话说函数三种定义的利与弊.docx

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话说函数三种定义的利与弊

话说函数三种定义的利与弊

2009年第1期数学教育研究?

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话说函数三种定义的利与弊

陈秀峰（浙江省宁波市鄞州中学315101）

函数是一种特殊的关系,是数学的一个基本而又

重要的概念,在现代数学中,它几乎渗透到数学的各个

分支,怎样定义函数?

根据数学发展的演变,一般有以

下三种:

变量说,对应说（映射说）,关系说.下面就这三

种定义,谈谈各自的利弊.

1函数变量说的利弊回顾

先回顾函数一词的起因.把函数（function）这个词

用作数学述语,最早是德国数学家莱布尼兹（Leibniz）,

在他1673年的一篇手稿里,用函数一词表示一个随着

曲线上的点变动而变动的量,此词出现前,牛顿（New—

ton）自1665年开始微积分的研究工作后,～直用流量

（fluent）一词来表示变量间的关系.

早在1775年,欧拉（Euler）曾提出:

”如果当某些变

量以这样一种方式依赖于另一变量,即当后面这些变

量变化时,前面这些变量也随之变化,那么前面的变量

称为后面变量的函数.”

由以上定义,逐渐演变为目前的函数的”变量说”.

它是这样定义的:

”设X与是两个变量,如果当变量-z

在实数的某一范围中变化时,变量按一定的规律随z

的变化而变化,我们称z为自变量,Y为因变量,变量

叫做变量z的函数,记作Y一厂（）.”

这样用一个变量随另一个变量的变化而变化的说

法有许多好处.首先,在日常生活中或生产实践中,各

变量之间多半大致已经”天然地”建立了对应关系,因

此,虽然变量说并未突出对应关系,却不致误会,例如,

要讨论正方形的面积Y和边长-z的关系,总是在同一

个正方形中考虑面积值与边长值的对应.其次,从物理

意义上看,例如,一厂（）,反映了质点运动时路程随时

间变化而变化的规律,”变量说”刻划得自然,形象,直

观且通俗易懂.

但是,不能不看到,”变量说”有其缺陷的一面.

1.”变量说”对函数的实质——对应,缺少充分的

刻划,这是最致命的弊病.虽然其定义中也指出了自变

量与因变量的概念,但未明确函数是z,y双方变化的

一

个总体,而却把变量定义为z的函数,使学生思想

上先人为主,记住了函数就是y,这与函数是反映变量

与变量之间的关系是相悖的.

究竟函数是指,,还是,（z）,还是一,（z）?

变量

说易于模糊三者的区别.我们说,只有厂才是函数,而

（z）仅是指函数,在的值,是一个数或是一个元素,

而y一厂（z）是借以确定,的方程,是一个式子.因此严格

说来,一,（-z）不应读作Y是X的函数,而应读作Y是,

实施于z的结果.应该看到,人们常把对数函数写作

logx而不写成log,认为log是没有意义的符号,必须写

成logx才对,这是不妥的.当然,一旦掌握了厂,厂（）,Y

一

厂（z）的区别后,在应用上为方便起见也准许有意识

的混同使用,但这与因概念不清而混用是两回事.

2.”变量说”强调的是两个变量及变量域——自变

量与因变量,定义域和值域,而对对应规律却轻描谈

写,一笔带过.

由于忽略对应规律,单纯强调两个变量的相依关

系——当z变化时,Y随之变化,则易误解为:

Y—sinz

+COSz=1不是函数;同样,由于忽视对应规律,单纯

强调定义域和值域,则易误解为:

Y—sinx,Y—cosz是

同一函数.

3.变量说把定义域和值域仅规定在实数范围内,

也是局限的.例如,一切三角形组成的集合与一切圆组

成的集合,因为每个三角形对应于一个外接圆,这种对

应关系已不是”量”之间的关系.为此必须延伸函数的

概念,把它扩展为”映射”,突出”对应”,不必强调量.

2函数对应说与函数变量说优劣比较

函数的”对应说”是这样定义的:

”设A与B是两个

集合,如果按照某一确定的对应关系,对于集合A中每

一

确定的元素z,总有集合B中一个确定的元素Y和它

对应,那么这个对应关系就叫一个映射.当A,B为数集

时,称为函数.”由此可见,”对应说”也就是”映射说”.目

前这种定义,已越来越多地被一些教科书所采用.

首先,”对应说”较之”变量说”,虽然稍觉抽象,但

它却抓住了函数本质属性,突出了两个集合元素间的

对应就是函数.在对应说中,函数可看作”暗箱”,例如,

上面提到的正方形面积与边长关系的例子,即Y—z,

输入z,输出z,于是”暗箱”相当于”平方机”的作用

（如图）.

输入———-.（j至[卜_+输出

其次,”变量说”是建立在变量的基础上,而”对应

说”是建立在集合的基础上.事实上,所谓”变量是指有

量可度的量,如长度,距离,时间等.但是当某客体无量

可度时怎么办?

采用了”对应说”,则”变量说”中那种

把定义域,值域的变化范围——实数集,作为限制,就

自然消失了.因此,”对应说”远比”变量说”的定义普遍

得多.只有这样,函数的定义才能适应各种不同的研究

对象,使函数呈现出各种形态并被赋以专门的名称.例

如在几何空间中有变换的概念;我们还可以把函数看

作某空间的一个元素,建立函数集与函数集的对应,于

是出现了”算子”的概念.

