重叠问题及答案.docx
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重叠问题及答案
重叠问题及答案
【篇一：
重叠问题教案】
梁邹小学邢金花
教学目标：
1、结合具体情境，学习借助直观图解决简单得重叠问题。
2、经历独立思考，合作探究的过程，提高思维能力、促进思维发展，形成运用几何直观的方法解决问题的策略、增长学生的聪明才智，发展学生的智力。
3、通过活动激发学生学习数学的兴趣和欲望，体验成功的乐趣，产生学好数学的自信心。
重点：
通过直观图解决重叠问题。
一.情境导入
课前谈话：
你喜欢什么小动物？
猜猜老师喜欢什么小动物？
（设计意图：
激发兴趣，引起好奇心）
1.出示情境图
师：
你能从这幅图中发现什么？
生：
大雁；颜色和别的大雁不一样的花大雁。
师：
你能提出一个数学问题吗？
生：
一共有几只大雁？
师：
从这幅图中，你能知道有几只大雁吗？
生1：
能，7只，8只，9只。
生2：
不能，因为被云彩遮住了。
师：
这只漂亮的大雁说了一句话，大家想知道它说的什么吗？
生：
想。
2．出示重要信息，我从前面数排第6，从后面数排第3。
并凸显出来。
二．新授
1.强化信息：
（1）教师把信息读一遍，问学生“你听见了什么信息？
”（设计意图：
培养学生认真及时捕捉信息的意识和能力）
（2）师：
信息什么意思？
你能说说吗？
（3）师：
现在你觉得有多少只大雁？
9只怎么算的？
（4）到底有多少只大雁呢？
你们有什么好方法一眼能看出来？
学生：
站一站摆小棒画图
师：
站一站，怎么站呢？
（设计意图：
通过讨论正确理解信息）
2.摆一摆
师：
谁能用小磁铁把图上的大雁像刚才那样摆出来？
学生上讲台上去摆一摆。
摆完之后让学生反复讨论和纠错。
（设计意图：
通过讨论和争辩感受到花大雁用不同颜色的磁吸摆能一眼看出哪只是花大雁）
让该生说一说不同颜色的磁铁表示什么。
然后大家一起验证，是不是从前面数第6，从后面数第3。
（注意，要引导学生从前面数了再从后面数，让学生感受到摆对2个信息才行）
3．画一画
师：
我们除了摆一摆，还能怎样一眼看出有多少只大雁？
生：
画图。
师：
你真是爱动脑筋，这是一个很好的方法，那么大家在画一画之前，先独立想一想，你打算怎么画？
（可以同桌两人小声的讨论一下）
生：
用图形代替大雁，三角表示普通的大雁，圆圈表示花大雁。
。
。
（诸如此类的回答）
4.展示学生不同的画法。
5.算一算
师：
摆完了画完了，咱们能不能列式计算呀？
在练习本上看着图试着列一列，算一算。
列完之后一一回答，将结果板书到黑板上，让学生说说每个数字表示什么意思。
（注意，对应着图圈出每个数的意思）
6.首尾呼应。
师：
我们猜的7只为什么不准？
这说明数学光猜是不行的，要按信息算。
可是6+3=9为什么也不对呢？
看着黑板上的图研究，引导学生分别圈出前面的6只和后面的3只，看看有什么发现，花大雁被数了2次，就数成了2只花大雁，数重复了，这在数学上也叫“重叠”，板书课题“重叠”。
所以要把多数了的那只花大雁去掉才行。
所以算式是：
6+3－1=8（只）
三．巩固练习
1、尝试练习。
小动物做游戏，小猫从左边数排第7，从右边数排第3，一共有多少只小动物？
2、变式练习。
鸭妈妈领着自己的孩子在池塘里学游泳，鸭妈妈从前数排第六，后面还有4只小鸭子。
一共有多少只鸭子在游泳呢？
四．总结回顾
师：
我们这节课学会了什么？
学会了可以摆小棒、画图、圈一圈来做数学题。
五．作业
遗憾：
开课一个学生问“有多少只大雁被白云挡住了？
”，下课时忘了解决。
课后要补上！
反思：
没有把现成的知识抛给孩子，而是让学生猜测出了好几个答案。
然后让学生摆磁吸，摆磁吸时不断的纠正错误，在纠正错误中理解信息的意思，学会摆的方法，整个过程都是学生在不断的思考，不断地修正自己的思路，学生的主动性得到了极大地发挥，潜力得到挖掘。
【篇二：
重叠问题教学设计与评析】
txt>数学广角
（一）
教学内容：
人教版《义务教育课程标准实验教科书.数学》三年级下册第108页教学目标：
知识与技能：
使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的
实际问题。
过程与方法：
让学生体验利用直观图解决简单的实际问题的过程，培
养学生数形结合的思想。
情感、态度与价值观：
让学生养成善于观察和思考的良好习惯，体会数学的严谨，感受数学与日常生活的密切联系，提高学生学习数学的兴趣。
教材分析：
“重叠问题”是教材专门安排来向学生介绍一种重要的数学思想方法的，即“集合”。
教材例1通过统计表的方式列出参加语文小组和数学小组的学生名单，而总人数并不是这两个小组的人数之和，从而引发学生的认知冲突。
这时，教材利用直观图（即韦恩图）把这两个课外小组的关系直观地表示出来，从而帮助学生找到解决问题的办法。
