第5讲 函数提高班.docx

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第5讲函数提高班

第5讲函数

知识点1常量与变量

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.

注意：

字母可以表示数，但不一定是变量.

【典例】

1.我国是一个严重缺水的国家，我们都应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.5毫升．小燕子同学在洗手时，没有拧紧水龙头，当小燕子离开x（时）后水龙头滴了y（毫升）水．在这段文字中涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量？

【方法总结】

方法：

关系式中出现π时，则π一定是常量.

【随堂练习】

1．（2018春•凤翔县期中）下列说法中正确的是（　　）

A．用图象表示变量之间关系时，用水平方向上的点表示自变量

B．用图象表示变量之间关系时，用纵轴上的点表示因变量

C．用图象表示变量之间关系时，用竖直方向上的点表示自变量

D．用图象表示变量之间关系时，用横轴上的点表示因变量

2．（2018春•沂源县期末）世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x（单位：

千瓦时）时，收取电费为y（单位：

元）．在这个问题中，下列说法中正确的是（　　）

A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量

B．y是自变量，x是因变量

C．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量

D．x是自变量，y是因变量

知识点2函数的相关概念

1.函数：

在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数.

2.函数值：

在一个函数中，如果当x=a时y=b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值.

3.解析式：

用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数解析式.

4.函数自变量的取值范围

确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.

【典例】

1.某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中__________是自变量，_______________是因变量．

2.下列四个图象中，y是关于x的函数的是____________.

3.判断下列选项中的变量y是否为x的函数？

①y=2x；

②y=2x2；

③y2=2x；

④y=2|x|；

⑤|y|=2x．

【方法总结】

1.确定自变量和因变量的方法：

①自变量是先发生变化的量，因变量是后发生变化的量；

②自变量是一个主动发生变化的量，因变量是一个被动变化的量；

③自变量是因，因变量是果.

2.确定关系式或图象为函数的方法：

对于所有自变量x的取值，y都有唯一确定的值和它对应.

【随堂练习】

4.求下列函数自变量x的取值范围．

（1）y=﹣x2﹣5x+6；

（2）y=

；

（3）y=

．

5.著名的狄利克雷（DcicHer）函数是这样定义的：

y=

.

（1）这个函数的自变量与因变量分别是什么？

（2）这个函数的自变量的取值范围和函数值的取值范围分别是什么？

（3）请分别写出当x═1，

，6.4，3.1415时的函数值．

【方法总结】

求函数关系式自变量的取值范围一般从三个方面考虑：

①当函数解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数；

④当函数解析式是上面各式的综合时，先分别求自变量的取值范围，再取公共部分.

【随堂练习】

1．（2018春•邻水县期末）如图所示能表示y是x的函数是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（2018•牡丹江二模）函数y=

，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞1B．x≥1且x≠﹣2

C．x≥1D．x≠﹣2

3．（2017秋•沙坪坝区校级期末）函数y=

的自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣3B．x≠﹣3C．x≥﹣3D．x＞﹣3且x≠0

知识点3函数的表示方法

①函数的表示方法——图象法

1.函数图象

对于一个函数，如果把自变量x与函数的每对对应值y分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

注：

①以满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；

②函数图象上点的坐标满足函数解析式.

2.画函数图象的步骤：

①列表（表中随机取出一些自变量的值及其对应的函数值）；

②描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表中数值对应的各点）；

③连线（按横坐标由小到大的顺序把描出的各点用平滑的曲线连接起来）.

3.用图象法表示函数的优缺点

优点：

直观的反应两个变量之间的关系，形象的反应函数的一些性质及变化趋势.

缺点：

由图象所得到的有关数据和数量关系不准确.

【典例】

1.小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．

（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？

（2）结合图象回答：

①当t=0.7s时，h的值是多少？

并说明它的实际意义．

②秋千摆动第一个来回需多少时间？

2.一天，王亮同学从家里跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到某书店去买书，然后散步走回家如图反映的是在这一过程中，王亮同学离家的距离s（千米）与离家的时间t（分）之间的关系，请根据图象解答下列问题：

（1）体育馆离家的距离为________千米，书店离家的距离为________千米；王亮同学在书店待了________分钟．

（2）分别求王亮同学从体育馆走到书店的平均速度和从书店出来散步回家的平均速度．

【方法总结】

在图象中确定变量之间关系时需要注意：

①关键点.注意图象的最高点、最低点、转折点等，并弄清这些点所表示的意义；

②变量.看图象时分清自变量和因变量，不要弄混.

