历史上的数学学派.docx

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历史上的数学学派

历史上的数学学派

§14.1埃利亚学派

埃利亚学派主要活动在埃利亚（意大利的南端）地区，主要代表人物是芝诺．他是巴门尼底斯的门徒．芝诺的哲学含有辩证法的因素．第一次企图揭露运动的矛盾，提出了四个违背常识的悖论．这些悖论给学术界以极大的骚动，余波至今未息．

这四个悖论分别是：

二分说．一个物体从甲地到乙地，永远不能到达．因为想从甲到乙，首先要通过道路的一半，但要通过一半，必须通过一半的一半，即道路的1/3，要通过1/4必先经过1/3，这样分下去，永无止境，诺的结论是此物根本不能开始运动，因为它被道路的无限分割阻碍着．

阿基里斯追兔说．阿基里斯是《史诗》中的英雄，以善跑著称．芝诺说阿基里斯追乌龟，永远追不上．比方说，阿基里斯的速度是龟的10倍，龟在前面100米，当阿基里斯跑了100米到龟的出发点时，龟向前走了10米，阿基里斯再多10米，龟已前进了1米，阿斯里斯再追1米，龟又前进了1/10米，这样永远相隔一小段距离，所以总也追不上．

飞矢不动．飞行中的箭在任何一个确定的时刻只能占据空间的一个特定的位置，因此，在这一瞬间它就静止在这个位置上，于是所谓运动，只是许多静止的总和．

还有运动场问题．芝诺本来可以进一步导出极限的思想，但他却因此否认运动的真实性，说运动是感官的错觉，而世界是静止的存在，这样他就不会得到正确的结论了．

§14.2爱奥尼亚学派

泰勒斯是爱奥尼亚地区的米利都，被誉为"七贤之首"、"希腊哲学、科学之父"，正是他创立了爱奥尼亚学派．

爱奥尼亚学派通过大胆的思索和猜想，认为一切表面现象的千变万化之中有一种始终不变的东西，他们抛弃了古老的神话传说，试图用合理的解释代替诗人的想象和神圣的神秘的力量，敢于用人类的理智来面对宇宙．当然这种观点不是来源于广泛的细微的科学研究的结果，而是来自一系列大胆思索，巧妙的猜测和聪敏的直观．尽管如此，爱奥尼亚学派的这种自然哲学也可算作理性主义的早期表现．

作为创始人，泰勒斯对数学有划时代的贡献．他开始了命题的证明．他是第一个几何学家，确立并证明了第一批几何定理．如直角都相等、对顶角相等，等腰三角形的底角相等，直径等分圆周、圆周角定理，以及泰勒斯定理；如果两个三角形有一边及这边上的两角对应相等，那么这两三角形全等．泰勒斯利用这个定理求到不可达物体的距离，例如从岸上一点到海中一只船的距离．他还利用金字塔的影长测量金字塔的高度．传说他还预测了公元前585年5月28日的日食，并以此制止了一场战争．

§14.3柏拉图学派

柏拉图学派的代表人物是柏拉图，他年轻时曾跟随希腊哲学家苏格拉底学习哲学，受到逻辑思想影响，尔后成为雅典举世瞩目的大哲学家．柏拉图从毕达哥拉斯学派吸收了许多数学观点，并运用到自己的学说中，因此，柏拉图的哲学提高了对数学科学的兴趣．他充分认识到数学对研究哲学和宇宙的重要作用，并积极鼓励自己的朋友，学生学习和研究数学．柏拉图在雅典建立了自己的学派和学园，据说在他的学园门口写着"不懂几何者不得入内．"

柏拉图学派重视数学的严谨性，在教学中，坚持准确地定义数学概念，强调清晰地阐述逻辑证明，系统地运用分析方法和推理方法，例如，推理中，假设已知所求未知数，再以这个假设为基础，得出已知量和未知量应当存在的关系式的结论，归根到底是化求未知量．柏拉图学派把这种方法运用到作几何图形上．

