概率论与数理统计习题.docx

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概率论与数理统计习题

第一章概率论的基本概念

一、填空题：

p（aUb）=

1.设AuB,P（A）=0.1,P（B）=0.5侧P（AB）=

P（AUB）=

2.设在全部产品中有2%是废品，而合格品中有85%是一级品，则任抽出一个产品是一级品的概率为

3.设A,B,C为三事件且P（A）=P（B）=P（C）=丄，P（AB）=P（BC）=0,P（AC）=,则

48

A,B,C中至少有一个发生的概率为

4.一批产品共有10个正品和2个次品，不放回的抽取两次，则第二次取到次品的概率

5.设A,B为两事件，P（A）=0.4,P（AUB）=0.7,当A,B不相容时，P（B）=

当A,B相互独立时，P（B）=

2.、选择题

BUA,则下列式子正确的是（

（A）P（AUB）=P（A）

（B）P（AB）=P（A）

（C）P（BA）=P（B）

（D）P（B-A）=P（B）-P（A）

2.每次试验成功的概率为p（0

概率为（

）o

（A）Cwp4（1-p）6

（B）C；

4/”\6

p（1-p）

（C）C；p4（1-p）5

（D）C9

3"X6

P（1-P）

3.设A,B为两事件，则P（A-B）等于（

）o

（A）P（A）-P（B）

（B）P（A）-P（B）+P（AB）

（C）P（A）-P（AB）

（D）P（A）+P（B）-P（AB）

4.关于独立性，下列说法错误的是

）o

（A）若A,A2,川，An相互独立,则其中任意多个事件Ai，A2,川，Ak（k

（B）若Ai,A2,川，An相互独立,则它们之中的任意多个事件换成其对立事件后仍然相

互独立

（C）若A与B相互独立，B与C相互独立，A与C相互独立，则A,B,C相互独立；

（D）若A,B,C相互独立，则AUB与C相互独立

5.n张奖券中含有m张有奖的，k个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概率是

）。

m

（B）Ck

Cn

Ck

（A）

Cn-m

Ck

Cn

（C）

C1Qk

CmCn-m

c：

Cm

c：

三、解答题

1.写出下列随机式验的样本空间及事件

A包含的样本点

（1）掷一颗骰子，设事件A=｛出现奇数点｝;

（2）—袋中有5只球，分别编号为1,2,3,4,5，从中任取3球。

A=｛取出了3只球的最小号码为2｝。

2.设A,B,

C为三个随机事件，用

A,B,C的运算关系表示下列各事件:

（1）A发生,

B,C都不发生;

A与B都发生，而C不发生;

（3）A,B,

C中到少有一个发生;

（4）

C都发生;

（5）A,B,

C都不发生;

（6）

C中不多于一个发生。

3•已知P（A）=丄，P（B）=-，求下列三种情形下

3■

P（AB）的值

（1）A与B互不相容;

（2）AUB;

（3）A与B相互独立。

4•一批产品共40个，其中

5个次品，现从中任意取4个，求下列事件的概率。

A=｛取出的4个产品中恰有

1个次品｝；B=｛取出的4个产品中至少有1个次品｝

5.已知在10件产品中有2只次品，在其中两次，每次取一只，作不放回抽样求下列

事件的概率

（1）两只都是正品;

（2）两只都是次品;

（3）—只是正品，一只是次品;

（4）第二次取出的是次品。

6.三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为

求：

（1）三人中至少有一人能将此密码译出的概率;

（2）三人全部将此密码译出的概率。

7.已知男性中有5%是色盲，女性中有0.25%是色盲，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲，问此人是男性的概率是多?