教材只是让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了。
学情分析：
集合思想是数学中最基本的思想，集合理论可以说是数学的基础。
从学生一开始学习数学，其实就已经在运用集合的思想了。
例如，学生在学习数数时，就常常把1个人、2朵花、3枝铅笔等用一条封闭的曲线圈起来表示，在学习认识三角形等图形时，也常常把各种不同的三角形用一个圈圈起来表示。
又如，学生学习过的分类思想和方法实际上就是集合理论的基础。
但是，这些都只是单独的一个个集合图，而本节课所要用到的含有重复部分的集合图，学生并没有接触过。
基于此，我把知识的原点定位于两个独立的集合圈，没有采用教材例1统计表的呈现方式，从两个并列的集合圈引发学生的
探究，更符合学生的学情。
教学重点：
使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的
实际问题。
教学难点：
对重叠部分的理解。
教具、学具准备：
多媒体课件、铁丝圈、例1中的学生姓名卡等。
教学过程：
一、创设情境，初步感知
同学们，为了丰富大家的课余生活，学校组织了一些课外兴趣小组。
三
（1）班的很多同学都参加了，其中参加语文和数学课外小组的有这些同学。
出示例一：
三（１）班参加语文、数学课外小组的学生名单
师：
从统计表中你都看到了哪些信息？
生1：
语文小组有8人，数学小组有9人。
生2：
语文小组比数学小组少1人。
生3：
数学小组比语文小组多1人。
【评析：
对三年级的学生讲集合知识，最好的方法就是设臵学生比较熟悉的生活情境，让他们在具体的情境中有所感悟。
新课程标准指出：
数学应该来源与生活。
这里选择了贴近于学生实际生活的例题来创设情境，同时，例题当中出现了重复参加的现象，这位下一环节设臵冲突埋下伏笔。
】
二、合作探究，解决问题
1、设臵问题，引发探究。
师：
请你快速算算，参加语文小组和数学小组的共有多少人？
生：
8+9=17人。
生：
不对，不对，我数的一共才有14人，你怎么算出17人了。
生：
是啊，你算错了。
师：
哟，可不是吗？
来，研究研究，怎么回事？
两项加起来的总人数
怎么和实际的总人数不一样了。
生：
有人重复报名了。
生：
不能用两种比赛项目报名人数相加，这样不合理。
师：
你真善于观察，思维更是敏锐，一眼就发现了问题的根源，了不
起。
在数学上，我们把这种重复出现的现象叫做“重叠问题”，今天我们就一起到数学广角中了解一下“重叠问题”。
板书课题：
数学广角重叠问题
【评析：
这一环节，适时引发了学生的认知冲突，激起了学生探
索的欲望。
】
2、创造图形，明确含义
师：
同学们，通过刚才的讨论，我们知道了实际上两个小组只有14人。
可是我们从统计表中看到的却是17人，这是为什么呢？
生：
因为重复参加的3个人的名字出现了两次，所以多出来了3个人。
师：
看来在有重复现象的情况下，表格不太直观，不方便我们统计总
人数。
如果每个名字只用一次，我们把这些同学的名字放进这样
两个圈中研究一下。
请同学们利用老师课前发的学具，按照要求摆一摆。
活动要求：
小组合作，利用手中的学具摆一摆，把语文小组同学的名字放进红色的圈，数学小组同学的名字放进绿色的圈。
让别人不但能看出语文小组有哪些同学，数学小组有哪些同学，而且还能看出哪些同学两个小组都参加了。
生1：
我是这样摆的。
语文小组杨明李芳
张伟赵军王爱华
陈东丁旭刘红数学小组王志明于丽卢强周晓陶伟朱小东
生2：
你这样不对，数学小组有9个人呢，可是你这里只有6个人。
生3：
我是这样摆的。
语文小组赵军陈东张伟丁旭数学小组王志明于丽周晓卢强刘红
生4：
你这样也不对，语文小组有8个人，可是你这里只有5个人。
生5：
我是这样摆的。
语文小组赵军陈东张伟数学小组王志明于丽杨明卢强朱小东王爱华周晓陶伟
师：
这位同学的方法你赞成吗？
生：
他这样摆不但能够让人看懂数学小组有哪些人，语文小组有哪些
人，而且还能一眼就看出哪些同学两个小组都参加了。
我赞成他的方法。
师；这位同学真了不起，这种图形最早是有一个叫韦恩的数学家创造
出来的，所以叫做“韦恩图”。
你和数学家一样，也创造出了这种图形，真棒！
师：
谁能说说这幅图中每部分都表示什么呢？
生1：
左边这个大圈表示参加语文小组的，右边这个大圈表示参加数
学小组的，中间这一部分表示两个小组都参加的。
师：
你同意他的意见吗？
最左边和最右边这两个月牙形的部分分别表
示什么呢？
生：
最左边的表示只参加语文小组的，最右边的表示只参加数学小组
的。
师：
如果要求两个小组的总人数，你认为是从表格中更容易看出来还
是从韦恩图中更容易看出来。
生：
当然是韦恩图更直观了。
【评析：
对于三年级的学生来说，他们虽然接触过集合图，但以前接触的都是独立的集合图。
所以要让他们自己设计出含有交集的集合图不太现实。
这里通过比较直观的两个圈来帮助学生创造“韦恩图”，在学生的集体智慧中，使“韦恩图”的形成水到渠成。
】
