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齐河县学习简报第五期

2011山东省小学教师第三批远程研修

第5期

主办：

山东省齐河县小学数学课程团队

主编：

贾延坤王娥潘莹潘彩王娟

2011年11月12日

感谢研修

感谢研修！

是它开辟了一条普通教师与全国知名教育专家，紧密接触的通道。

我可以随时聆听专家的讲座，领略专家科学的教育理论和先进的教学方法，耳目一新，百听不厌，从根本上转变了教育观念。

在工作中，使我能够再遇到与讲座中类似的、或其它棘手的问题时，学会理性的思考和冷静地处理方式。

　　感谢研修！

是它为学员搭建了广阔的交流平台。

真是“一桥飞架南北，天堑变通途”！

网上研修，一下子缩短了地域之间的距离，改变了时空之间的连线，我可以十分便捷地在网上学习、交流，和众多的学友虽不“面对面”却已“心连心”，真可谓为是，妙不可言，乐在其中！

　感谢研修！

它像一架云梯，让我能不断的向上攀登。

看到有那么多的学员文笔流畅，才思敏捷，学识渊博，真的让我羡慕不已，顿觉“山外青山楼外楼”，“强中自有强中手”，仿佛又回到了学生时代，充满了孜孜以求的激情；仿佛打了一剂强心剂，开启了自身向上不断攀登的动力，变“要我学”为“我要学”。

作为一名教师要求学生勤奋好学，自己首先要做到学无止境，要求学生动口、动手、动脑，自己也要边学、边思，不浅尝辄止，不固步自封，勇于探索，学有所获！

　　感谢付出智慧和辛苦的教育专家和同行们，让我从你们精彩评论和提交的一份份的班级作业和班级交流中，体会到了作为一名教育工作者具有的无限人生，无限的风景！

感悟数学思想，积累数学活动经验

----从《课标》的三个案例说起

吴正宪

盼望已久的《义务教育数学课程标准》（以下简称<课标>）终于和大家见面了。

我作为基层教师代表参与了教育部关于《课标》的审定工作。

在这里不仅有了静心再读、再品、再思考的空间，更是拥有了与数学教育大家对话、交流、研讨的平台。

反复研读讨论，感想多多……由于篇幅的限制，本文仅以“感悟数学思想，积累数学活动经验”的角度,从三个案例说起。

《课标》修订中在继承我国数学教育注重“双基”传统的同时，突出了培养学生创新精神和实践能力，提出了使学生理解和掌握“基本的数学思想和方法”，获得“基本的数学活动经验”。

在强调发展学生分析和解决问题能力的基础之上，增加了发现和提出问题能力的课程目标。

我赞成这样的补充。

数学思想方法是学生认识事物、学习数学的基本依据，是学生数学素养的核心。

数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学学习的灵魂。

数学思想方法是伴随学生知识、思维的发展逐渐被理解的，数学思想方法的感悟是在学生数学活动中积累的。

教学中渗透数学思想方法可以使学生自觉地将数学知识转化为数学能力，最终通过自身的学习转化为创造能力。

这对于学习数学、发展能力、开发智力、培养创新能力都是至关重要的。

如何帮助学生在数学学习中感悟数学思想，积累数学活动经验呢？

我们从《课标》中新增加的三个案例的讨论说起。

案例

（一）

图中每个小方格为1个面积单位，试估计曲线所围成的

面积。

如图一:

（图一）

教师们对此题目并不陌生，，解决这个问题通常的做法是数方格。

先数一数有多少个整格，再数一数有几个半格，把不满整格的进行整合,最后累加起来,用此方法估计不规则图形的面积。

这是我们常用的方法。

在这次审定课标的讨论中，张恭庆院士的发言对我颇有启发。

他认为这样处理没能体现估算的价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻的内涵。

在张恭庆院士的建议下，我们进行了讨论，课标修改组对此也作了认真修改，以充分体现该题的数学教育价值。

教学时教师可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形的面积。

例如，教学中教师可以启发学生首先观察图形，边进行思考“你认为曲线所围成的面积结果可能会在那个范围之间呢？

你能用已有的经验来解决这个问题吗？

”教师可以引导学生试一试。

首先选择好用来估计的“单位”即：

以图形中的一个小方格为一个单位。

再找出曲线围成图形面积的上界和下界。

学生可以这样操作，先数出曲线围成图形内包含的完整小方格数，用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的下界（有75个这样的单位）；然后再数出曲线围成图形边缘接触到的所有的小方格数，也用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的上界（有113个这样的单位）。

