中考必备中考数学卷精析版湖南益阳卷.docx
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中考必备中考数学卷精析版湖南益阳卷
2012年中考数学卷精析版——益阳卷
(本试卷满分120分,考试时间90分钟)
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
3.(2012湖南益阳4分)下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是【】
A.
B.
C.
D.
【答案】C。
【考点】中心对称和轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念,轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。
因此,
A、是轴对称图形,也是中心对称图形,不符合题意,故此选项错误;
B、是轴对称图形,也是中心对称图形,不符合题意,故此选项错误;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,符合题意,故此选项正确;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意,故此选项错误。
故选C。
4.(2012湖南益阳4分)已知一组数据:
12,5,9,5,14,下列说法不正确的是【】
A.平均数是9 B.中位数是9 C.众数是5 D.极差是5
【答案】D。
【考点】平均数,中位数,极差,众数。
【分析】分别计算该组数据的平均数、中位数、众数及极差后即可得到正确的答案
平均数为(12+5+9+5+14)÷5=9,故选项A正确;
重新排列为5,5,9,12,14,∴中位数为9,故选项B正确;
5出现了2次,最多,∴众数是5,故选项C正确;
极差为:
14﹣5=9,故选项D错误。
故选D。
5.(2012湖南益阳4分)下列命题是假命题的是【】
A.中心投影下,物高与影长成正比 B.平移不改变图形的形状和大小
C.三角形的中位线平行于第三边 D.圆的切线垂直于过切点的半径
【答案】A。
【考点】命题与定理,中心投影,平移的性质,三角形中位线定理,切线的性质。
【分析】分别根据中心投影的性质、切线的性质、平移的性质以及三角形中位线定理等进行判断即可得出答案:
A.中心投影下,物高与影长取决于物体距光源的距离,故此选项错误,是假命题;
B.平移不改变图形的形状和大小,根据平移的性质,故此选项正确,不是假命题;
C.三角形的中位线平行于第三边,根据三角形中位线的性质,故此选项正确,不是假命题;
D.圆的切线垂直于过切点的半径,利用切线的判定定理,故此选项正确,不是假命题。
故选A。
6.(2012湖南益阳4分)如图,数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集【】
A.
B.
C.
D.
【答案】B。
【考点】在数轴上表示不等式的解集。
【分析】不等式组的解集在数轴上表示的方法:
把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个。
在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示。
因此,由数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集为:
x≥﹣3。
A、不等式组
的解集为x>﹣3,故本选项错误;
B、不等式组
的解集为x≥﹣3,故本选项正确;
C、不等式组
的解集为x<﹣3,故本选项错误;
D、不等式组
的解集为﹣3<x<5,故本选项错误。
故选B。
7.(2012湖南益阳4分)如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B、C,分别以A、C为圆心,BC、AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB、AD、CD,则四边形ABCD一定是【】
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形
【答案】A。
【考点】作图(复杂作图),平行四边形的判定。
【分析】∵别以A、C为圆心,BC、AB长为半径画弧,两弧交于点D,∴AD=BC,AB=CD。
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)。
故选A。
8.(2012湖南益阳4分)在一个标准大气压下,能反映水在均匀加热过程中,水的温度(T)随加热时间(t)变化的函数图象大致是【】
A.
B.
C.
D.
【答案】B。
【考点】跨学科问题,函数的图象。
【分析】根据在一个标准大气压下水加热到100℃后水温不会继续增加,而是保持100℃不变,据此可以得到函数的图象。
故选B。
10.(2012湖南益阳4分)写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式:
▲ .
【答案】
(答案不唯一)。
【考点】实数范围内分解因式,平方差公式。
【分析】答案不唯一,只需符合平方差公式的应用特征即可,如
。
11.(2012湖南益阳4分)如图,点A、B、C在圆O上,∠A=60°,则∠BOC= ▲ 度.
【答案】120。
【考点】圆周角定理。
【分析】∵∠BAC和∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角,
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°。
12.(2012湖南益阳4分)有长度分别为2cm,3cm,4cm,7cm的四条线段,任取其中三条能组成三角形的概率是 ▲ .
【答案】
。
【考点】概率公式,三角形三边关系。
【分析】∵长度为2cm、3cm、4cm、7cm的四条线段,从中任取三条线段共有2、3、4;3、4、7;2、4、7;3、4、7四种情况,而能组成三角形的有2、3、4;共有1种情况,
∴能组成三角形的概率是
。
13.(2012湖南益阳4分)反比例函数
的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是(1,k),则反比例函数的解析式是 ▲ .