柏拉图学派，主张科学的任务是发现自然的结构，首次提出了应该把严格推理法则系统化，从而为数学走向新的阶段起到前导作用．

在柏拉图思想的影响下，学派中出现了一些对数学发展作出贡献的数学家．例如，欧多克斯，曾是柏拉图的学生，创造性地排除了毕达哥拉斯学派只能适用于可通约量的算术方法，用公理法建立比例论，欧几里得《几可原本》第五卷《比例论》的大部分内容是欧多克斯的工作成果．

柏拉图的另一名学生是亚里士多德，被誉为形式逻辑的鼻祖，其思想影响西方数千年，他也非常重视数学的学习和研究，他所给出的点线面的定义，广为传播．他还应用演绎逻辑的方法对许多数学问题作出了证明．

§14.4毕达哥拉斯学派

毕达哥拉斯学派的成员都是贵族，他们反对撒摩斯岛的古希腊民主制．领头人毕达哥拉斯生于撒摩斯岛．毕达哥拉斯年轻时期，游历了很多地方，特别是游访古埃及和古巴伦等地，学习了一些数学知识，大约在公元前530年回国，开始创建学派．

毕达哥拉斯学派的主张和观念曾引起撒摩斯公民的不满，毕达哥拉斯为了避开人们的舆论，只好离开自己出生的本土，逃往希腊的移民区阿佩宁半岛，并定居在克罗托那城，重新建立学派．由于比达哥拉斯参与政治活动，后来被杀害．他的门徒散居到希腊其他学术中心，继续传授他的教诲达200年之久．

毕达哥拉斯学派把数看作是真实物质对象的终极组成部分．数不能离开感觉到的对象而独立存在，他们认为数是宇宙的要素．所以，他们很注意研究数，也就开始研究数的理论，研究数的性质，而注重实际的计算．他们还依据几何和哲学的神秘性来对"数"进行分类，按照几何图形分类，可分成"三角形数"；"正方形数"、"长方形数"、"五角形数"等等．

毕达哥拉斯发现了著名的"勾股定理"，据说，毕达哥拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了一百头牛，也正是由于勾股定理的发现，导致无理数的发现，由此产生了第一次数学危机．

毕达哥拉斯学派在对数学的发现中，不断追求"美"的形式．他们认为日、月五星都是球形，浮悬在太空中，这是最完美的立体，而圆是最完美的平面图．就是曾被誉为"巧妙的比例"，并染上各种各样瑰丽诡秘色彩的"黄金分割"也是这个学派首先认识到的．

§14.5波兰数学学派

20世纪20年代起，波兰数学家迅速兴起，成为举世瞩目的大事．波兰历史上多次被列强瓜分，科学的发展受到严重的压抑，波兰数学学派又是怎样形成和发展的呢？

第一次世界大战前，波兰由德、奥、俄三国占领．在德占区，波兰文化受到严重摧残．第一次世界大战给波兰带来了巨大的变化．波兰人创建了自己的华沙大学和华沙技术大学．贾尼柴夫斯基教授是波兰学派最初的倡导者和组织者．他的远见卓识和非凡的组织才能，为波兰学派的形成提供了正确的指导方针．

波兰学派又分为两支：

华沙学派和里沃夫学派．

华沙学派的研究重点是点集拓扑、集论、数学基础和数理逻辑．第一卷《数学基础》的出版，是华沙学派形成的标志．他们采纳了两个有益建议：

一是为了扩大波兰数学的国际影响，毅然用外语发表论文，二是接受勒贝格的建议，不仅登载集合论方面的论文，而且刊登集合论的应用的论文．《数学基础》前几卷质量都很高，不久便成为一份真正的国际性的数学杂志．

里沃夫学派的成就更引人瞩目，由巴拿赫和施坦因豪斯领导的泛函分析研究中心最出色的工作为：

巴拿赫所创立的巴拿赫空间连续线性算子理论，泛函分析中的共鸣定理，以其深刻和概括著称于世．

里沃夫学派的诞生标志是出版《数学研究》，它创刊于1929年，主要刊登泛函分析方面的文章．他们研究方式很特别：

到"苏格兰咖啡馆"喝咖啡，热烈地讨论数学问题．

第二次世界大战使波兰失去了一代人，波兰已没有像巴拿赫那样声誉卓著的大师了，但波兰的数学仍相当发达．《数学基础》和《数学研究》仍在继续出版，并为世人注目．

§14.6布尔巴基学派

1939年，法国巴黎出版一本新书《数学原本》，这是一套关于现代数学的综合性丛书的第一卷，作者署名为尼古拉·布尔巴基，《数学原本》是一部博大精深的著作．它涉及现代数学的多个领域，概括某些最新研究成果，以其严谨而别具一格的方式，将数学按结构重新组织，形成了自己的新体系．这套丛书的出版，标志着布尔巴基学派的诞生．