进一步引导学生发现，第一种方法估计的比实际面积小，第二种方法估计的比实际面积大，实际的面积是在这两个数之间。

由此确定曲线围成图形面积可能的取值范围。

如图二：

（图二）

在此基础上教师可以鼓励引导学生用自己的方法进行估计，通过记录、计算、比较的探究过程，体会估算的意义和方法。

教师继续追问“那么还有什么方法能使估算的结果更接近实际面积的吗？

试一试！

”对学有余力的学生无疑是提出了更富有挑战性的问题。

引导学生将所有的方格等分成更小的方格，继续利用上面的经验，探索出更接近实际面积的估计值。

渗透极限思想。

如图三:

（图三）

同样的数学学习素材，截然不同的教学设计，给我们的启示是什么？

“数方格”的设计没能充分体现估算的学习价值，只是把估算当成一个操作技能——数方格（知识点）去教了，为了教估算而估算。

“寻找区间”的设计则注重学生估算意识和方法的培养。

特别是选择合适的估计“单位”是引导学生进行有效估算的关键，引导学生体验逐渐逼近的极限思想。

教学过程中教师要注重帮助学生养成事先做好规划的习惯，启发学生运用不同的方法估计图形的面积。

通过对上界、下界的确定，帮助学生寻求取值范围，找到合适的区间。

这个上界、下界的确定，对学生体验估算是很有意义的。

这是真正意义上估算价值的体现。

特别是通过教师引导学生将方格等分成更小的方格，使估计值更逼近准确值，从中渗透“极限”的数学思想。

这对学生的数学学习是很有意义的。

估算教学要通过在具体情境背景下的问题解决，培养学生用近似的思想解决问题，培养学生估算意识和方法，让学生多拥有一种解决问题的方法。

并在其中帮助学生感悟数学思想和方法，积累数学数活动的经验。

案例

（二）

“一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个，那么有几个椅子和几个凳子？

”

此题目老师们似乎也很熟悉，有人把它称为“鸡兔同笼”的变型。

这是在过去的奥数培训中是不可缺少的训练内容。

今天的《课标》中又增加了这样的案例，为什么？

该案例的数学教育价值何在？

面对着同样的教学内容，今天该怎样进行教学？

我们不妨将两种教学方法做一个比较。

过去教学此内容教师通常采用假设法，一开始就将自己明白的道理讲给学生，比如“我们把所有的椅子都假设成有三条腿计算时，求出来的就是四条腿的椅子数；我们再把所有的椅子都假设成有四条腿计算时，求出来的就是三条腿的凳子数；”接着一下子就把算式给出来了。

（60－16×3）÷（4－3）＝12（四条腿的椅子数）

（60×4－60）÷（4－3）＝4（三条腿的凳子数）

学生死记硬背公式，照猫画虎完成任务，没有经历公式数学化的学习过程。

这样的教学事实上正像东北师大史宁中校长所说“老师讲课不能太聪明了，老师虽然知道结果，但要引发学生思考。

教师一下子把算式给出来了，学生还探讨什么？

”在这样的课堂里学生已经没有了探索的空间。

《课标》教学建议中让学生在解决问题的过程中“感悟数学思想，积累数学活动经验”在此已经成为了一句空话！

我们一起来看看《课标》在案例的解读中给出了怎样的建议？

这样的教学又会给学生继续学习数学带来怎样的后劲儿？

教师首先引导学生在对题目理解的基础上进行观察与猜想，并进行大胆尝试，让每一位学生亲自做一做，运用尝试的方法探索规律，得出结果。

并记录计算的过程，引发新的思考。

如：

椅子数凳子数腿的总数

1604×16=64

1514×15+3×1=63

1424×14+3×2=62

启发学生观察，“每减少一个椅子就要增加一个凳子，腿的总数就要减少4-3=1。

”如果继续尝试下去会有怎样的情况发生？

学生带着观察结果，继续探究……

1334×13+3×3=61

1244×12+3×4=60

至此得到椅子数12，凳子数4时，腿数恰好为60。

通过引导学观察发现：

腿的总数为60时，需要减少的椅子数是64-60=4，于是椅子数是16-4=12，凳子数是0+4=4。

最后验证：

12×4+3×4=60，是正确的。

当然，也可以引导学生从凳子数的变化思考，即：

“每减少一个凳子就要增加一个椅子，腿的总数就要增加4-3=1。

”