8.设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别

A生产的概率。

占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该产品是工厂

、填空题:

第二章

随机变量及其分布

1•一袋中装有5只球，编号分别为

1,2，3，4，5在袋中同时取3只，以X表示取

出的3只球中的最大号码，则随机变量

X的分布律为

C

2.设随机变量X的分布律为P{X=k}=,k=0,1,2,3,则常数C=

k+1

3.若随机变量巴在（1,6）上服从均匀分布，则方程x2+©x+1=0有实根的概率

Xc0

4.设连续型随机变量X的分布函数为

0

X>1

P{"xq=

5.—射手对同一目标独立地进行四次射击

，若至少命中一次的概率为80，则该射手的命

81

中率为

、选择题

1.常数b=（）时,

Pk

b

k（k+1）

（k=1,2，川）为离散型随机变量的概率分布

1

（C）2

2.若要®（X）=COSX可以成为随机变量X的概率密度，则X的可能取值区间为（

（A）2;（B）1;

（D）3

兀

（A）[0，-]

（C）[0,兀]

兀

（B）[-^]

3江7兀

（D）[―

2

4]

22

3.设随机变量X与丫均服从正态分布，X〜N（巴4）,Y~N（巴5）,

记Pi=P{X<4—4},P2=P{Y34中5},则（

（A）对任何实数4，都有P1=P2

（B）对任何实数4，都有P1VP2

（C）只对4的个别值,才有P1=P2

（D）对任何实数

，都有P1>

P2

4.如下四个函数，哪个是分布函数（

（A）F（x）=<

0,

1

2,

3

4,

1,

X<0

0

1

X>2

（B）

F（x）={

0,

sinX,

X,

1,

（C）F（x）才

兀

—

4

X>1

0,

2

X

Xc0

0

3—X2

——+2x-——

2

0,

1ex<2

X》2

三、解答题

1.一批零件有

出的废品不再放回去,

（D）F（x）={

0,

1+x

xcO

2

1,

9个合格品,3个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个

求在取得合格品以前已取出的废品数的分布律

2.设离散型随机变量X的分布函数为

F（x）=

[0,

1

8

1

4

5

一1

3.设随机变量X的分布律为

X-2

-1

0

xH1

，若果每次取

0

2

6

Pk1

5

丄

15

11

30

2

求：

（1）X的分布律

P{—1CX<1.5}

⑶X的分布函数F（X）

4.设连续型随机变量X的概率密度为

f（X）=Ae+x，-处cX€+处,

求：

（1）常数A

（2）P{0CXCl}

（3）X的分布函数。

5.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间

X（以分计）服从指数分布，其概率密度

x

j1

为fx={5e5,x》0，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开他一个月要到

0,其它

Y的分布律，并求

银行5次，以丫表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。

写出

P{Y刑。

6.由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数M=10.05,^0.06的正态分布。

规定

长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓不合格的概率。

兀兀

7.设随机变量X在（--，-）上服从均匀分布，求Y=sinX的概率密度。

第三章多给随机变量及其分布

、填空题:

1.若（X,Y）

若X与丫

F（2,1）=

的分布律（下表）已知，则a,b应满足的条件是

独立，贝ya=,b=

1

2

3

1

1

6

1

9

1

18

2

1

3

a

b

2.设（X,Y）在以原点为中心，r为半径的圆盘上服从均匀分布，

f（x,y）

L2.22

0,X，则c=

用（X,Y）的联合分布函数

F（x,y）表述以下概率：

（a,b,c,d忘R）

P£

Ed}=

P{a

P{x>a,Y>b}=

FZ/UZ）,V"0为（X,Y）的联合分布函数，则它的

I0其匕

联合概率密度f（x,y）=

22

5.设随机变量X与丫的相互独立，且X~N（2,3）,丫〜N（—1,,4）,

二、选择题:

1.设随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为：

f（x,y）=*

1,

0,

0cXc1,0cyc1

其它则概

率P{X<0.5,Y<0.6}为（

（A）0.5

（B）0.3

2.设随机变量X与丫相互独立,是（）。

7

（C）8

其概率分布为下表

（1）,

（D）0.4

（2），则下列式子正确的

5

（C）P{X=Y}=—（D）P{X=Y}=0

9

3.下列四个二元函数，哪个不能作为二维随机变量（X,Y）的分布函数（

（A）X=Y（B）P{X=Y}=1

（A）

F（x,y）=p

（1_6」）（1-e^）,0cx

其它

（B）

sinxsiny,

"W。

，

xx

0

22;

