平面向量的坐标运算ppt.ppt

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1、平面向量的坐标表示与平面向量基、平面向量的坐标表示与平面向量基本定理的关系。

本定理的关系。

2、平面向量的坐标是如何定义的？

、平面向量的坐标是如何定义的？

3、平面向量的坐标运算有何特点？

、平面向量的坐标运算有何特点？

类似地，由平面向量的基本定理，对于平面上的类似地，由平面向量的基本定理，对于平面上的任意向量任意向量，均可以分解为不共线的两个向量，均可以分解为不共线的两个向量和和使得使得在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量叫做把向量正交分解正交分解。

我们知道，在平面直角坐标系，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？

每一个向量，如何表示？

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。

基底时，会为我们研究问题带来方便。

ayjiO图1x（1，0）（0，1）（0，0）我们把（我们把（x,y）x,y）叫做向量叫做向量aa的的（直角）坐标，记作（直角）坐标，记作a=（xa=（x，y）,y）,其中其中xx叫做叫做aa在在xx轴上的坐标，轴上的坐标，yy叫做叫做aa在在yy轴上的坐标，（轴上的坐标，（xx,y,y）叫做）叫做向量的坐标表示。

向量的坐标表示。

a=xi+yjxiyjayjiO图1xxiyj平移以后，向量坐标不会改变。

平移以后，向量坐标不会改变。

yxOyxjA（x,y）a如图，在直角坐标平面内，以原如图，在直角坐标平面内，以原点点O为起点作为起点作OA=a，则点，则点A的位的位置由置由a唯一确定。

唯一确定。

设设OA=xi+yj，则向量，则向量OA的坐标的坐标（x,y）就是点就是点A的坐标；反过来，的坐标；反过来，点点A的坐标（的坐标（x,y）也就是向量也就是向量OA的坐标。

因此，在平面直角坐标的坐标。

因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。

一对实数唯一表示。

i向量向量一一对应一一对应有序实数对有序实数对已知已知，你能得出你能得出，的坐标吗？

的坐标吗？

123415234xxyy5012341234o问题：

问题：

若若已知已知=（1，3），=（5，1），），ab如何求如何求+，的坐标呢？

的坐标呢？

abababC（6，4）=（x1x2，y1y2）ba（x1，y1）（x2，y2）ba=（x1+y1）+（x2+y2）=（x1+x2）+（y1+y2）猜想：

猜想：

=（x1x2，y1y2）ba证明：

证明：

=（x1,）+（,y2）=（x1+y1）+（x2+y2）这就是说，两个向量和与差的坐标分别等这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

于这两个向量相应坐标的和与差。

已知，已知，a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则，则a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）=（x1+x2）i+（y1+y2）j即即a+b=（x1+x2,y1+y2）同理可得同理可得a-b=（x1-x2,y1-y2）探究探究：

若若已知已知点点A、B的坐标分别为的坐标分别为（1，3），（4，2），如何求），如何求的坐标呢？

的坐标呢？

AB12341返回返回5234xxyy5012341234o（3,1）的坐标可能为的坐标可能为（x2x1,y2y1）ABB（4，2）A（1，3）（x1，y1）（x2，y2）（x1，y1）（x2，y2）ABABOAOAOBOB（x（x22xx11,y,y22yy11）（x（x22,y,y22）（x（x11,y,y11）结论：

结论：

一个向量的坐标等于表示此向量的有一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的向线段的终点的坐标终点的坐标减去减去始点的坐标始点的坐标练习：

已知表示向量练习：

已知表示向量a的有向线段始点的有向线段始点A的的坐标，求它的终点坐标，求它的终点B的坐标的坐标.

（1）a=（-2,1）,A（0,0）;

（2）a=（1,3）,A（-1,5）;（3）a=（-2,-5）,A（3,7）.已知a=（x,y）和实数，那么a=（x,y）即a=（x,y）l这就是说，实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应坐标。

平面向量的坐标运算法则重点重点例例1.已知已知a（2，1），），b（3，4），），求求a+b，ab，3a+4b解：

解：

a+b=（2,1）+（-3,4）=（2-3,1+4）=（-1,5）a-b=（2,1）-（-3,4）=（2+3,1-4）=（5,-3）3a+4b=3（2,1）+4（-3,4）=（32,31）+（4（-3）,44）=（6,3）+（-12,16）=（-6,19）已知三个力已知三个力（3,4）,（2,5）,（x,y）的合力的合力+=求求的坐的坐标。

解：

由解：

由题设+=得：

得：

（3,4）+（2,5）+（x,y）=（0,0）即：

即：

（5,1）练习：

练习：

拓展练习拓展练习练练习习：

（20092009辽辽宁宁文文，1313）在在平平面面直直角角坐坐标标系系xOyxOy中中，四四边边形形ABCDABCD的的边边ABABDCDC，ADADBCBC.已已知知AA（-2-2，00）,BB（66，88），），CC（88，66），则），则DD点的坐标为点的坐标为.解析解析设设DD点的坐标为（点的坐标为（xx,yy）,由题意知由题意知,即（即（22，-2-2）=（=（xx+2,+2,yy），所以，所以xx=0,=0,yy=-2,=-2,DD（0,-2）.（0,-2）.（0,-2）（0,-2）12345xy5012341122345CCAABBDD66例例3.3.已知已知ABCDABCD的三个顶点的三个顶点AA、BB、CC的坐的坐标分别为标分别为（22，11）、（11，33）、（33，44），求顶点求顶点DD的坐标。