②函数的表示方法——列表法

列表法的优缺点：

优点：

可以直接找到函数值.

缺点：

只能列出部分自变量与函数的对应值，总结出的规律不一定可靠.

【典例】

1.父亲告诉小明：

“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了下面的表格．

根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答．

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？

哪个是自变量？

哪个是因变量？

（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？

（3）你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？

（4）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？

【方法总结】

方法：

当题目所给表格中没有问题所给自变量对应的函数值时，就需要自己总结规律，按规律求出自变量对应的函数值.常见的规律有：

①等幅度增长（减小）；②成倍数增长（减小）.

③函数的表示方法——解析式法

解析式法表示函数的优缺点

优点：

简单准确的反应两个变量之间的关系.

缺点：

不能形象直观的反应函数关系的变化趋势.有些函数关系不能用解析式表示.

【典例】

1.将长为40cm，宽为15cm的长方形白纸，按图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为5cm．

（1）根据图，将表格补充完整．

（2）设x张白纸粘合后的总长度为ycm，求y与x之间的函数解析式.

（3）你认为粘合起来白纸的总长度可能为2017cm吗？

为什么？

【方法总结】

常见的求函数解析式的3种方式：

①根据表格中所列的数据，归纳总结两个变量的函数解析式；

②利用公式写出两个变量之间的函数解析式，比如各类几何图形的周长、面积、体积公式等；

③结合实际问题写出两个变量之间的函数解析式，比如销量×（售价-进价）=利润等.

【随堂练习】

1．（2017春•紫金县校级月考）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系：

x/kg

0

1

2

3

4

5

y/cm

10

10.5

11

11.5

12

12.5

则所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为____cm．

2．（2017春•市南区期中）声音在空气中的传播速度y（米/秒）（简称音速）随气温x（℃）的变化而变化．下表列出了一组不同气温时的音速．

气温x/℃

0

5

10

15

20

音速y/（米/秒）

331

334

337

340

343

估计气温为35℃时音速是____米/秒．

综合运用

1．（2018春•丹东期末）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（　　）

A．太阳光强弱B．水的温度C．所晒时间D．热水器

2．（2018春•永登县期中）生活中太阳能热水器已进入千家万户，你知道吗，在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（　　）

A．水的温度B．太阳光强弱C．所晒时间D．热水器

3．李明准备租用一辆出租车搞个体营运，现有甲乙两家出租车公司可以和他签订合同，设汽车每月行驶x千米，应付给甲公司的月租费y1元，应付给乙公司的月租费是y2元，y1、y2与x之间的函数关系的图象如图所示，请根据图象回答下列问题：

（1）每月行驶的路程在多少时，租甲，乙两家公司的费用相同？

（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租甲公司的车合算？

（3）若李明估计每月行驶的路程为2300千米时，租哪家合算？

4．如图表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系，骑车者9时离开家，15时到家，根据图象回答问题：

（1）到达离家最远的地方是什么时间？

离家多远？

（2）第一次休息时离家多远？

（3）返回时的平均速度是多少？

5．哥哥与弟弟两个人跑步，哥哥让弟弟先跑，如图所示的是两个人之间的距离y与时间x之间的函数图象，根据图中信息回答下列问题．

（1）哥哥让弟弟先跑多少秒？

哥哥出发几秒后追上了弟弟？

（2）哥哥与弟弟的速度分别是多少？

6．（2018秋•宁阳县期中）根据科学研究表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x（kg）间有下表的关系：

下列说法不正确的是（　　）

x/kg

0

1

2

3

4

5

y/cm

20

20.5

21

21.5

22

22.5

A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量

B．弹簧不挂重物时的长度为0cm

C．随着所挂物体的重量增加，弹簧长度逐渐变长

D．所挂物体的重量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm

7．（2018春•禅城区期末）变量x与y之间的关系式y=

x2﹣2，当自变量x=2时，因变量y的值是（　　）

A．﹣2B．﹣1C．0D．1

8．（2017春•海南区校级期中）校园里栽下一棵小树高1.8米，以后每年长0.3米，则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式_____．其中变量是____、　____，常量是____．