其它

（C）

（D）

F4（x,y）=1+2」一2^+2」t。

4.设

X,Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为

Fx（Z）,Fy（Z）,

则Z=max（X,Y）的分布函数为（

）。

x+2y知

X+2ycl

（A）

（B）

（C）

Fz（z）

=Fx（z）+Fy（z）；

（D）

Fz（z）

二Fx（z）,Fy（z）;

Fz（z）=max{Fx（z）,Fy（z）}；

FZ（z）=max{|Fx（z）|,|Fy（z）|}；

5.随机变量

X与丫相互独立，且X~N（0,1）和Y~N（1,1），则以下正确的是

1

（A）P{X+Y<1}=-

1

（C）P{X-Y<0}=-

1

（B）P{x+丫<0}=2

1

（D）P{X-Y<1}=2

三、计算题:

1.在一箱了中有12只开关，其中

2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑

两种试验：

（1）放回抽样：

（2）不放回抽样。

定义随机变量如下:

_；0,第一次取出正品_jo,第二次取出正品

x第一次取出次品丫=（1,第二次取出次品

0.2,0.5，以X和丫分别

试分别就

（1）

（2）两种情况，写出X和丫的联合分布律和边缘分布律。

2.甲乙两人独立地进行两次射击，设甲乙的命中率分别为表示甲和乙的命中次数，试求X和丫的联合概率分布律和边缘分布律。

3.设X和丫是两个相互独立随机变量，X在（0,0.2）上服从均匀分布，丫的概率密

fee®,vaO孑

度为*（『）｛L亠，求

（1）（X,丫）的联合概率密度；

（2）P｛Y兰X｝。

[0,其它

X>0V》0

心X，丫［的联合概率密度为：

f（x,沪0,,其它求：

（1）

常数

k;

（2）（X,Y）的分布函数；（3）求P{0

ix+y,OcxctOcycl

5.设（X,Y），的联合概率密度为f（x,y^|0^其它求

（1）

y,

关于

X,Y的边缘概率密度；

（2）判别X与丫是否独立。

6.离散型随机变量（X,Y）的分布律如下图：

求丫=0时，X的条件概率分布。

0

1

2

-1

0.1

0.3

0.15

0

0.2

0.05

0

2

0

0.1

0.1

N（160,20Z）分布，随机地取

7.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从

4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率。

（①

（1）=0.8413）

8已知X与丫的分布律为：

（下表所求），且X和丫相互独立，求X+Y的分布律。

X

1

2

Pr

0.5

0.5

Y

1

2

Pr

0.5

0.5

1

9.设平面区域D由曲线y=—及直线y=0,X=1,x=ez所围成，二维随机变量（X,Y）

X

在区域口上服从均匀分布，则（X,Y）关于X的边缘概率密度在X=2处的值为

（1998年数学一）

10.已知随机变量X和丫的联合概率密度为f（X,y）=

0

其它

X和丫的联合分布函数F（x,y）o（1995年数学四）o

、填空:

第四章随机变量的数学特征

1.设X~兀仏）,且P{x=1}=P{x=2},贝UE（x）=

D（x）=

2.设随机变量

的概率密度为：

一*"1则

其它

E（x）=

3.若X~b（3,0.4）,

Y=1-2X所服从的

分布中E（X）=

D（X）=

相互独立

E（X）=0,E（Y）=1,D（X）=1,则

E[X（X+Y-2）]=

5•设X1,X2,…Xn是一组两两独立的随机变量，且Xi~N（m,cj2）,i=1,2,…n,令

XXj,贝yX服从的分布是

ny

二、选择题

设X和Y为两个随机变量，已知E（XY）=E（X）E（Y），则必有（

（A）D（XY）=D（X）'D（Y）（B）D（X+Y）=D（X）+D（Y）

（C）X与丫相互独立

（D）X与丫相关

若随机变量X与丫满足D（X+Y）=D（X-Y），则下列式子正确的是（

（A）D（Y）=0

（B）D（X）D（Y）=0

（C）X与不相关

（D）X与Y相互独立

若（X,Y）~N（U1,U2,时®；；P），则P=0当且仅当（

成立:

