完整版小升初数学立体几何完美编辑版.docx
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完整版小升初数学立体几何完美编辑版
小升初数学拓展与提高——立体几何
例2.铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示。
问：
该油罐车的
容积是多少立方米？
（π=3.14）内容提要
板块一、基本立体图形认知
板块二、立体染色及最短线路问题
板块三、套模法、切片法及立体旋转问题
基础知识点
立体图形表面积体积
6个面的面积和
底面积高
＝
2
a
6
2aa
3
a
例3.图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形。
问这个直三棱柱的体积是多少？
6个面的面积和
底面积高
黄
＝2（abacbc）abcabc
绿
两个底面积侧面积底面积高
＝π
2
2r2hπr2h
r2πrh
π
底面积侧面积
1
3
底面积高
例4.下图是半个圆柱的表面展开图，由两个半圆和两个长方形组成，总面积是a，圆柱底面半径
是r。
用a，r和圆周率所表示的这个半圆柱的高的式子是__________________________，体
＝π
2
rπ
rl
1
π
3
2
rh
1
3
π
r
2
h
积的式子是__________________________________。
r2
4
使劲记住：
r3
4πr
使劲记住：
π
3
例1.右图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在
玻璃杯内。
当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能例5.如下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米。
立体图形的体
露出4厘米。
则这个玻璃杯的容积为________立方厘米。
（取π=3.14）（提示：
直角三角积（）立方厘米。
形中“勾6、股8、弦10）
A.2B.2.5C.3D.3.5
C
A
B
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例6.如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱（纸卷得很紧，没有空隙），它的外直例8．拓展：
一个长方体体积462立方厘米，在它的表面涂上一层油漆，然后把它切成棱长1厘
径是180厘米，内直径是50厘米。
这卷铜版纸的总长是多少米？
（π=3.14）米的正方体若干，长宽高为整数，这时三面都有油漆的正方体有86个，有二面油漆的正方体
______个．
例9.将16个相同的小正方体拼成一个体积为16立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，
则3个面涂漆的小正方体最多有_________个，最少有________个。
例7.输液100毫升，每分钟输2.5毫升。
如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：
整个吊
瓶的容积是多少毫升？
例10.如图两只小蚂蚁都在一个棱长为10的正方体A点处，现在它们要爬向C点，其中一只小蚂
蚁去探路，寻找一条沿正方体表面爬行的最短路线，并留下脚印，以便第二只小蚂蚁沿这条最短
路线也爬到C点，同学们，你们能不能帮第一只小蚂蚁找到最短路线呢，这两只小蚂蚁所走的最
短路线的乘积是多少呢？
（提示：
勾股定理）
C
【阶段总结1】1.柱体的体积：
底面积×高；锥体的体积：
1
3
×底面积×高。
A
2.根据展开图、三视图还原原立体图形的能力，立体图形、展开图对照分析能力。
3.简易立体图形的画法。
例8.右图是456正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的例11.如图一只小蚂蚁都在一个如图所示的长方体A点处，现在它要沿长方体表面爬向C点，同
小正方体各有多少块？
学们，你们能不能帮这只小蚂蚁找到最短路线呢，最短路线的长度是多少？
【阶段总结2】
1.立体染色问题，例8的那个表格还记得吗？
2.立体最短线路问题，例10、例11
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例12.用棱长为1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如图所示，那
测试题
么粘成这个立体最多需要______块小立方体，该立方体的表面积为______。
4.一个长方体如果长增加3cm，体积就增加
3
45cm，如果宽增加5cm，体积就增加
3
90cm，如果
高增加4cm，体积就增加
3
48cm，求原长方体的表面积。
提示图：
5.甲、乙两个圆柱形水桶容积一样大，甲桶底圆半径与乙桶底圆半径比为3:
2，乙桶比甲桶高1.5
例13.如图，ABCD是矩形，BC6cm，AB10cm，对角线AC、BD相交O。
E、F分别是AD与
米，则乙桶的高度为。
BC的中点，图中的阴影部分以EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方
厘米？
（π取3）
E
D
A
O
6.如图，工地上堆放了180块砖，这个砖堆有两面靠墙。
如果要把这个砖堆的表面涂满白色，
那么，被涂上白色的砖共有块。
BC
F
例14.如图，ABCD是矩形，BC6cm，AB10cm，对角线AC、BD相交O。
图中的阴影部分以
CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？
AD
O
7.从三个方向看一个立方体如下图，求H、X、Y对面分别是什么字母？
X
A
Y
BC
W
HEH
Y
X
【阶段总结3】
3.求镂空图形表面积：
组合体法、透视法等等。
求镂空图形体积：
切片法，组合体法。
4.理解圆柱体、圆锥体、圆台分别是由什么图形旋转得到的。
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8.
某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4:
3:
2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方8.用若干个棱长为1的小正方体铁块焊接成的几何体，从正面，侧面，上面看到的视图均如图
米的费用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为0.4元，一个集装箱可以节省6.5
所示，那么这个几何体至少由______个小正方体铁块焊接而成．
元，则集装箱总的表面积是平方米，体积是立方米。
9.小红把10个棱长均为1的小正方体按如图的位置堆放，结果又把标有字母的小正方体搬走了，9.如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假
这时表面积为。
设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用______秒钟．
补充训练：
5.用小立方块搭一个几何体,使得它的主视图和俯视图如图所示,这样的几何体只有一种吗?
7.用棱长l厘米的小正方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的图形都如图所示，那它最少需要多少个小立方块?
最多需要多少个小立方块?
8.么这的立体最多可以用______块小正方体粘成．
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2求不规则立体图形的表面积与体积
【例6】（★★）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？
3水位问题
【例9】（★★）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘
米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的
高为2厘米．问：
瓶内酒精的体积是多少立方厘米？
合多少升？
【例7】（★★★）在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长
为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．
求挖洞后木块的表面积和体积．
1
【例10】（★★）一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有
容积的水，
2现在向桶中投入边长为2厘米2厘米3厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶
高相齐？
【例8】（★★★）如图是一个边长为2厘米的正方体。
在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正
4计数问题
方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，
【例12】有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：
2：
3。
如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方
边长为1/4厘米。
那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？
5三维视图的问题
【例13】现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽为1cm高为2cm的长方体，三个长宽为1cm高为3cm的长
方体。
下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。
试利用下面三
个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。
例：
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6、（★★）有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求
它的表面积减少的百分比是多少？
6其他常考题型
7、（★★）如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高
为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？
【例14】（★★★）有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长
方形纸板的总数之比是1∶2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒
中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？
8、（★★★）现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮
盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出铁皮盒容积是多少立方厘米？
解：
如图，可有如下三种情况比较后可知：
【例15】左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面。
请在右下方的展开图中画出四边形
焊
APQC的四条边。
上
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