最后,”对应说”在处理复合函数与反函数问题上,

远比”变量说”方便且自然,对应说”明确是一种单值对

应,这样就排除了多函数的概念,这是因为多值函数不

存在逆,又不能进行四则运算,因而缺少研究价值的缘

故.

?

16?

数学教育研究2009年第1期

3函数关系说的利弊分析

在定义关系的基础上,也可定义函数概念——把

函数关系看作一个特殊的关系.

设R是一个二元关系,如果还满足（z,Y）∈R,

（zt,）ER,一定有y—Y2,则称R是函数关系.因

此,函数就是两个集合的关系,但两个集合的关系不一

定是函数.例如:

设X={1,2,3）,Y一{4,5,6,7）,令R

一

{（1,4）,（1,6）,（2,7）,（3,5）,（3,7））,这里对于X中

的元素1,对应y中的元素4和6;3对应5和7.所以R

是由X到y的关系,而不是函数.

由此可见,关系和函数虽然都是刻划两集合元素

之间的联系,但是有区别的.函数的定义域是某个集合

的全体,而不能是这个集合的真子集,在”关系说”对函

数的定义中,对于任给的xEX,则存在唯一的yEY与

之对应.而仅对关系而言,对于任给的X∈X,可以有多

于一个的y中的元素与之对应,所以函数是一种特殊

的关系.

现在再回顾”对应说”,那里虽然突出了对应法则,

但什么是对应法则厂?

尚欠明确,显得含糊.我们说,y

一

厂（z）,这个式子除表示”y是X的函数外”,还表示该

函数的具体内容,也即由如何算出Y.另外,若有另一

函数=g（z）,一般说来厂≠g.但厂和g又怎样区分

呢?

怎样弥补函数”对应说”的这个缺陷呢?

就要借助

于”关系说”了.

“关系说”虽较抽象,一般中学生较难接受,但”关

系说”却把”变量说”中含糊不清的,”对应说”中避开交

代其内容的”对应法则厂’,通过对关系添加一个附加条

件,把”对应说”定义的函数关系作外延式的数学化描

绘,这样,函数概念就完全明确了,它无非是一张理想

的表（包括无限多个精确的数据）,借此,可以按的值

查找出Y的值.

总之,”关系说”将函数用集合论的语言加以叙述,

除集合论的概念外,没有使用其他未经定义的日常语

言,因而是完全数学化了的,也便于为计算机所接受.

然而,”关系说”过于形式化,抽去了函数关系生动

形象的直观——变量的运动特征,看不出对应关系,更

没有解析式的表达,对初学者不易掌握,在推论中多有

不便.

综上所述,函数的三种说法各有优点,也各有缺

点,应视具体情况加以运用.

[责任编校董伸华]

（上接第2页）

戊

丙

\辛庚

.’

z’

戊

丙甲丁

图（5）

由这两组图形我们可以看出,利玛窦在当时给周

围的人介绍了西方三角函数.介绍的不仅有上面提及

的正（余）弦函数和正（余）矢函数,而且还应有正（余）

切函数和正（余）割函数——在图五中有明显的正切,

余切,正割和余割标示.不仅介绍了概念,而且也应当

介绍了它们之间的关系,如sin.口+COSa一1,tg+1=

sec,等——因为根据图形这些关系是显然的.

在上述两个图形之

后,此书还有一个图形如

图（6）所示.这个图形说

明是:

”角度:

凡三角形佛

三角之度皆成两象限.假

如乙甲丁勾股形,其丁角

五十五度,当乙丙弧,则

乙角必三十五度,当乙庚

余弧.两角共一象限,九

十度.其甲角正方,原系

\一,甲丁

l’

卯

\丑\

图（6）

九十度,合三角成一百八十度.’,L”由此看出利玛窦在

这里还介绍了西方数学中关于三角形内角和的概念.

综上,利玛窦在我国传教期间传人了我国西方三

角函数知识,他应是传人我国三角函数知识的第一人.

其介绍的三角函数知识有现代角度概念,三角函数概

念,正余弦函数表及其应用等.这些内容虽然不是太

多,但是却是系统的和明了的,易于学习和掌握.他介

绍的这些知识和他与李之藻共同创造的相关概念——

正弦,余弦等应当后来西方传教士编写《崇祯历书》时

全面传入我国西方三角函数知识的前期基础.

参考文献:

Eli昊文俊.中国数学史大系（第七卷）[M].北京:

北京

师范大学出版社,2000.53.

[2]方豪.李我存研究[M].杭州:

我存杂志社,1937.

[3][4][5][6][7]利玛窦,李之藻.同文算指别编[M].

中国科学技术典籍通汇[c]（数学卷四）.郑州:

河

南教育出版社,1993.267—268,268—271,268,268

——

269,271.

[8]朱维铮.利玛窦中文着译集[c].上海:

复旦大学出

版社,2001.691—694.

[9][1O]E11]利玛窦.理法器撮要[M].利玛窦中文着

译集[c].上海:

复旦大学出版社,2001.738,739,

740.

[责任编校钱骁勇]