【答案】
。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】将(1,k)代入一次函数y=2x+1得,k=2+1=3,则反比例函数解析式为
。
三、解答题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
14.(2012湖南益阳6分)计算代数式
的值,其中a=1,b=2,c=3.
【答案】解:
原式=
。
当a=1、b=2、c=3时,原式=3。
【考点】分式的化简求值。
【分析】根据分式的加减法把原式进行化简,再把a=1,b=2,c=3代入进行计算即可。
15.(2012湖南益阳6分)如图,已知AE∥BC,AE平分∠DAC.
求证:
AB=AC.
【答案】证明:
∵AE平分∠DAC,∴∠1=∠2。
∵AE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C。
∴∠B=∠C。
∴AB=AC。
【考点】角平分线的定义,平行线的性质,等腰三角形的判定。
【分析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2,再根据两直线平行,同位角相等可得∠1=∠B,两直线平行,内错角相等可得∠2=∠C,从而得到∠B=∠C,然后根据等角对等边即可得证。
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
16.(2012湖南益阳8分)某市每年都要举办中小学三独比赛(包括独唱、独舞、独奏三个类别),如图是该市2012年参加三独比赛的不完整的参赛人数统计图.
(1)该市参加三独比赛的总人数是 人,图中独唱所在扇形的圆心角的度数是 度,并把条形统计图补充完整;
(2)从这次参赛选手中随机抽取20人调查,其中有9人获奖,请你估算今年全市约有多少人获奖?
【答案】解:
(1)400;180。
补全条形统计图如图:
(2)估计今年全市获奖人数约有
(人)。
【考点】条形统计图,扇形统计图,频数、频率和总量的关系,求扇形圆心角的度数,用样本估计总体。
【分析】
(1)用参加独舞的人数除以参见独舞的百分比,即可求出参赛总人数:
120÷30%=400人。
求出参加独唱的人数:
400﹣120﹣80=200人,正好是参赛总人数的一半,所以独唱所在扇形的圆心角度数是180°。
(2)用参赛总人数乘以获奖率,进行计算即可得解。
17.(2012湖南益阳8分)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图,观测点设在A处,离益阳大道的距离(AC)为30米.这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒,∠BAC=75°.
(1)求B、C两点的距离;
(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度?
(计算时距离精确到1米,参考数据:
sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,
,60千米/小时≈16.7米/秒)
【答案】解:
(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,
∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112(米)。
(2)∵此车速度=112÷8=14(米/秒)<16.7(米/秒)=60(千米/小时)
∴此车没有超过限制速度。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义。
【分析】
(1)由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离。
(2)根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可。
18.(2012湖南益阳8分)为响应市政府“创建国家森林城市”的号召,某小区计划购进A、B两种树苗共17棵,已知A种树苗每棵80元,B种树苗每棵60元.
(1)若购进A、B两种树苗刚好用去1220元,问购进A、B两种树苗各多少棵?
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请你给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.
【答案】解:
(1)设购进A种树苗x棵,则购进B种树苗(17﹣x)棵,根据题意得:
80x+60(17﹣x)=1220,解得:
x=10。
∴17﹣x=7。
答:
购进A种树苗10棵,B种树苗7棵。
(2)设购进A种树苗x棵,则购进B种树苗(17﹣x)棵,根据题意得:
17﹣x<x,解得:
x>8.5。
∵购进A、B两种树苗所需费用为80x+60(17﹣x)=20x+1020,是x的增函数,
∴费用最省需x取最小整数9,此时17﹣x=8,所需费用为20×9+1020=1200(元)。
答:
费用最省方案为:
购进A种树苗9棵,B种树苗8棵,这时所需费用为1200元。
【考点】一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的应用。
【分析】
(1)设购进A种树苗x棵,则购进B种树苗(17﹣x)棵,利用购进A、B两种树苗刚好用去1220元,结合单价,得出等式方程求出即可;
(2)结合
(1)的解和购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,可找出方案。
五、解答题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)
19.(2012湖南益阳10分)观察图形,解答问题:
(1)按下表已填写的形式填写表中的空格:
图①
图②
图③
三个角上三个数的积
1×(﹣1)×2=﹣2
(﹣3)×(﹣4)×(﹣5)=﹣60
三个角上三个数的和
1+(﹣1)+2=2
(﹣3)+(﹣4)+(﹣5)=﹣12
积与和的商
﹣2÷2=﹣1,
(2)请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x.
