人教版七年级数学下《实际问题与二元一次方程组》拓展练习.docx
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人教版七年级数学下《实际问题与二元一次方程组》拓展练习
《实际问题与二元一次方程组》拓展练习
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）童威购买7块橡皮、5个作业本、1支圆珠笔共花费20元；购买10块橡皮、7个作业本、1支圆珠笔共花费26元；若购买11个橡皮、8个作业本、2支圆珠笔则要花费（ ）元．
A．31B．32C．33D．34
2．（5分）小杨在商店购买了a件甲种商品，b件乙种商品，共用213元，已知甲种商品每件5元，乙种商品每件19元，那么a+b的最大值是
（ ）
A．37B．27C．23D．20
3．（5分）小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是（ ）
A．3分钟B．4分钟C．5分钟D．6分钟
4．（5分）甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（ ）
A．甲比乙大6岁B．甲比乙大9岁
C．乙比甲大18岁D．乙比甲大34岁
5．（5分）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可做盒身25个，或做盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？
①设用x张制盒身，可得方程2×25x＝40（36﹣x）；
②设用x张制盒身，可得方程25x＝2×40（36﹣x）；
③设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组
；
④设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组
；其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．②④D．①③
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）国庆期间某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，游览结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填了调査表，且只选了一个景点），統计后发现洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上有名．其中选李子坝轻轨站的人数比选磁器口的少8人；选洪崖洞的人数不仅比选磁器口的多，且为整数倍；选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的5倍；选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人．则该旅行团共有 人．
7．（5分）如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，那么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦 公顷，3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦 公顷．
8．（5分）根据下图给出的信息可知，足球的单价为 元．
9．（5分）某长方形的周长是44，若宽的3倍比长多6，则该长方形的长等于 ．
10．（5分）某电信局现有300部已申请装机的电话等待装机．假设每天新申请装机的电话部数相同，该电信局每个电话装机小组每天装的电话部数也相同，那么安排3个装机小组，恰好30天可将需要装机的电话全部装完；如果安排5个装机小组，则恰好10天可将需要装机的电话全部装完．试求每个电话装机小组每天装机多少部？
每天有多少部新申请装机的电话？
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）如图，这是一个矩形养鸡场的平面图，一边靠墙（有阴影的直线），其余边用60米的篱笆围成．养鸡场被分割成三个面积相等的矩形区域①、②、③．且AD＞AB．若养鸡场的总面积为162平方米，求AD的长．
12．（10分）如图，为了美化校园，在长为60米，宽为32米的长方形空地中，沿着平行于长方形各边的方向，分割出三个全等的正方形和两个全等的长方形作为花圃．设小正方形的边长为a米，小长方形的长和宽分别为b米、c米．
（1）请用含有a、b、c的代数式表示AB、AD长度；
（2）若小正方形的边长恰好是小长方形的宽的2倍，试求出花圃的总面积S．
13．（10分）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员A：
月销售件数200件，月总收入3400元；
营业员B：
月销售件数300件，月总收入3700元；
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖动y元．
（1）求x、y的值；
（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：
如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？
14．（10分）阅读材料：
小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：
现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
解决问题：
（1）请按照小明的思路完成上述问题：
求每个小长方形的面积；
（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 cm；
（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：
如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．
15．（10分）运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车，运输580吨化肥，装载了10节火车车厢和20辆汽车，每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨化肥？
《实际问题与二元一次方程组》拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）童威购买7块橡皮、5个作业本、1支圆珠笔共花费20元；购买10块橡皮、7个作业本、1支圆珠笔共花费26元；若购买11个橡皮、8个作业本、2支圆珠笔则要花费（ ）元．
A．31B．32C．33D．34
【分析】首先假设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本8本，圆珠笔2支共需a元．根据题目说明列出方程组
，解方程组求出a的值，即为所求结果．
【解答】解：
设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．
则由题意得：
，
由②﹣①得3x+2y＝6④
由②+①得17x+12y+2z＝46⑤
由⑤﹣④×2﹣③得0＝46﹣12﹣a
∴a＝34
故选：
D．
【点评】此题主要考查了方程组的应用，解答此题的关键是列出方程组，用加减消元法求出方程组的解．
2．（5分）小杨在商店购买了a件甲种商品，b件乙种商品，共用213元，已知甲种商品每件5元，乙种商品每件19元，那么a+b的最大值是
（ ）
A．37B．27C．23D．20
【分析】根据题意得出关于a和b的二元一次方程，然后用b表示出a，继而用b表示出a+b，然后可以利用函数的思想得出a+b取得最值的条件，即能得出答案．
【解答】解：
由题意得，5a+19b＝213，
∴a＝
，
∴a+b＝
+b＝
，
∵a+b是关于b的一次函数且a+b随b的增大而减小，
∴当b最小时，a+b取最大值，
又∵a，b是正整数，
∴当b＝2时，a+b的最大值＝37．
故选：
A．
【点评】本题考查二元一次不定方程的应用，技巧性较强，解答本题的关键是函数思想的应用，同学们要注意掌握这种解题思想，它会在以后的解题中经常用到．