布尔巴基学派奉行结构主义观点．他们把数学看成关于结构的科学认为整个学科的宏伟大厦，可以建立在丝毫不求助于直观的彻底公理化基础上，他们从集合论出发，对全部数学分支给以完备的公理化．在他们的工作中，结构的观点处于数学的中心地位．

结构观点为数学研究提供了有力的工具，借助于它，一眼望去，就能看清广阔的数学领域．但布尔巴基学派也存在一些不足之处，一是由于只追求公理化，忽视了数学和其它科学的联系，在初等数学中过早地引入抽象概念．二是布尔巴基学派不崇尚数学技巧，只讲究用解剖刀作分类．像哥德巴赫猜想那样高难度数学证明，在结构主义体系中找不到适当的位置．

布尔巴基的结构主义观点，在五、六十年代盛极一时，在中学教材改革中都奉为经典．形成波及世界的"新数运动"．七十年代以来，结构主义观点似乎开始走下坡路了．但布尔巴基学派一如既往地前进，看不到任何解体的现象．一个科学团体，能有如此长期而有效地合作，历史上并不多见．布尔巴基学派对数学产生了重大的影响，在数学人才的培养上获得了巨大的成功．

§14.7法国数学学派

十七世纪以来的工业革命是在资本主义生产方式上升时期兴起的，资产阶级对这场革命、对工业革命中科学技术的发展起了积极的推动作用．资本家、资产阶级政府不仅关心科学技术的进步，而且，还采取了一些促进科学技术进步的措施，直接干预科技活动和科技事业．在法国大革命期间，国民议会接受了一些科学家和工程师的建议，于1795年成立了巴黎高等师范学院，1797年成立了巴黎理工科大学．在拿破仑的支持下，后来成为法国科学的温床，培养出成群的世界一流的科学家．

微积分逐渐发展成为一个广阔的分析领域，并得到广泛的利用，这时活跃在数学界的是法国的三个大数学家，即拉格朗日，拉普拉斯和勒让德．拉格朗日在方程论方面丰富了代数学的内容，在数论、连分数、微积分、微分方程，变分法等方面都写了大量的论文．拿破仑称之为"数学科学中高耸的金字塔"．拉普拉斯和勒让德是同时代的人．拉普拉斯在概率论、微分方程和测地学等领域都做出了突出的贡献，而勒让德在数论、椭圆函数方面有重要贡献．

傅立叶和泊松是十九世纪初叶的法国两颗数学明星，他们都从事应用数学的研究．傅立叶开辟了近代数学的一个巨大的分支──傅立叶分析．他证明了，任何函数可表达为变量的多重正弦和余弦的级数．恩格斯曾高度评价道：

"黑格尔是一首辩证法的诗，傅立叶是一首数学的诗"．泊松主要从事定积分、级数和弹性理论的研究．

在数学分析发展史上，极限理论的建立具有划时代的意义，这一工作是大数学家柯西、威尔斯特拉斯等人完成的．柯西在数学方面的贡献遍及数学的各个领域，特别在级数，微分方程、数论，复变函数、行列式和群论方面．他关于分析学一系列基本概念的严格定义，奠定了以极限论为基础的现代数学的分析体系．

庞加莱是19世纪的数学界首屈一指的权威，是高斯和柯西之后无可争辩的大师．这位多才多艺的大数学家，在微分方程自守函数、拓扑学的研究方面著称于世，20世纪的许多成果，都溯源于他．

20世纪初，法国这个函数论王国人才济济，除波莱尔和勒贝格外，还有研究整函数例外值的毕卡．这个函数论王国由于第一次世界大战法国把年青的数学家和大学生都送往前线大批死亡，后继无人而衰亡了．

