53简单的轴对称图形角平分线.docx

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53简单的轴对称图形角平分线

5．3　简单的轴对称图形

一、新课导入

复习提问：

1、如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、两点之间线段最短。

3、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短垂线段最短。

4、三角形三条中线交于一点，三条高所在的直线交于一点，三条角平分线交于一点。

5、角平分线和三角形的角平分线有何不同。

如果我们画三角形角平分线，需要画几条就够？

课前小测公式定理

1.角是轴对称图形，则对称轴是角平分线所在的直线

2.角的平分线的性质：

角平分线上的点到角的两边距离相等

你是如何发现角平分线这些性质的？

如何运用这些性质解决实际问题？

这就是这节课要解决的问题

5.3生活中的轴对称（三）角平分线

二、认定目标

1.初步掌握角是轴对称图形

2.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。

3.会证明角平分线的性质定理，并能够利用其解决相应的问题．

重点：

掌握角的平分线的性质定理及其运用，作已知角的平分线的尺规作图方法

难点:

能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题

教学方法：

引导发现、启发猜想，逻辑推理

三、探究新知

1：

角是轴对称图形，你是如何发现的？

如图5-14，将∠AOB对折，你发现了什么？

体验角平分线的简易作法，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题墙。

结论1：

角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.

2：

角平分线性质定理的探究

（1）在一张纸上任意画∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合；

（2）在折痕（即角平分线）上任意取一点C，过点P分别向∠AOB的两边折垂线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，折痕PD与PE能重合吗？

改变点P的位置，PD和PE还相等吗？

结论2：

角平分线的性质：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

3验证猜想：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等

已知：

如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E

求证：

PD=PE

证明：

∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）

∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）

在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO

∠1=∠2

∴△PDO≌△PEO（）

∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）

4角平分线的性质定理的应用三个条件缺一不可。

你知道是哪些条件吗？

几何语言:

∵OC是∠AOB的平分线,

又PD⊥OA,PE⊥OB

∴PD=PE

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.不必再证全等

练一练

判断对错：

（1）∵AD平分∠BAC（已知）

∴BD=CD

（2）∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴BD=CD

（3）∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴BD=CD

归纳总结：

角平分线的性质定理的应用三个条件

缺一不可。

几何语言:

∵OC是∠AOB的平分线,

（或者∠AOC=∠BOC）

又PD⊥OA,PE⊥OB

∴PD=PE

直接运用不必再证明全等

如图,AD是∠BAC的平分线,PB⊥AB,PC⊥AC,垂足

分别是B、C,BD=4cm,则BE=__4________cm.

问题2：

往哪条路走更近呢？

5用尺规如何做角平分线

对这种可以折叠的角可以用折叠方法做角平分线，对不能折叠

的角怎样得到其角平分线？

数学书100页问题解决3给我们什么启示呢？

有一个简易平分角的仪器ABCD，其中AB=AD,BC=DC，将仪器上的A点与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线，为什么？

理由：

在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共边）

∴△ACD≌△ACB（SSS）

∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）

∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）

根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线？

（不用角平分仪或量角器）

例2利用尺规，作∠AOB的平分线．

已知：

∠AOB．

求作：

射线OC，使∠AOC=∠BOC．

作法：

1．在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE．

2．分别以D，E为圆心．大于

DE的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．

3．作射线OC．

OC就是∠AOB的平分线．

问题：

为什么OC就是∠AOB的平分线，你能说出理由吗？

如果一个图形需要做两条或者是两条以上角平分线，如何描述做法呢？

明确几何作图的基本思路和方法.培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.让学生体验成功。

书中126页随堂练习

1．先任意画一个角，然后将它四等分.

作法：

画出已知角∠AOB.

1.作∠AOB的平分线OC.

2.分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE，即将∠AOB四等分.

2、利用尺规，作三角形三个内角的角平分线

问题：

角平分线的作法，会因为这个角是锐角，直角，钝角，有所不同吗？

找学生到黑板上演示。

书中127页.习题5.5

3.校园一角的形状如图所示，AB.BC.CD表示围墙，小亮通过作角平分线在图中找到了一点P。

使得点P到三面墙的距离相等，你能解释他这样做的道理吗？

五巩固发展：

角平分线的性质与三角形面积的综合运用

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　）

A．6B．5C．4D．3

解析：

过点D作DF⊥AC于F.∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝

×4×2＋

AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.

方法总结：

利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．

六、课堂小结

这节课我们学习了哪些知识

1.角是：

轴对称图形。

则对称轴是：

角平分线所在的直线

2.角的平分线的性质：

角平分线上的点到角的两边距离相等

∵OC是∠AOB的平分线,

（或者∠AOC=∠BOC）

又PD⊥OA,PE⊥OB

∴PD=PE

3.尺规作图：

作已知角的平分线。

四等分已知角。

作三角形角平分线

4.运用角平分线性质证明线段相等。

角平分线性质，三角形全等，面积的综合运用

数学作业：

能力培养5至10题

七、达标测试

书中127页知识技能1：

2、利用尺规，作三角形三个内角的角平分线

问题：

角平分线的作法，会因为这个角是锐角，直角，钝角，有所不同吗？

我们已经知道三角形三条角平分线交于一点，我们画三角形角平分线，最少画几条？

交点到三角形三边的距离相等。

你能说明理由吗？

教学反思

本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，体现了数学学习的必然性．教学始终围绕着问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，而后设计了第一个学生活动——折纸，让学生体验角的轴对称性，为角平分线性质做好铺垫。

紧接着引出简易角平分仪推出了第二个学生活动——尺规作图，以达到复习全等和再次验证猜想的目的，猜想是否正确?

还得进行证明，从而激发了学生学习数学的欲望和兴趣，使教学目标顺利达成．整堂课都以学生操作、探究、合作贯穿始终，在教学过程中给学生的思考留下足够的时间和空间，由学生自己去发现结论，学生在经历“将现实问题转化成数学问题”的过程中，对角平分线性质有了更深刻的认识，培养了学生动手、合作、概括能力，同时也提高了思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识．