3．（5分）小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是（ ）
A．3分钟B．4分钟C．5分钟D．6分钟
【分析】设同向行驶的相邻两车的距离及车、小王的速度为未知数，等量关系为：
6×车速﹣6×小王的速度＝同向行驶的相邻两车的距离；3×车速+3×小王的速度＝同向行驶的相邻两车的距离；把相关数值代入可得同向行驶的相邻两车的距离及车的速度关系式，相除可得所求时间．
【解答】解：
设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米．
每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则6x﹣6y＝s．①
每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3x+3y＝s．②
由①，②可得s＝4x，所以
．
即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．
故选：
B．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用；根据追及问题和相遇问题得到两个等量关系是解决本题的关键；设出所需的多个未知数是解决本题的突破点．
4．（5分）甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（ ）
A．甲比乙大6岁B．甲比乙大9岁
C．乙比甲大18岁D．乙比甲大34岁
【分析】设甲现在的年龄是x岁，根据已知甲是乙现在的年龄时，乙8岁．乙是甲现在的年龄时，甲26岁，可列方程求解．
【解答】解：
甲现在的年龄是x岁，则乙现在的年龄为（2x﹣26）岁，
根据题意得：
x+8＝2（2x﹣26）
解得x＝20
2x﹣26＝14岁，
20﹣14＝6
答：
甲比乙大6岁；
故选：
A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，重点考查理解题意的能力，甲、乙年龄无论怎么变，年龄差是不变的．
5．（5分）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可做盒身25个，或做盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？
①设用x张制盒身，可得方程2×25x＝40（36﹣x）；
②设用x张制盒身，可得方程25x＝2×40（36﹣x）；
③设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组
；
④设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组
；其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．②④D．①③
【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是：
（1）盒身的个数×2＝盒底的个数；
（2）制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数＝36，再列出方程（组）即可．
【解答】解：
设用x张制盒身，可得方程2×25x＝40（36﹣x）；故①正确；②错误；
设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组
；故③正确；④错误；
故选：
D．
【点评】此题考查从实际问题中抽出二元一次方程组，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系注意运用本题中隐含的一个相等关系：
“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）国庆期间某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，游览结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填了调査表，且只选了一个景点），統计后发现洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上有名．其中选李子坝轻轨站的人数比选磁器口的少8人；选洪崖洞的人数不仅比选磁器口的多，且为整数倍；选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的5倍；选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人．则该旅行团共有 48 人．
【分析】设选李子坝轻轨站的有x人，选长江索道的有y人，选洪崖洞的有a（x+8）人，根据：
选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的5倍，选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人，列出方程组，组中两个方程相减得到二元一次方程，由于人数为正整数，得到x、y所有可能值，代入方程组中，只有满足a为整数倍的才合题意．然后计算出该团人数．
【解答】解：
设选李子坝轻轨站的有x人，选长江索道的有y人，则选磁器口的有（x+8）人，选洪崖洞的有a（x+8）人，
根据题意得：
，
②可变形为：
（a﹣1）（x+8）＝24+x﹣y③，
①+③，得2a（x+8）＝24+6x+4y，
即a＝
；
①﹣③，得x+3y＝20．
∵x、y都是正整数，
∴
或
或
或
或
或
当
、
、
、
、
时，
a＝
都不是整数，不合题意．
当
时，a＝
＝
＝3．
∴选李子坝轻轨站的有2人，选长江索道的有6人，选磁器口的有10人，选洪崖洞的有30人，
由于每名游客都填了调査表，且只选了一个景点，
所以该旅行团共有2+6+10+30＝48（人）．
故答案为：
48
【点评】本题考查了二元一次方程的正整数解、二元一次方程组等知识点，题目难度较大，根据方程组得到二元一次方程，是解决本题的关键．
7．（5分）如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，那么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦 （2x+5y） 公顷，3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦 （3x+2y） 公顷．
【分析】根据代数式的表示方法，利用台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷可表示出2台大收割机和5台小收割机1小时收割的工作量和3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦的工作量．
【解答】解：
由于1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷．
根据题意得么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦（2x+5y）公顷，3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦（3x+2y）公顷．
故答案为（2x+5y），（3x+2y）．
【点评】本题考查了二元一次方程组解的应用：
找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系，再找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．然后列方程组，解方程组即可．也考查了列代数式．
8．（5分）根据下图给出的信息可知，足球的单价为 20 元．
【分析】根据题意可知，本题中的等量关系是“44元”和“26元”，列方程组求解即可．
【解答】解：
设球的单价是x元，玩具的单价是y元．
则
解得
所以足球的单价为20元．
故填20．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
9．（5分）某长方形的周长是44，若宽的3倍比长多6，则该长方形的长等于 15 ．
【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“周长是44”和“宽的3倍比长多6”，列方程组求解即可．
