高数大纲.docx
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高数大纲
《高等数学》教学大纲
适用专业：
课程性质：
必修
学时数：
136学分数：
10
开课学期：
第一、二学期大纲执笔人：
姜文英
大纲审核人：
周香孔
一、课程的性质和教学目标
高等数学是工科高等学校教学计划中各专业的一门必修的重要的基础理论课。
通过这门课程的学习，使学生系统地获得微积分、向量代数与空间解析几何、级数及常微分方程的基础理论知识.掌握必要的基础理论和常用的计算方法等，使学生初步受到用数学方法解决几何和物理等实际问题的能力训练。
通过各个教学环节,逐步地培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识的能力，要求学生对基本概念叙述要准确，理解要完整，对基本定理要正确理解并能应用，对基本运算要求熟练、迅速、准确。
为学习后继课程及进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。
二、课程教学内容
第一章函数与极限（14学时）
1、课程内容
第一节映射与函数
第二节数列的极限
第三节函数的极限
第四节无穷大与无穷小
第五节极限运算法则
第六节极限存在准则两个重要极限
第七节无穷小的比较
第八节函数的连续性与间断点
第九节连续函数的运算与初等函数的连续性
第一十节闭区间上连续函数的性质
2、重点、难点
⑴教学重点：
极限的求法
⑵教学难点：
极限的概念、极限的求法、连续的概念
3、基本要求
⑴理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
⑵了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
会建立简单函数关系式。
掌握基本初等函数的性质和图形。
理解极限的概念（对极限的
，
定义中给出
求
或
不作过高的要求），理解分段函数的极限。
掌握极限四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则），并会利用它们求极限。
理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。
了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。
第二章导数与微分（14学时）
1、课程内容
第一节导数概念
第二节函数的求导法则
第三节高阶导数
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
第五节函数的微分
2、重点、难点
⑴教学重点：
初等函数、隐函数、参数方程所确定的函数的求导方法.
⑵教学难点：
复合函数的求导方法
3、基本要求
⑴ 理解导数的概念，几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，理解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量。
⑵掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法，掌握基本初等函数的导数公式及初等函数的导数的求法。
了解高阶导数的概念，会求简单初等函数的
阶导数，会求隐函数和参数方程所确定的函数的一、二阶导数。
理解微分的概念，了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性求微分。
了解微分在近似计算中的应用。
理解可导与连续，可导与可微的关系。
第三章微分中值定理与导数的应用（12学时）
1、课程内容
第一节微分中值定理
第二节洛必达法则
第三节泰勒公式
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
第五节函数的极值与最大值最小值
第六节函数图形的描绘
第七节曲率
第八节方程的近似解
2、重点、难点
⑴教学重点：
用洛必达法则求未定式的极限的方法，用导数判断函数的单调性和求极值的方法。
⑵教学难点：
拉格朗日中值定理的应用以及函数图形的描绘
3、基本要求
⑴理解并会用罗尔、拉格朗日中值定理和泰勒公式，了解并会用柯西中值定理。
⑵掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法。
掌握求函数最值的方法及其简单应用。
会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的渐近线，并会描绘函数的图形。
第四章不定积分（16学时）
1、课程内容
第一节不定积分的概念与性质
第二节换元积分法
第三节分部积分法
第四节有理函数的积分
第五节积分表的使用
2、重点、难点
⑴教学重点：
不定积分概念与计算
⑵教学难点：
不定积分的计算方法
3、基本要求
⑴理解原函数与不定积分的概念及性质。
⑵掌握不定积分的基本积分公式、换元积分法和分部积分法。
会求简单的有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分
第五章定积分（12学时）
1、课程内容
第一节定积分的概念与性质
第二节微积分基本公式
第三节定积分的换元法和分部积分法
第四节反常积分
2、重点、难点
⑴教学重点：
牛顿-莱布尼兹公式及定积分的换元积分法
⑵教学难点：
定积分的计算方法.