3、列式计算，理解算理
师：
刚才我们从韦恩图中很容易就看出两个小组一共有多少人。
如果列式计算，又该怎样计算呢？
自己在练习本上试一试。
生1：
我是这样列的：
8+9-3=14（人）
生2：
我是这样列的：
8-3+9=14（人）
生3：
我是这样列的：
9-3+8=14（人）
……
师：
谁能说说自己算式的意义呢？
生1：
我是用语文小组的人数加上数学小组的人数然后再减去重复参
加的人数。
生2：
我是先用8-3算出只参加语文小组的人数，然后再加上数学小
组的人数。
……
师：
同学们真棒，都能用自己的方法列出算式。
【评析：
当学生清楚地认识了直观图后，在进行算法的探究，并让他们用尽可能准确的语言表述算式的意义，或者借助图形阐述自己的算式。
不但能使学生更加深刻的理解本节课所学内容，而且能促使算法多样化的自然生成。
】
三、联系生活，强化“重叠”
1、基本练习：
课本110页第1题。
师：
你们喜欢动物吗？
认识这些动物吗？
这些动物有的会飞，有的会
游。
请把这些动物的序号填入下图中合适的位臵！
⑩
会游泳的
会飞的
【篇三：
三重叠问题解答】
s=txt>学法指导：
解答重叠问题，必须从条件入手认真分析，有时可以根据条件画一画图来帮助我们思考，找出哪些是重复的，重复了几次？
明确求的是哪一部分，从而找出解题的方法。
例1、学校组织看文艺表演，冬冬的座位从左数是第7个，从右数是第10个，这一行座位有多少个？
分析与解答：
根据题意画出图。
例2、为庆祝六一，小朋友们排成方形的鲜花队，无论从前、从后数，还是从左、从右数，李丽都在第5个，鲜花队一共有多少个小朋友？
[分析与解答]根据题意，画出下图：
试一试2、同学们排成方形的队伍跳集体舞，无论从前从后数，还是从左从右数，赵英都是第4个。
跳集体舞的一共有多少个同学？
例题3、三（5）班同学参加了音乐、美术这两个课外兴趣小组。
已知参加音乐组的有32人，参加美术组的有30人，两个小组都参加的有10人。
三（5）班共有学生多少人
[分析与解答]根据题意，画图：
阴影部分表示两个都参加的10人，这10人既被包括在音乐组的32人，又被包括在美术组的30人，共被算过两次，重复多算了一次，所以要求三（5）班共有学生多少人，必须从32+30=62（人）中去掉多算了一次的10人，全班人数应是62－10=52（人）。
想一想：
这道题还可以怎样解答？
试一试3、三
（1）班订《数学报》的有32人，订《语文报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三
（1）班有学生多少人？
例4、、三
（1）班有学生55人，每人至少参加跳绳和踢毽子比赛的一种，已知参加跳绳的有36人，参加踢毽子的有38人。
两项都参加的有几人？
从上图可以看出，中间的重叠部分（阴影部分）表示两项比赛都参加的人数。
如果把跳绳的36人与踢毽子的38人加起来得36+38=74（人），这74人比全班总人数多了74－55=19（人），为什么会多19人？
原来图中阴影部分表示的人数既在跳绳的人数中算过，又在踢毽子的人数中算过，这部分人数多算了一次，才多出了19人，所以这19人就是两项都参加的人数。
想一想：
看看，说一说下面的算式分别求的是什么样？
55－36=19（人）55－38=17（人）38－（55－36）=19（人）
种都不会的有10名同学。
两种都会下的有多少名同学？
[分析与解答]根据“三（5）班有42名同学”和“两种棋都不会下的有21＋17=38（名），这38名比会下一种棋的32名多了38－32=6（名），这多出的6名既在会下象棋的人数中算过，又在会下围棋的人数中算过，也就是两种棋都会下的同学人数。
试一试5、
学校乐器队招收了42名新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名，两项都不会的有3名。
两项都会的有多少名？
例题6、三（6）班有学生55人，参加学校绘画比赛的有20人，既参加绘画比赛又参加书法比赛的有12人，两项比赛没参加的有14人。
参加书法比赛的有多少人？
[分析与解答]根据“三（6）班有学生55人”和“两项比赛都参加的有14人这两个条件，可以得出至少参加一项比赛的有55－14=41（人），画出下图：
从上图可以看出，参加书法比赛的人数包括两个部分：
一部分是没有参加绘画比赛，只参加书法比赛的人数，第二部分是两项比赛都参加的12人。
如果从41人里面去掉参加绘画比赛的20人，得到41－20=21（人），就得到只参加书法比赛的人数是21人，再根据两项比赛都参加的有12人，用21＋12=33（人）就算出了参加书法比赛的人数。
列式如下：
想一想：
下面的解法有没有道理？
为什么？
５５－１４－（２０－１２）＝３３（人）
试一试６、乐器兴趣小组有４２人其中会弹钢琴的有２７人，既会弹钢琴又会弹古筝的有１６人，两项都不会的只有１人。
会弹古筝的有多少人？
课内练习
