三角形的外角公开课获奖教案.docx
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三角形的外角公开课获奖教案
7.5三角形内角和定理
第2课时三角形的外角
第一环节：
情境引入
活动内容：
在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？
下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．
活动目的：
引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。
注意事项：
教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思
考。
第二环节：
探索新知
活动内容：
①三角形的外角定义：
三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形
的外角，结合图形指明外角的特征有三：
（1）顶点在三角形的一个顶点上．
（2）一条边是三角形的一边．
（3）另一条边是三角形某条边的延长线．
②两个推论及其应用
由学生探讨三角形外角的性质：
问题1：
如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求
出∠ACD吗？
如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？
问题2：
任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？
由学生归纳得出：
推论1：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
推论2：
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
例1、已知：
∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三
个外角．
求证：
∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°
分析：
把每个外角表
示为与之不相邻的两个内角之和即得证．
证明：
（略）．
例2、已知：
D是AB上一点,E是AC上一点，BE、CD相交于F,∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：
（1）∠BDC度数；
（2）∠BFD度数．
解：
（略）．
活动目的：
通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考．
注意事项：
新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖。
第三环节：
课堂练习
活动内容：
1已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：
AD∥BC
分析：
要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE=∠B.
证明：
∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠B=
∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAE=
∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）
∴A
D∥BC（同位角相等，两直线平行）
想一想，还有没有其他的证明方法呢？
这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.
证明：
∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=
∠EAC（等式的性质）
∵
AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=
∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.
证明：
∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=
∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=
∠EAC
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∵∠B+∠BAC+∠C=180°
∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°
即：
∠B+∠DAB=180°
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
②
已知：
如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：
∠1>∠2．
证明：
∵∠1是△ABC的一个外角（已知）
∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知）
∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1>∠2（不等式的性质）
③.如图，求证：
（1）∠BDC>∠A.
（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.
如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？
［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.
证法一：
（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1>∠3.
∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）
即：
∠BDC>∠BAC.
（2）连结AD，并延长AD，如图.
则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1=∠3+∠B
∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：
∠BDC=∠B+∠C+∠BAC
证法二：
（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图.
则∠BDC是△CDE的一个外角.
∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）
∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠BDC>∠A
（不等式的性质）
（2）延长BD交AC
于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.
∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠DEC是△ABE的一个外角
∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）
活动目的：
让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习．
注意事项：
学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第2小题中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2。
第四环节：
课堂反思与小结
活动内容：
由学生自行归纳本节课所学知识：
推论1：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
推论2：
三角形的一个外角
大于任何一个和它不相邻的内角．
活动目的：
复习巩固所学知识，理清思路，培养学生的归纳概括能力．
注意事项：
学生对于
三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解。
课后练习：
课本第244页的随堂练习第1题，习题6.7题第1，2，3题。
思考题：
课本245页第4题（给学有余力的同学做）
教学反思
教学中，帮助学生找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的关键是讲清定义，分析图形，变换位置，理清思路。
本节课的教学设计力图具有以下几个特色：
（1）充分挖掘学生的潜能，展示学生的思维过程，体现“学生是学习的主人”这一主题；
（2）从特殊到一般，从不完全归纳到合情推理，展示了一个完整的思维过程；
（3）在整个教学中尽可能的避免教学的单调性，因此编排了一题多解的训练，为发散性思维创设情境，调动学生学习的极大热情。
4．4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数的表达式
1．会确定正比例函数的表达式；（重点）
2．会确定一次函数的表达式．（重点）
一、情境导入
某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗？
你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？
学习了本节的内容，你就知道了．
二、合作探究
探究点一：
确定正比例函数的表达式
求正比例函数y＝（m－4）m2－15的表达式．
解析：
本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．
解：
由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.
方法总结：
利用正比例函数的定义确定表达式：
自变量的指数为1，系数不为0.
探究点二：
确定一次函数的表达式
【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象经过（0，5）、（2，－5）两点，求一次函数的表达式．
解析：
先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过（0，5）、（2，－5）两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．
解：
设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，
∴
解得
∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.
方法总结：
“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k、b，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．
【类型二】根据图象确定一次函数的表达式
正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A（4，3），B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．
解析：
根据A（4，3）可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA的长，从而可以求出点B的坐标，根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式．
解：
设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x＋b.∵点A（4，3）是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k1，3＝4k2＋b.∴k1＝
，即正比例函数的表达式为y＝
x.∵OA＝
＝5，且OA＝2OB，∴OB＝
.∵点B在y轴的负半轴上，∴B点的坐标为（0，－
）．又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上，∴－
＝b，代入3＝4k2＋b中，得k2＝
.∴一次函数的表达式为y2＝
x－
.
方法总结：
根据图象确定一次函数的表达式的方法：
从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．
【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式
某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y（元）与数量x（千克）的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.
数量x/千克
售价y/元
1
8＋0.4
2
16＋0.8
3
24＋1.2
4
32＋1.6
5
40＋2.0
…
…
解析：
从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……
解：
由表中信息，得y＝（8＋0.4）x＝8.4x，即售价y与数量x的函数关系式为y＝8.4x.当x＝2.5时，y＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．
方法总结：
解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．
三、板书设计
确定一次函数表达式
经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．
2．2 平方根
第1课时 算术平方根
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；（重点）
2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；（重点）
3．了解算术平方根的性质．（难点）
一、情境导入
上一节课我们做过：
由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大正方形，那么有a2＝2，a＝________，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过若x2＝a，则a叫做x的平方，反过来x叫做a的什么呢？
二、合作探究
探究点一：
算术平方根的概念
【类型一】求一个数的算术平方根
求下列各数的算术平方根：
（1）64；
（2）2
；（3）0.36；（4）
.
解析：
根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．
解：
（1）∵82＝64，∴64的算术平方根是8；
（2）∵（
）2＝
＝2
，∴2
的算术平方根是
；
（3）∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；
（4）∵
＝
，又92＝81，∴
＝9，而32＝9，∴
的算术平方根是3.
方法总结：
（1）求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求
与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．
（2）求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．
【类型二】利用算术平方根的定义求值
3＋a的算术平方根是5，求a的值．
解析：
先根据算术平方根的定义，求出3＋a的值，再求a.
解：
因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22.
方法总结：
已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．
探究点二：
算术平方根的性质
【类型一】含算术平方根式子的运算
计算：
＋
－
.
解析：
首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算．
解：
＋
－
＝7＋5－15＝－3.
方法总结：
解题时容易出现如
＝
＋
的错误．
【类型二】算术平方根的非负性
已知x，y为有理数，且
＋3（y－2）2＝0，求x－y的值．
解析：
算术平方根和完全平方式都具有非负性，即
≥0，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案．
解：
由题意可得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1.
方法总结：
算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即
≥0，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.
三、板书设计
算术平方根
让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：
讲清概念，加强训练，逐步深化．
4．4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数的表达式
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