教学中教师通过引导学生以常见的“四条腿的椅子、三条腿的凳子”简单背景为研究素材，通过学生的观察、猜想、实验、发现“每减少一个椅子就要增加一个凳子，腿的总数就要减少4-3=1。

”学生在尝试中不断地归纳出数学规律，抽象出数学模型，并在此基础上推广到其他同类问题的研究中。

学生在解决问题的实践中感悟数学思想，积累数学活动经验，这是培养学生数学能力的重要途径。

对于学有余力的学生，教师可以鼓励他们用字母代替椅子数与凳子数，得到计算腿的总数的数学模型。

学生经历了观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动，得出数学结论。

学生经历了数学化的学习过程，体会到从特殊到一般的数学思想归纳法。

归纳是人们认识事物的基本的思想方法，学生在数学活动中感悟数学思想方法，同时学会逐步积累利数学活动经验，为后续学习数学作好准备。

比较两个案例，您从中获得了怎样的思考？

案例（三）

图形分类

如图，桌上散落着一些扣子，请把这些扣子分类。

想一想：

应当如何确定分类的标准？

根据分类的标准可以把这些扣子分成几类？

然后具体操作，并用文字、图画或表格等方式把结果记录下来。

面对着形状不同、颜色不同的、扣眼的数量不同的众多扣子，教师应引导学生该从何做起？

如何理利用学生已有的经验进行分类？

又该如何表示记录这些分类的结果呢？

怎样渗透分类的思想？

教学中教师要注重结合具体的分类任务，设计有效的数学探究活动，使学生经历完整的分类过程。

建议教师可以先放手让学生先自己试一试，让他们在困惑中发现问题、提出问题、学会反思；再动手实践、归纳概括、形成正确的结论。

具体建议分四步完成：

1、学生自己尝试、发现问题、提出问题。

（为什么同样的扣子分的结果不一样？

引起主动反思。

）

2、讨论确定分类标准。

（让学生理解分类是要依赖分类标准的，例如，可以根据扣子的形状、扣子的颜色或者扣眼的数量制定分类的标准。

注意引导学生反思分类标准的交错造成的分类结果的重叠与遗漏，如：

蓝色的一类，方型的一类，就会有扣子既不在蓝色的一类，又不在方型的一类，而有些扣子既在蓝色的一类，也在方型的一类。

所以分类时，要按同一类的标准分。

）

3、抽象出图形共性。

（根据分类标准，引导学生实际操作，并运用文字、图画或表格等方法记录分类的结果，培养学生整理数据的能力。

）

4、组织汇报。

（学生报告分类结果，互动评价，教师引导学生回顾整理思路。

）

《课标》指出：

“分类就是一种重要的数学思想。

分类的过程就是对事物共性的抽象过程。

”学生正是在尝试问题解决的过程中，感悟这样一种分类的数学思想和方法。

在分类的过程中学生首先发现了问题“为什么同样的扣子分的结果却不一样？

”，引起主动反思，从而激起去寻求“新分类标准”的需求；然后再探索“新标准下的分类方法”。

学生经历了对“形状不同、颜色不同、扣眼数量不同”扣子的分类过程，在数学活动中体会着如何确定分类标准？

如何在分类的过程中认识对象的性质？

如何区分不同对象的不同性质？

经过实验探索不断积累活动经验，加深对分类思想与分类方法的理解。

学会分类，有助于学生分析和解决新的数学问题。

学生在学习过程中成为了积极的探索者。

总之，教师要自觉帮助学生在积极参与数学学习中，重视数学思想的渗透和数学活动经验积累。

正像史宁中校长所说：

“数学思想很重要！

我们过去的数学教育不注意思想是不行的。

老师必须在脑子里形成思想，必须在教书的过程中把应该贯穿的思想贯穿。

不然，创造性思想怎么培养？

谈创造性，思想方法一点儿没有是不行的！

”

