四年级奥数周周练 第18周 计数图形二 学生版.docx

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四年级奥数周周练第18周计数图形二学生版

第18周计数图形

（二）

一、知识要点

在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来。

二、精讲精练

【例题1】数一数下图中有多少个长方形？

【思路导航】图中的AB边上有线段1＋2＋3＝6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3＝18个长方形。

数长方形可以用下面的公式：

长边上的线段×短边上的线段＝长方形的个数

练习1：

数一数，下面各图中分别有几个长方形？

【例题2】数一数，下图中有多少个正方形？

（每个小方格是边长为1的正方形）

【思路导航】图中边长为1个长度单位的正方形有3×3＝9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2＝4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1＝1个。

所以图中的正方形总数为：

1＋4＋9＝14个。

经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：

1×1＋2×2＋…＋n×n。

练习2：

数一数下列各图中分别有多少个正方形？

（每个小方格为边长是1的小正方形）

【例题3】数一数下图中有多少个正方形？

（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）

【思路导航】边长是1个长度单位的正方形有3×2＝6个，边长是2个长度单位的正方形有2×1＝2个。

所以，图中正方形的总数为：

6＋2＝8个。

经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：

mn＋（m－1）（n－1）＋（m－2）（n－2）＋…＋（m－n＋1）n。

练习3：

1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。

2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？

【例题4】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？

这些车票中有多少种不同的票价？

【思路导航】这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有10个站，共有1＋2＋3＋…＋9＝45条线段，因此要准备45种不同的车票。

由于这些车站之间的距离各不相等，因此，有多少种不同的车票，就有多少种不同的票价，所以共有45种不同的票价。

练习4：

1.从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？

2.从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？

3.从成都到南京的快车，中途要停靠7个站，有几种不同的票价？

【例题5】求下列图中线段长度的总和。

（单位：

厘米）

【思路导航】要求图中的线段长度总和，可以这样计算：

AB＋AC＋AD＋AE＋BC＋BD＋BE＋CD＋CE＋DE＝1＋（1＋4）＋（1＋4＋2）＋（1＋4＋2＋3）＋4＋（4＋2）＋（4＋2＋3）＋2＋（2＋3）＝52厘米

从上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长1厘米的基本线段（我们把不能再划分的线段称为基本线段）出现了4次，长4厘米的线段出现了（3×2）次，长2厘米的线段出现了（2×3）次，长3厘米的线段出现了（1×4）次，所以，各线段长度的总和还可以这样算：

1×4＋4×（3×2）＋2×（2×3）＋3×（1×4）＝1×（5－1）＋4×（5－2）×2＋2×（5－3）×3＋3×（5－4）×4＝52厘米

上式中的5是线段上的5个点，如果设线段上的点数为n，基本线段分别为a1、a2、…a（n－1）。

以上各线段长度的总和为L，那么L＝a1×（n－1）×1＋a2×（n－2）×2＋a3×（n－3）×3＋…＋a（n－1）×1×（n－1）。

练习5：

1.一条线段上有21个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是4厘米，所有线段长度的总和是多少？

2.求下图中所有线段的总和。

（单位：

米）

3.求下图中所有线段的总和。

（单位：

厘米）