【答案】解:
(1)填表如下:
图①
图②
图③
三个角上三个数的积
1×(﹣1)×2=﹣2
(﹣3)×(﹣4)×(﹣5)=﹣60
(﹣2)×(﹣5)×17=170
三个角上三个数的和
1+(﹣1)+2=2
(﹣3)+(﹣4)+(﹣5)=﹣12
(﹣2)+(﹣5)+17=17
积与和的商
﹣2÷2=﹣1
(﹣60)÷(﹣12)=5
170÷10=17
(2)图④:
∵5×(﹣8)×(﹣9)=360,5+(﹣8)+(﹣9)=﹣1,
∴y=360÷(﹣12)=﹣30。
图⑤:
由(1·x·3)÷(1+x+3)=﹣3,解得x=﹣2。
.
【考点】分类归纳(数字的变化类)。
【分析】
(1)根据图形和表中已填写的形式,即可求出表中的空格;
(2)根据图①②③可知,中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商,列出方程,即可求出x、y的值。
20.(2012湖南益阳10分)已知:
如图,抛物线y=a(x﹣1)2+c与x轴交于点A
和点B,将抛物线沿x轴向上翻折,顶点P落在点P'(1,3)处.
(1)求原抛物线的解析式;
(2)学校举行班徽设计比赛,九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感:
过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点,将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉,设计成一个“W”型的班徽,“5”的拼音开头字母为W,“W”图案似大鹏展翅,寓意深远;而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比
(约等于0.618).请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少?
(参考数据:
,结果可保留根号)
【答案】解:
(1)∵P与P′(1,3)关于x轴对称,∴P点坐标为(1,﹣3)。
∵抛物线y=a(x﹣1)2+c顶点是P(1,﹣3),
∴抛物线解析式为y=a(x﹣1)2﹣3。
∵抛物线y=a(x﹣1)2﹣3过点A
,
∴a(
﹣1)2﹣3=0,解得a=1。
∴抛物线解析式为y=(x﹣1)2﹣3,即y=x2﹣2x﹣2。
(2)∵CD平行x轴,P′(1,3)在CD上,∴C、D两点纵坐标为3。
由(x﹣1)2﹣3=3,解得:
。
∴C、D两点的坐标分别为
。
∴CD=
。
∴“W”图案的高与宽(CD)的比=
(或约等于0.6124)。
【考点】二次函数的应用,翻折对称的性质,二次函数的性质,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】
(1)利用P与P′(1,3)关于x轴对称,得出P点坐标,利用待定系数法求出二次函数的解析式即可。
(2)根据已知求出C,D两点坐标,从而得出“W”图案的高与宽(CD)的比。
六、解答题(本题满分12分)
21.(2012湖南益阳12分)已知:
如图1,在面积为3的正方形ABCD中,E、F分别是BC和CD边上的两点,AE⊥BF于点G,且BE=1.
(1)求证:
△ABE≌△BCF;
(2)求出△ABE和△BCF重叠部分(即△BEG)的面积;
(3)现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′(如图2),使点E落在CD边上的点E′处,问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化?
请说明理由.
【答案】
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC。
∴∠ABF+∠CBF=90°。
∵AE⊥BF,∴∠ABF+∠BAE=90°。
∴∠BAE=∠CBF。
在△ABE和△BCF中,∵∠ABE=∠BCF,AB=BC,∠BAE=∠CBF,
∴△ABE≌△BCF(ASA)。
(2)解:
∵正方形面积为3,∴AB=
。
在△BGE与△ABE中,∵∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=90°,
∴△BGE∽△ABE。
∴
。
又∵BE=1,∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。
∴
。
(3)解:
没有变化。
理由如下:
∵AB=
,BE=1,∴
。
∴∠BAE=30°。
∵AB′=AD,∠AB′E′=∠ADE'=90°,AE′=AE′,
∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′,
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°。
∴AB′与AE在同一直线上,即BF与AB′的交点是G。
设BF与AE′的交点为H,
则∠BAG=∠HAG=30°,而∠AGB=∠AGH=90°,AG=AG,∴△BAG≌△HAG。
∴
。
∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化。