的坐标。

ABCDxyO解：

设点解：

设点D的坐标为（的坐标为（x,y）解得解得x=2,y=2所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）已知已知ABCDABCD的三个顶点的三个顶点AA、BB、CC的坐的坐标分别为标分别为（22，11）、（11，33）、（33，44），求顶点求顶点DD的坐标。

的坐标。

例3.OyxABCD解法2：

顶点顶点DD的坐标为（的坐标为（2,22,2）变式：

已知平面上三点的坐标分别为变式：

已知平面上三点的坐标分别为A（2,1）,B（1,3）,C（3,4），求点求点D的坐标使这四的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。

点构成平行四边形四个顶点。

OyxABC解：

解：

当平行四边形为当平行四边形为ADCB时，时，由由得得D1=（2,2）当平行四当平行四边形形为ACDB时，得得D2=（4,6）D1D2当平行四边形为当平行四边形为DACB时，时，得得D3=（6,0）D3规范答题：

规范答题：

例例4.4.（1212分分）平平面面内内给给定定三三个个向向量量aa=（3,2）,=（3,2）,bb=（-1,2）,（-1,2）,cc=（4,1）.=（4,1）.回答下列问题：

回答下列问题：

（11）若（）若（aa+kkcc）（2（2bb-aa），求实数，求实数kk;

（2）

（2）设设dd=（=（xx,yy）满满足足（dd-cc）（）（aa+bb）且且|dd-cc|=1,|=1,求求dd.（11）由由两两向向量量平平行行及及两两向向量量平平行行的的条条件件得得出出关关于于kk的的方方程程，从而求出实数从而求出实数kk的值的值.（22）由由两两向向量量平平行行及及|dd-cc|=1|=1得得出出关关于于xx,yy的的两两个个方方程程，解解方程组即可得出方程组即可得出xx,yy的值，从而求出的值，从而求出dd.解解（11）（aa+kkcc）（22bb-aa），），又又aa+kkcc=（3+4=（3+4kk,2+,2+kk）,2）,2bb-aa=（-5,2）,=（-5,2）,22分分22（3+4（3+4kk）-（-5）-（-5）（2+（2+kk）=0,）=0,44分分kk=-.=-.66分分（22）dd-cc=（=（xx-4,-4,yy-1）,-1）,aa+bb=（2,4）,=（2,4）,又又（dd-cc）（）（aa+bb）且且|dd-cc|=1,|=1,4（4（xx-4）-2（-4）-2（yy-1）=0-1）=0（xx-4）-4）22+（+（yy-1）-1）22=1,=1,88分分解题示范解题示范1212分分向量平行的坐标公式实质是把向量问题转向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题化为实数的运算问题.通过坐标公式建立参数的方通过坐标公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程思想在向量中的应用思想在向量中的应用.探究提高探究提高解得解得1010分分知能迁移知能迁移已知点已知点OO（00，00），），AA（11，22），），BB（44，55）且）且（11）求点）求点PP在第二象限时，实数在第二象限时，实数tt的取值范围；的取值范围；（22）四边形）四边形OABPOABP能否为平行四边形？

若能，求出能否为平行四边形？

若能，求出相应的实数相应的实数tt;若不能，请说明理由若不能，请说明理由.解解OO（00，00），），AA（11，22），），BB（44，55），），=（11，22），），=（4-14-1，5-25-2）=（33，33）.（11）设）设PP（xx，yy），则），则=（xx，yy），若点），若点PP在第二在第二象限，象限，xx00yy00则则且且（xx,yy）=（1,2）+）=（1,2）+tt（3,3）,（3,3）,xx=1+3=1+3tt1+31+3tt00yy=2+3=2+3tt2+32+3tt0,0,（22）因因为为=（11，22），（3-33-3tt，3-3-33tt），），若四边形若四边形OABPOABP为平行四边形，则为平行四边形，则3-33-3tt=1=13-33-3tt=2,=2,无解，无解，四边形四边形OABPOABP不可能为平行四边形不可能为平行四边形.,总结提高：

总结提高：

（11）要要加加强强对对向向量量的的坐坐标标与与该该向向量量起起点点、终终点点的的关关系系的的理理解解，以以及及对对坐坐标标运算的灵活应用运算的灵活应用.（22）向向量量的的坐坐标标运运算算是是向向量量运运算算的的数数量量表表达达形形式式，更更能能利利用用代代数数知知识识解解决决，也是向量被广泛应用的基础也是向量被广泛应用的基础.小结回顾小结回顾1.1.平面向量坐标的加平面向量坐标的加.减运算法则减运算法则=（x1,y1）+（x2,y2）=（x1+x2,y1+y2）=（x1,y1）-（x2,y2）=（x1-x2,y1-y2）2.2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则3.3.平面向量坐标平面向量坐标若若A（x1,y1）,B（x2,y2）则则=（x2-x1,y2y1）=（x1,y1）+（x2,y2）=（x1+x2,y1+y2）4.引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中。

5.要把点坐标（x,y）与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。

作业：

作业：

课本习题课本习题2-4A组组2,3题题谢谢听课谢谢听课基础自测基础自测一、