3、基本要求
⑴理解定积分的概念。
⑵掌握定积分的性质及其与不定积分的联系，掌握换元积分法，分部积分法和牛顿-莱布尼兹公式。
理解由变上限的定积分所定义的函数，并会求它的导数。
会用定积分表示和计算一些简单的几何量与物理量（如面积、弧长、体积、功、重心等）。
了解定积分的近似计算。
了解无穷限反常积分和无界函数反常积分的概念，并会计算这两种反常积分。
第六章定积分的应用（10学时）
1、课程内容
第一节定积分的元素法
第二节定积分在几何上的应用
第三节定积分在物理学上的应用
2、重点、难点
⑴教学重点：
平面图形的面积、旋转体的体积和平面曲线的弧长的求法
⑵教学难点：
“微元法”的概念及思想.
3、基本要求
⑴掌握定积分在几何上的应用（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面为已知的立体体积）。
⑵会用定积分求功、水压力、引力等一些物理量。
第七章空间解析几何与向量代数（18学时）
1、课程内容
第一节向量及其线性运算
第二节数量积向量积
第三节曲面及其方程
第四节空间曲线及其方程
第五节平面及其方程
第六节空间直线及其方程
2、重点、难点
⑴教学重点：
向量的坐标表示及运算,平面、直线方程的求法
⑵教学难点：
向量积的运算,平面、直线方程的求法
3、基本要求
⑴了解空间直角坐标系。
⑵理解向量的概念及其表示，掌握单位向量、方向角、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。
掌握向量的运算（线性运算、向量的数量积、向量的向量积）、两向量平行与垂直的条件。
掌握平面的方程（点法式、一般式、截距式）和直线的方程（对称式、一般式、参数式）及其求法，会用平面、直线的相互关系解决有关问题。
理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
了解空间曲线的参数方程和一般方程；了解它在坐标平面上的投影。
第八章多元函数微分法及其应用（16学时）
1、课程内容
第一节多元函数的基本概念
第二节偏导数
第三节全微分
第四节多元复合函数的求导法则
第五节隐函数的求导公式
第六节多元函数微分学的几何应用
第七节方向导数与梯度
第八节多元函数的极值及其求法
2、重点、难点
⑴教学重点：
多元复合函数微分法、隐函数的求导法、二元函数的极值.
⑵教学难点：
多元复合函数微分法，二元函数的条件极值
3、基本要求
⑴理解多元函数的概念、了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
⑵理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分在近似计算中的应用。
理解多元复合函数的求偏导法则，会求复合函数一阶、二阶偏导数，会求隐函数的偏导数。
了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。
理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
第九章重积分（10学时）
1、课程内容
第一节二重积分的概念与性质
第二节二重积分的计算法
第三节三重积分
第四节重积分的应用
2、重点、难点
⑴教学重点：
二重积分的计算
⑵教学难点：
二重积分的计算
3、基本要求
⑴理解二重积分的概念，了解二重积分的性质。
⑵掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。
会用二重积分求一些几何量与物理量。
了解三重积分的概念、性质及计算。
第十章曲线积分与曲面积分（12学时）
1、课程内容
第一节对弧长的曲线积分
第二节对坐标的曲线积分
第三节格林公式及其应用
第四节对面积的曲面积分
第五节对坐标的曲面积分
第六节高斯公式通量与散度
第七节斯托克斯公式环流量与旋度
2、重点、难点
⑴教学重点：
对坐标的曲线积分、格林公式及其应用
⑵教学难点：
曲线积分与路径无关的条件
3、基本要求
⑴理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
⑵掌握计算两类曲线积分的方法。
掌握格林公式，会运用平面曲线积分与路径无关的条件；会求全微分的原函数。
了解两类曲面积分的概念、性质及计算，了解高斯公式。
能用重积分、曲面积分表达一些几何与物理量。
第十一章无穷级数（18学时）
1、课程内容
第一节常数项级数的概念和性质
第二节常数项级数的审敛法
第三节幂级数
第四节函数展开成幂级数
第五节函数的幂级数展开式的应用
第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