1．同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个；从前数是第5个，从后数是第6个。
做操的同学一共有多少个？
2．三（4）班有学生56人，做对第一道思考题的有29人，做对第二道思考题的有27人，两道题都做错的有7人。
两道思考题都做对的有几人？
3．三（4）班有学生56人，做对第一道思考题的有29人，两道思考题都做对的有7人。
做对第二道思考题的有多少人？
4．三
（1）班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有31人，每人至少完成了一种作业。
三
（1）班共有学生多少人？
5．101个同学带着矿泉水和水果去春游，其中矿泉水的78人，带水果的有71人，只带矿泉水和只带水果的各有多少人？
鸡兔同笼
笼中装有鸡和兔若干只，共100只脚，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共92只脚。
笼中原有兔、鸡各多少只?
解：
兔换成鸡，每只就减少了2只脚。
（100-92）/2=4只，
兔子比鸡多4只。
去掉4只兔子4*4=16只脚，100-16=84只脚是同样兔子和鸡的脚
84/6=14是鸡的数量
14+4=18是兔子的数量
答：
兔子有18只，鸡有14只。
重叠问题
专题简析：
三
（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？
对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。
数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？
明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
例题1六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。
小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。
这行彩旗共多少面？
思路导航：
根据题意，画出下图：
从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。
练习
1，小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。
这队小朋友共有多少人？
2，学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。
这一行座位有多少个？
3，同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。
这一排共有多少个同学？
例题2同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。
做操的同学共有多少个？
思路导航：
根据题意，画出下图：
练习二
1，同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。
小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。
跳舞的共有多少人？
2，为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。
鲜花队共多少人？
3，三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。
三（4）班共有学生多少人？
例题3把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。
如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？
练习三
1，把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？
2，把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。
中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？
3，两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。
另一根木棍长多少厘米？
例题4一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。
问两道聪明题都做对的有几人？
思路导航：
根据题意，画出下图：
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