【解答】解：
设长方形的长为x，宽为y．
则
，
解得
．
则该长方形的长等于15．
故填15．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
10．（5分）某电信局现有300部已申请装机的电话等待装机．假设每天新申请装机的电话部数相同，该电信局每个电话装机小组每天装的电话部数也相同，那么安排3个装机小组，恰好30天可将需要装机的电话全部装完；如果安排5个装机小组，则恰好10天可将需要装机的电话全部装完．试求每个电话装机小组每天装机多少部？
每天有多少部新申请装机的电话？
【分析】设每个电话装机小组每天装机x部，每天有y部新申请装机的电话，根据题意所述的两个等量关系可得出方程组，解出即可得出答案．
【解答】解：
设每个电话装机小组每天装机x部，每天有y部新申请装机的电话，
根据题意得：
，
解得：
，
答：
每个装机小组每天装机10部，每天有20部新申请装机的电话．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，设出未知数，根据等量关系得出方程组．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）如图，这是一个矩形养鸡场的平面图，一边靠墙（有阴影的直线），其余边用60米的篱笆围成．养鸡场被分割成三个面积相等的矩形区域①、②、③．且AD＞AB．若养鸡场的总面积为162平方米，求AD的长．
【分析】设AD的长度为x，结合题意得到其它几条线段的长度，由矩形的面积公式列出方程并解答．
【解答】解：
设CE的长度为x，AD的长度为y，
依题意得：
，
解得
，
，
当
时，AB＝
（60﹣2y﹣3x）+x＝13.5，
此时AB＞AD．
∵AD＞AB，
∴
，不合题意，舍去．
答：
AD的长度为18米．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，列出方程组并解答．注意：
限制性条件AD＞AB的存在．
12．（10分）如图，为了美化校园，在长为60米，宽为32米的长方形空地中，沿着平行于长方形各边的方向，分割出三个全等的正方形和两个全等的长方形作为花圃．设小正方形的边长为a米，小长方形的长和宽分别为b米、c米．
（1）请用含有a、b、c的代数式表示AB、AD长度；
（2）若小正方形的边长恰好是小长方形的宽的2倍，试求出花圃的总面积S．
【分析】
（1）观察图形，可得出：
AB＝3a+2b，AD＝3a+2c；
（2）由AB＝60、AD＝32及a＝2c，即可得出关于a、b、c的方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：
（1）根据题意得：
AB＝3a+2b，AD＝3a+2c．
（2）根据题意得：
，
解得：
，
∴S＝3a2+2bc＝3×82+2×18×4＝336．
答：
花圃的总面积S为336平方米．
【点评】本题考查了列代数式以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：
（1）观察图形，用含a、b、c的代数式表示出AB、AD；
（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
13．（10分）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员A：
月销售件数200件，月总收入3400元；
营业员B：
月销售件数300件，月总收入3700元；
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖动y元．
（1）求x、y的值；
（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：
如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？
【分析】
（1）根据“月销售件数200件，月总收入3400元，月销售件数300件，月总收入3700元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据“购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元”，即可得出关于a、b、c的三元一次方程组，利用（①+②）÷4即可求出购买甲、乙、丙服装各一件的总费用．
【解答】解：
（1）根据题意得：
，
解得：
．
（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，
根据题意得：
，
（①+②）÷4，得：
a+b+c＝190．
答：
购买甲、乙、丙服装各一件共需190元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；
（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
14．（10分）阅读材料：
小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：
现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
解决问题：
（1）请按照小明的思路完成上述问题：
求每个小长方形的面积；
（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 20 cm；
（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：
如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．
【分析】
（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小正方形的面积；
（2）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝9，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝14．根据这两个等量关系可列出方程组；
（3）设小长方形的面积为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：
（1）设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：
，解得：
，
∴xy＝10×6＝60．
故每个小长方形的面积为60；
（2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，
则
，解得
，
则12x+y＝12×1+8＝20．
即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm．
（3）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得
，
解得
，
∴S阴影＝19×（7+3×3）﹣8×10×3＝64．
故答案为：
64．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
15．（10分）运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车，运输580吨化肥，装载了10节火车车厢和20辆汽车，每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨化肥？
【分析】设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，根据运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输580吨化肥，装载了10节火车车厢和20辆汽车，列方程组求解．
【解答】解：
设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，
由题意得，
，
解得：
．
答：
每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
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