（A）Pij=pi.Pj

（B）

f（x.y）=fx（x）fy（y）

（C）D（XY）=D（X）D（Y）

（D）

X与Y相关

4.X与Y相互独立，且D（X）=6,D（Y）=3,

则Z=2X-3Y的D（Z）为（

（A）51

（B）21

（C）-3

（D）

36

的联合概率密度函数为

『2—X—y,f（x,y）」y

0,

0VXC1,0VyV1

其它则X

与丫的相关系数

PxY=（

）。

（A）-1

5

（C）

11

1

（D）

11

三、计算:

1.掷一骱子，X为其出现的点数，求

X的E（X）,D（X）。

2•已知（X,Y）的联合分布律：

（1）

判定X与丫是否独立;

（2）求X与丫相关系数

PxY，并判定X与丫是否相关。

-1

0

1

-1

1/8

1/8

1/8

0

1/8

0

1/8

1

1/8

1/8

1/8

3.设X~U[O,兀]，试求：

（1）X的概率密度f（x）;

（2）丫=sinx的数学期望；（3）若E（Y2）=1，求D（Y）。

2

4.设长方形的高（以m计）X~U（0,2），已知长方形的周长（以m计）为20，求长方形面积A的数学期望和方差。

a,0CX<1,0Cy

5.设（X,Y）~f（x,y）斗廿宀，则a=?

E（XY）=?

lO,其匕

6.已知X-N（1,32）,Y-N（0,42）,Pxy=-丄,设随机变量E-+丄Y,求

（1）

2

E（Z）,D（Z）;

（2）X与Z的相关系数Pxz。

7.设随机变量X在区间［-1,2］上服从均匀分布，随机变量Y=

1,

0,

-1,

>0

=0，则方差

Xc0,

D（Y）=

。

（2000年数学三）

8.设X的概率密度为：

f（X）=1e卡1，二cxc畑

2

（3）X与|X|是

⑴求E（X）.D（X）;

（2）求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否不相关;

否相互独立？

为什么？

（1993年数学一）

第五、六章大数定理及中心极限定理和抽样分布

、选择题（以下各题选项中只有一个正确）

1、设丫1,丫2…Yn是一随机变量序列，a是常数，那么此序列依概率收敛于a的充要条

件是

（A）对任何实数

>0limP{|Yn-a|<£}=1h—^

（B）

对任何实数

（C）

对任何实数

>0P{|Yn-a|<科=1

（D）

对先分小的

hmRIYn—a|<舒纣

h_jiC

2.设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立。

且服从同一分布,

数学期望为0.5kg，

均方差为0.1kg。

那么5000只零件的总重量超过2510kg的概率是

（A）

0.0787（B）0.0778

（C）0.0797

（D）0.0798

3.设

Xi,X2…Xn是来自总体

X的一个样本。

那么样本的标准差是

（A）

1丈（Xi-X）2

ny

（B）

1n

疋（x2

_2

-X）

（C）

1n

——SXi-nXn—1y

_2

（D）

1n_2

;112（Xi-X）

4.关于t分布的分位点的正确结论是

（A）tq（n）=—怙（n）

（B）t^（n）=1-ta（n）

（C）t』n）=—3n）

（D）t（n）=他n）

1

2

5.设总体X的均值是

卩，方差是b2,X1,X2，…Xn是来自X

的一个样本，下列

结论正确的是

（A）E（X）=4

-c2

D（X）二一

n

（B）

E（X）=n4

_2

D（X）"2

（C）

E（X）=卩

一c2

D（X）=—

n

（B）

E（X）=卩

D（X）"2

二、填空:

1.X1,X2，…Xn

是来自总体X的一个样本，那么样本k阶中心矩

n

2

2.均值为U，方差是b>0的独立同分布随机变量X1,X2，…Xn之和2Xk的标准化

k三

n

送Xk-nu

分布;

