圆心，斜边的一半为半径画弧与斜边有两个公共点，所以（4）错误．

故选：

B．

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）已知两条线段长分别为2cm和5cm，请再给一个线段等于　5　cm，使它们能组成一个三角形．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：

设第三条线段长为xcm，根据三角形的三边关系可得：

5﹣2＜x＜5+2，

即：

3＜x＜7，

故答案为：

5．

12．（4分）已知OP平分∠AOB，点C在OP上，且CD⊥OA，CE⊥OB，若CD＝3，OD＝4，则CE＝　3　．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：

如图，∵OP平分∠AOB，点C在OP上，且CD⊥OA，CE⊥OB，

∴CE＝CD．

又∵CD＝3，

∴CE＝3．

故答案是：

3．

13．（4分）如图作一个直角三角形，使它的两条直角边分别为1和2．以斜边长为半径画弧，交数轴正半轴于点A处，则点A表示的数是　

　；这种研究和解决问题的方式，体现了　数形结合　的数学思想方法．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：

对角线的长：

，

根据旋转前后线段的长分别相等，

∴A点表示的数＝对角线的长＝

；

体现了数形结合的思想．

故答案是：

；数形结合．

14．（4分）如图，工匠们用这个工具检测屋梁是否水平．当重垂线经过等腰三角尺底边的中点时，可以确定三角形的底边与梁是水平的；否则梁就不是水平的．这是利用了什么几何性质：

　三线合一　．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：

因为重锤线过底边的中点，则根据等腰三角形三线合一的性质得此线也为底边上的高，由于垂线是垂直的，所以底边即房梁就是水平的．

故答案为：

三线合一．

15．（4分）如图，已知△ABC，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交AB于D，交AC于E，且AC＝4，BC＝3，则AE＝　

　．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：

连接BE，

∵DE垂直平分AB，

∴AE＝BE，

设AE＝x，则BE＝x，CE＝AC﹣AE＝4﹣x，

∵△ABC，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴BE2＝CE2+BC2，

∴x2＝（4﹣x）2+32，

解得：

x＝

，

∴AE＝

．

故答案为：

．

16．（4分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是腰长为5的等腰三角形时，AP的长度为　2或3或8　．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：

∵AD＝10，点Q是BC的中点，

∴BQ＝

BC＝

×10＝5，

①如图1，PQ＝BQ＝5时，过点P作PE⊥BC于E，

根据勾股定理，QE＝

＝

＝3，

∴BE＝BQ﹣QE＝5﹣3＝2，

∴AP＝BE＝2；

②如图2，BP＝BQ＝5时，过点P作PE⊥BC于E，

根据勾股定理，BE＝

＝

＝3，

∴AP＝BE＝3；

③如图3，PQ＝BQ＝5且△PBQ为钝角三角形时，

BE＝QE+BQ＝3+5＝8，

AP＝BE＝8，

综上所述，AP的长为2或3或8．

故答案为：

2或3或8．

三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）（解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．）

17．（6分）如图所示，AD，AE是三角形ABC的高和角平分线，∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAE的度数．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：

∵∠B＝36°，∠C＝76°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°，

∵AE是角平分线，

∴∠EAC＝

∠BAC＝34°．

∵AD是高，∠C＝76°，

∴∠DAC＝90°﹣∠C＝14°，

∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝34°﹣14°＝20°．

18．（8分）小明想测一块泥地AB的长度（如图所示），他在AB的垂线BM上分别取C、D两点，使CD＝BC，再过D点作出BM的垂线DN，并在DN上找一点E，使A、C、E三点共线，这使所测得的DE的长度就是这块泥地AB的长度，你能说明原因吗？

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：

∵AB⊥BC，CD⊥DE，

∴∠B＝∠CDE＝90°．

又∵BC＝CD，∠ACB＝∠DCE，

∴△ABC≌△EDC（ASA）．

所以AB＝DE．

19．（8分）如图，已知线段a，b及∠α，用直尺和圆规作△ABC，使得BC＝α，AC＝b，∠ACB＝∠α．并作出角平分线BE和AB边的中垂线．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：

如图所示：

．

20．（10分）在下图的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，以下要求画的三角形的顶点都必须在格点上．