§14.8哥廷根学派

哥廷根学派是在世界数学科学的发展中长期占主导地位的学派．该学派坚持数学的统一性，思想反映了数学的本质，促进了数学的发展．

高斯开始了哥廷根数学学派的起始时代，他把现代数学提到一个新的水平．黎曼、狄利克雷和雅可比继承了高斯的工作，在代数、几何、数论和分析领域做出了贡献，克莱因和希尔伯特使德国哥廷根数学学派进入了全盛时期，哥廷根大学因而也成为数学研究和教育的国际中心．

哥廷根学派的数学成就，对世界数学的发展产生过极其深远的影响．这个学派之所以能取得如此的成就，有它深刻的社会原因．首先，哥廷根学派人数众多，学科全面，并且在它各个时期都以罕见的全才──高斯、黎曼、克莱因和希尔伯特为学术带头人；其次，学术带头人年轻，思想活跃，富有创造性是哥廷根学派在世界数学发展中长期占主导地位的重要原因；重视学术交流、创造一种自由、平等的讨论和相互紧密合作的学术空气，并蔚然成风，这种精神是哥廷根学派取得巨大成就的重要原因；重视纯粹数学和应用数学，把理论自然科学和控制程技术结合起来的优良的双重科学传统更是哥廷根学派留下的成功经验．

哥廷根学派是世界数学家的摇篮和圣地，但希特勒的上台，使它受到致命的打击．大批犹太血统的科学家被迫亡命美国，哥廷根数学学派解体．

§14.9诡辩学派

"诡辩"一词含"智慧"之意，诡辩学派也译作"哲人学派"或"智人学派"．诡辩学派主要是以讲授修辞学，雄辩术，文法，逻辑数学，天文等科为职业．也经常出入群众集会场所，发表应付的演说等．最有名的有普罗他哥拉斯、哥尔基亚；安提丰等人．

诡辩学派的数学研究中心，是所谓的几何三大难题：

1、三等分任意角，2、倍立方──求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；3、化圆为方─求作一正方形，使其面积等于已知圆．

这些问题的难处；在于作图只许用直尺（没有刻度的尺）和圆规两种工具．后来证明三大问题都是不可能解决的．正因为不能用尺规来解决，常常使人闯到新的数学领域中去．例如激发了圆锥曲线等．

诡辩家安提丰提出一种"穷竭法"，颇有价值，它是近代极限理论的雏形．先作圆内接正方形，将边数加倍，得内接八边形，再加倍，得十六边形，这样继续下去，安提丰深信"最后"的正多边形心与圆周相合，也就是多边形与圆的"差"必会"穷竭"于是就化圆为方了．结论虽是错的，但却提出了一种求圆面积的近似方法，成为阿斯米德割圆术的先导．

§14.10逻辑主义学派

逻辑主义学派的主要代表人物为罗素．从20世纪初，罗素悖论所导致的数学危机在许多数学家中形成"危机"感，他们认为：

数学的基础在于逻辑，数学是逻辑的一个分支，应把数学还原于逻辑，即：

从少量的逻辑概念出发去定义全部的数学概念：

从少量的逻辑命题出发，演绎出全部的数学理论．

早在罗素之前，弗雷格在研究算术公理化时就已提出了将数学还原于逻辑的观点，罗素在吸收弗雷格研究成果的基础上与怀特海合作，进行了艰苦的工作，于1913年完成了巨著《数学原理》．声称：

"从逻辑中展开数学的工作，已经由怀特海和我在《数学原理》中详细地做出了．"但事实上，尽管罗素所使用的公理大多是逻辑的，但也有非逻辑的例外，如无穷公理和选择公理．此外，为排除因他自己所提出的悖论导致的集合论的矛盾，他提出了他们的分支类型论，而这一理论与他的逻辑主义宗旨是不相符的．逻辑派过分夸大了数学与逻辑间的同一性，才抹杀了它们之间质的区别，终以失败而告终．

虽然逻辑派失踪了，但他们在数学基础研究方面的贡献却值得肯定．由于他们的工作，形式逻辑基础上实现了从传统逻辑到数理逻辑的发展．罗素的《数学原理》成功地把古典数学纳入了统一的公理系统，奠定了近代公理化的基础．