变量——在n充分大时近似服从

JncT

3.若'Sm）72~72（n2），且叱工;独立，则叱7；服从

分布

2_2X—U

4•设X1,X2，…Xn是总体N（u,b2）的样本，X,S2分别是样本均值和样本方差。

则一戸

S/Vn

服从

三、解答下列各题

1.据以往经验，某种电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。

现随机地取

16只，设它们的寿命是相互独立的。

求这16只元件的寿命总和大于1920小时的概率，（注:

①（0.8）=0.78817）。

2.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m,现从中随机取出100根,问其中至少有这30根短于3m的概率。

（①（2.5）=0.9938）。

3.一复杂系统由n个相互独立作用的部件组成。

每个部件的可靠性为0.9且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作。

问n至少为多在才能使系统的可靠性不低于

0.95?

，随

4•某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望卩，方差62=400。

为了估计卩

机地取n只这种器件，在时刻大于t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失散，测得

其寿命为Xi,X2,…Xn以XXi,作为卩的估计，为了使P{X-片<1}>0.95。

至少为多少?

10

5.设Xi,X2，…Xi0为N（0,0.32）设一个样本，求P{SXi2》1.44}

2

6.已知X~t（n）求证X2~F（1,n）

7.设总体X〜b（1,P）Xi,X2,…Xn是来自X的样本

n

（1）求SXi的分布律

（2）求（X1,X2,…Xn）的联合分布律

id：

⑶求E（X）,D（X）,E（S2）

8.设在总体N（Hcr2）中抽取容量,

16的样本。

（1）求P{S2/CT2<2.041}

（2）求D（S2）

第七章参数估计

、选择题（以下各题选项中只有一个正确）

1.设总体X的均值

u及方差b都存在。

且有

^2》0，但U,b2均未知。

X1,X2，…Xn

是来自X的样本，那么

2

U,cr的矩估计值是（

（A）

X,—送（Xi—X）2ny

（B）

n

2（Xi-X）

i二

（C）

X,-S

ny

（Xi2

-X2）

（D）

-nX）

1n

X,-Z（Xi2

ny

的一个样本，那么参数p的最大的然估计

值是

（A）X

（B）S2

（C）nX

1-

（D）-X

n

3.下列命题中不正确的是

（A）

样本均值

X是总体均值

（

u的无偏估计

（B）

样本方差

（Xj-X）2是总体方差b2的无偏估计

（C）

（Xi—X）2

是b2的无偏估计

（D）

1n

k阶样本矩Ak=-Z

ni#

_k

—k

Xi是k阶总体矩uk=E（X）的无偏估计

4.设已给X1,X2"■Xn是总体N（u,b2）的样本，X,S2分别是样本均值和样本方差,

当b2未知时，量倍水平为1-X的量倍区间是

（A）（X±〒Zx）

Jn

_c

（B）（X土一Zx）

n2

c2

（C）（X土——Zx）

n2

_C

（D）（X±〒Zx）Qn2

5.X1,X2/-Xn是总体

n

22

X的一个样本。

E（X）=u,D（X）=cr2当^（XF-Xj）2

iz4

是b2的无偏估计时

c的值是（

1

（A）-

n

1

（B）——

n—1

1

（C）

2（n—1）

n

（D）——

n—1

二、填空题:

1、在X~兀仏）的条件下

p{X

=0｝的最大似然估计值是

2.Xi,X2，…Xn为总体

N（u^2）的一个样本。

X,s2分别是样本均值和样本方差,

当CT2未知时，u的置信水平是

1-a的量倍区间是

3.连续型随机变量X的密度函数MxJcZ）

XACc

廿宀中日的矩估计量是

其匕

2

D（X）=cr2当

4.X1,X2"-Xn是总体X的一个样本，E（X）=u,

_2

—22

c=

时X-cS是u的无偏估计

2.设x1,x2/-Xn为总体的一个样本，x1,x2/-Xn为相应的样本值。

若总体密度函数

0€xV1

其它一求日的矩估计量和