（作者为北京市教科院基教研中心小学数学教研室主任，特级教师）

专题五作业——授人以鱼不如授人以渔

齐河县第四实验小学陈芹2011年11月10日21:

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指导教师贾延坤于11-11-1111:

33推荐分析很到位，理解深刻。

祝愿你做一名“授人以渔”的教师，给孩子的思维插上腾飞的翅膀。

省专家张燕于11-11-1112:

54推荐你将所学知识与自己的教学实际结合起来，学以致用，在学中反思，在反思中学，有效提高自己的专业素质。

数学活动经验是联系基础知识、基本技能和基本数学思想之间的桥梁。

它的积累过程是学生主动探索的过程。

学生接受新知是建立在已有的知识经验之上，在教师引导下，在学生个人和小组的主动探索、合作交流中获得知识经验的提升。

本次专题的系统学习活动中，我认真观看了郑旭老师执教的《比较图形的面积》这节课，数学教师如何在学生已有经验的基础上帮助学生积累数学活动经验，放飞学生的思维，郑老师为我们做出了榜样。

一、“自主探索”过程中积累数学活动经验

数学教学中，培养思维能力是培养能力的核心，这要求教师要加强开放式问题的教学，提倡探究式学习，强化合情推理的训练，为学生提供自由想象、自由发挥、自主探索的时间和空间，激发学生思考，使数学学习成为再发现、再创造的过程。

例如郑老师讲到“脑数”的方法时：

师：

图1和图3面积相等，还有别的数格子的方法吗？

生：

用脑子数。

师：

用脑子来数，用脑子怎么数？

你来介绍一下。

学生介绍脑数的方法：

通过把图3变成一个正方形，然后正方形的一半格子数就是图3的格子数。

然后教师渗透了在几何中添加“辅助线”方法。

然后又让学生应用实践这样的方法来求图2占的格子数。

通过让学生经历这一主动探索的过程，即放手学生，然后从学生的一个发现引入，到最后变成全班同学共享的一个经验，这也正是帮助学生积累了一个很好的数学活动经验。

事实证明，学生在后面的学习中也应用到了这个经验，是一种转角的爱。

二、“合作交流”过程中积累数学活动经验

合作交流”是学生学习数学的重要方式之一，要让学生在解决问题的过程中“学会与他人合作”，并能“与他人交流思维的过程和结果”，在合作交流过程中积累数学活动经验。

如果让每个学生都经历活动的全过程，在有限的40分钟的课堂时间内，显然是不现实的。

因此，可以以小组的形式开展活动，活动中，组员们分工合作，共同实践，互相启发，定会积累不少有效开展活动的经验。

如在寻找面积相等的图形是，学生交流看一看哪些是自己已经找出来的，哪些同学找的图形和自己是不同的。

正如有一千个读者就有一千个哈姆雷特，学生在感知水平及思维能力上存在着差异，所以，即便是同一活动，不同的个体所获得的基本活动经验也会有所不同。

交流使得学生的思维产生碰撞，并使其在碰撞中不断改造自己的经验，完善自己的经验体系，提升思维水平。

在日常的教学工作中，我也曾注重让学生积累，如我们现在正在学习的简易方程信息窗3：

预计到2010年，全国最大的东北虎繁育基地的东北虎数量将达到1000多只，比2003年的3倍还多100只，2003年繁育基地有多少只东北虎？

如果让学生用算术法解，可能学生还能做个大概，但如果让用方程解，看孩子们一脸茫然，有种“老虎吃天，无从下口。

”的感觉，为此我注重放手孩子，让孩子在合作探究中理解，积累如何找准这种问题突破口的经验，即先理清他们之间的等量关系：

2010年的东北虎只数-2003年的东北虎只数X2=100，而,2010年东北虎的只数是已知的，从而设2003年东北虎的只数为X，进而列出方程1000-3X=100，进而解答，“授人以鱼”，不如“授人以渔”，不正是讲这样的一个道理吗？

作为一名数学教师，我非常佩服郑老师，她不仅做到了：

“授人以鱼不如授人以渔”，而且对这句话做了深刻的诠释，在今后的教学中我也要做一名“授人以渔”的教师，给孩子的思维插上腾飞的翅膀。

3个“5分钟”的精彩

齐河县第四实验小学顾云香2011年11月10日21:

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