请在图

（1）中画一个等腰三角形ABC；

请在图

（2）中画一个非等腰的直角三角形ABC；

请在图（3）中画一个以AB为腰的等腰直角三角形ABC；

请在图（4）中画一个以AB为底的等腰直角三角形ABC；

请在图（5）中画一个与前面三个直角三角形不全等的直角三角形ABC．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：

如图：

21．（10分）写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题，并证明这个命题是真命题．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：

逆命题是：

如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是直角三角形．

已知，如图，△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，交AC于E，AD是∠CAB的角平分线，交BC于D，BE和AD相交于O点，且∠EOA＝45°．

求证：

△ABC是直角三角形

证明：

∵BE是∠ABC的角平分线，AD是∠CAB的角平分线，

∴∠OAB＝

∠CAB，∠OBA＝

∠CBA，

∴∠OAB+∠OBA＝

（∠CAB+∠CBA），

∴180°﹣∠AOB＝

（180°﹣∠C），

∴∠AOB＝90°+

∠C

又∵∠EOA＝45°，

∴∠AOB＝135°＝90°+

∠C，

∴∠C＝90°，

∴△ABC是直角三角形．

22．（12分）《导学新作业》中有如下一道几何题目：

如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC，于点O，点P，D分别在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于点E，求证：

△BPO≌△PDE．

（1）小明冥思苦想许久而不得解，只好去问老师．老师给他分析了如下的思路．

根据上述思路，小明终于会证明了．请你完整地书写本题的证明过程．

（2）证明完后，老师又提出了如下问题让小明解答：

若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：

AP＝CD．

【答案】见试题解答内容

【解答】

（1）证明：

∵PB＝PD，

∴∠2＝∠PBD，

∵AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠C＝45°，

∵BO⊥AC，

∴∠1＝45°，

∴∠1＝∠C＝45°，

∵∠3＝∠PBC﹣∠1，∠4＝∠2﹣∠C，

∴∠3＝∠4，

∵BO⊥AC，DE⊥AC，

∴∠BOP＝∠PED＝90°，

在△BPO和△PDE中

∴△BPO≌△PDE（AAS）；

（2）证明：

由

（1）可得：

∠3＝∠4，

∵BP平分∠ABO，

∴∠ABP＝∠3，

∴∠ABP＝∠4，

在△ABP和△CPD中

∴△ABP≌△CPD（AAS），

∴AP＝CD．

23．（12分）我们提供如下定理：

在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，

如图

（1），Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝

AB．

请利用以上定理及有关知识，解决下列问题：

如图

（2），边长为6的等边三角形ABC中，点D从A出发，沿射线AB方向有A向B运动点F同时从C出发，以相同的速度沿着射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，DF交射线AC于点G．

（1）当点D运动到AB的中点时，直接写出AE的长；

（2）当DF⊥AB时，求AD的长及△BDF的面积；

（3）小明通过测量发现，当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半，他想当点D运动到图3的情况时，EG的长始终等于AC的一半吗？

若改变，说明理由；若不变，说明理由．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：

（1）当D为AB中点时，AD＝BD＝

AB＝3，

在Rt△ADE中，∠A＝60°，

∴∠ADE＝30°，

∴AE＝

AD＝

；

（2）设AD＝x，∴CF＝x，

则BD＝6﹣x，BF＝6+x，

∵∠B＝60°，∠BDF＝90°，

∴∠F＝30°，即BF＝2BD，

∴6+x＝2×（6﹣x），

解得：

x＝2，即AD＝2，

∴BD＝4，BF＝8，

根据勾股定理得：

DF＝

＝4

，

∴S△BDF＝

×4×4

＝8

；

（3）不变，理由如下，如图，过F作FM⊥AG延长线于M，

∵AD＝CF，△ABC为等边三角形，

∴∠A＝∠ACB＝∠FCM＝60°，

在Rt△ADE和Rt△FCM中，

∴DE＝ADsinA＝

AD，FM＝CFsin∠FCM＝

CF，

∴DE＝FM，

同理AE＝CM，

在△DEG和△FMG，

，

∴△DEG≌△FMG（AAS），

∴EG＝GM，

∴AC＝AE+EC＝CM+CE＝EG+GM＝2GE．