第七节傅立叶级数
第八节一般周期函数的傅立叶级数
2、重点、难点
⑴教学重点：
正项级数的审敛法,幂级数收敛域的求法,函数的幂级数展开
⑵教学难点：
正项级数的审敛法，幂级数收敛域的求法,函数的幂级数展开
3、基本要求
⑴理解常数项级数收敛与发散的概念、收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
⑵掌握几何级数和P—级数的收敛性。
掌握正项级数的审敛法（比较法、比值法、根值法）。
会用交错级数的莱布尼兹判别法。
了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的慨念，及二者之间的关系。
了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
掌握幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域的求法。
了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
了解泰勒公式、泰勒级数，掌握
、
、
、
的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开成幂级数。
了解幂级数在近似计算中的简单应用。
了解傅里叶级数的概念及函数展开成傅里叶级数的狄利克莱定理。
能将定义在[
，
]、上函数展开为傅里叶级数、能将定义在[0，
]上函数展开为正弦级数与余弦级数。
会将广义在[-l,l]上的函数展为傅里叶级数，会将广义在[o,l]上函数展开为正弦或余弦级数，并会写出傅里叶级数的和的表达式。
了解傅里叶级数的复数形式。
第十二章微分方程（16学时）
1、课程内容
第一节微分方程的基本概念
第二节可分离变量的微分方程
第三节齐次方程
第四节一阶线性微分方程
第五节全微分方程
第六节可降阶的高阶微分方程
第七节高阶线性微分方程
第八节常系数齐次线性微分方程
第九节常系数非齐次线性微分方程
2、重点、难点
⑴教学重点：
一阶微分方程和二阶线性常系数微分方程的解法.
⑵教学难点：
判断微分方程的类型，二阶常系数非齐次线性微分方程的求法。
3、基本要求
⑴了解微分方程及解、通解、初始条件和特解等概念。
掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。
会解齐次方程，伯努利方程和全微分方程、会用简单变量代换解某些微分方程。
⑵会用降阶法解下列方程：
、
、
。
理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，会求二阶常系数非齐次线性微分方程（自由项由多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及它们的和、积构成）。
会用微分方程解一些简单的应用问题。
三、课程教学的基本要求
1、课堂讲授
本课程以课堂讲授为主，精讲多练。
在课堂教学中可适当补充难易适中的题目作为例题，开阔学生的视野，拓宽知识面。
在作业和练习方面，任课教师可以有针对性地增加一定量的附加题，题的难度略高于教材上的习题，并适当增加应用题的数量，以锻炼学生解决实际问题的能力。
根据教育发展的趋势和教学改革的要求，在本课程的教学过程中，应逐步引入现代化教学手段。
除教材外，应给学生指定相关的参考书，以拓宽学生的知识面。
建议本课程每学期中间安排一次期中考试，期末考试实行教考分离。
2、教学辅助资料
《高等数学附册（学习辅导与习题选解）》第五版，同济大学应用数学系编，高教出版社
《高等数学》陈克西季福弟主编，重庆大学出版社。
3、作业
巩固课堂讲授的理论知识和基本概念，锻炼独立分析问题和解决问题的能力。
要求学生会解每节后习题及每章后面的总习题，对学有余力的同学可以选做补充题。
四、学时分配的建议
章（或编）次
总学时数
讲授学时数
习题课、讨论课等学时数
1
14
10
4
2
14
10
4
3
12
10
2
4
16
12
4
5
12
8
4
6
10
8
2
7
18
14
4
8
16
12
4
9
10
8
2
10
12
10
2
11
18
14
4
12
16
12
4
合计
168
128
40
五、建议教材和参考书目
1、建议教材
《高等数学》第五版，同济大学应用数学系编，高教出版社.
2、参考书目
《高等数学附册（学习辅导与习题选解）》第五版，同济大学应用数学系编，高教出版社
《高等数学》陈克西季福弟主编，重庆大学出版社。
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