所以a＝2，b＝.
所以，椭圆M的方程为＋＝1.
三、解答题
15．（文）（20xx·山东××市模拟）已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的长轴长为4.
（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；
（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过焦点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPM·kPN＝－时，求椭圆的方程．
[解析]
（1）∵圆x2＋y2＝b2与直线y＝x＋2相切，
∴b＝，得b＝.
又2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝2，
c2＝a2－b2＝2，∴两个焦点坐标为（，0），（－，0）．
（2）由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，
不妨设：
M（x0，y0），N（－x0，－y0），P（x，y），
由于M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，
即有＋＝1，＋＝1.
两式相减得：
＝－.
由题意可知直线PM、PN的斜率存在，则
kPM＝，kPN＝，
kPM·kPN＝·＝＝－，
则－＝－，由a＝2得b＝1，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
（理）（20xx·北京东××区）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（－2,0），且长轴长与短轴长的比是2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（m,0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
[解析]
（1）设椭圆C的方程为＋＝1（a>b>0）
由题意，
解得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为＋＝1，故－4≤x≤4.
因为＝（x－m，y），
所以||2＝（x－m）2＋y2
＝（x－m）2＋12×.
＝x2－2mx＋m2＋12＝（x－4m）2＋12－3m2.
因为当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，
即当x＝4时，||2取得最小值．而x∈[－4,4]，
故有4m≥4，解得m≥1.
又点M在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4.
故实数m的取值范围是m∈[1,4]．
16．（20xx·辽宁文，20）设F1，F2分别为椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
（1）求椭圆C的焦距；
（2）如果＝2，求椭圆C的方程．
[解析]
（1）设焦距为2c，则F1（－c,0），F2（c,0）
∵kl＝tan60°＝
∴l的方程为y＝（x－c）
即：
x－y－c＝0
∵F1到直线l的距离为2
∴＝c＝2
∴c＝2
∴椭圆C的焦距为4
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由题可知y1＜0，y2＞0
直线l的方程为y＝（x－2）
由消去x得，
（3a2＋b2）y2＋4b2y－3b2（a2－4）＝0
由韦达定理可得
∵＝2，∴－y1＝2y2，代入①②得
得＝·
＝ ⑤
又a2＝b2＋4 ⑥
由⑤⑥解得a2＝9 b2＝5
∴椭圆C的方程为＋＝1.
17．（文）（20xx·安徽文）椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.
（1）求椭圆E的方程；
（2）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．
[解析]
（1）由题意可设椭圆方程为＋＝1（a>b>0）
∵e＝，即＝，∴a＝2c
又b2＝a2－c2＝3c2
∴椭圆方程为＋＝1.又∵椭圆过点A（2,3）
∴＋＝1，解得c2＝4，∴椭圆方程为＋＝1.
（2）法一：
由
（1）知F1（－2,0），F2（2,0），
∴直线AF1的方程y＝（x＋2），即3x－4y＋6＝0，
直线AF2的方程为x＝2.
设P（x，y）为角平分线上任意一点，则点P到两直线的距离相等．
即＝|x－2|
∴3x－4y＋6＝5（x－2）或3x－4y＋6＝5（2－x）
即x＋2y－8＝0或2x－y－1＝0.
由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F1AF2的平分线所在直线方程为2x－y－1＝0.
法二：
设AM平分∠F1AF2，则直线AF1与直线AF2关于直线AM对称．
由题意知直线AM的斜率存在且不为0，设为k.
则直线AM方程y－3＝k（x－2）．
由
（1）知F1（－2,0），F2（2,0），
∴直线AF1方程为y＝（x＋2），即3x－4y＋6＝0
设点F2（2,0）关于直线AM的对称点F2′（x0，y0），
则
解之得F2′（，）．
∵直线AF1与直线AF2关于直线AM对称，
∴点F2′在直线AF1上．
即3×－4×＋6＝0.
解得k＝－或k＝2.
由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，
∴k＝－（舍去）．
故∠F1AF2的角平分线所在直线方程为2x－y－1＝0.
法三：
∵A（2,3），F1（－2,0），F2（2,0），
∴＝（－4，－3），＝（0，－3），
∴＋＝（－4，－3）＋（0，－3）
＝－（1,2），
∴kl＝2，∴l：
y－3＝2（x－2），即2x－y－1＝0.
[点评] 因为l为∠F1AF2的平分线，∴与的单位向量的和与l共线．从而可由、的单位向量求得直线l的一个方向向量，进而求出其斜率．
（理）（20xx·湖北黄冈）已知点A（1,1）是椭圆＋＝1（a>b>0）上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|＋|AF2|＝4.
（1）求椭圆的两焦点坐标；
（2）设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称；
（3）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？
若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．
[解析]
（1）由椭圆定义知：
2a＝4，
∴a＝2，∴＋＝1
把（1,1）代入得＋＝1
∴b2＝，则椭圆方程为＋＝1
∴c2＝a2－b2＝4－＝，∴c＝
故两焦点坐标为，.
（2）用反证法：
假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为（－1，－1），此时|AB|＝2，取椭圆上一点M（－2,0），则|AM|＝
∴|AM|>|AB|.
从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．
（3）设AC方程为：
y＝k（x－1）＋1
联立消去y得
（1＋3k2）x2－6k（k－1）x＋3k2－6k－1＝0
∵点A（1,1）在椭圆上
∴xC＝
∵直线AC、AD倾斜角互补
∴AD的方程为y＝－k（x－1）＋1
同理xD＝
又yC＝k（xC－1）＋1，yD＝－k（xD－1）＋1
yC－yD＝k（xC＋xD）－2k
所以kCD＝＝
即直线CD的斜率为定值.
总结的注意事项1．一定要实事求是，成绩不夸大，缺点不缩小，更不能弄虚作假。
这是分析、得出教训的基础。
2．条理要清楚。
总结是写给人看的，条理不清，人们就看不下去，即使看了也不知其所以然，这样就达不到总结的目的。
3．要剪裁得体，详略适宜。
材料有本质的，有现象的；有重要的，有次要的，写作时要去芜存精。
总结中的问题要有主次、详略之分，该详的要详，该略的要略。
总结的基本格式1、标题2、正文开头：
概述情况，总体评价；提纲挈领，总括全文。
主体：
分析成绩缺憾，总结经验教训。
结尾：
分析问题，明确方向。
3、落款署名，日期Thesummaryofthenote1.Wemustseektruthfromfacts,ourachievementsarenotexaggerated,ourshortcomingsarenotreduced,andwemustnotresorttofraud.Thisisthebasisforanalysisandlessonslearned.2.Bewell-organized.Summariesarewrittenforpeopletosee,disorganized,peoplecannotlookdown,eveniftheydonotknowwhy,soitwillnotachievethepurposeofsummingup.3.Tocutproperly,thedetailsareappropriate.Materialhavingessence,havingphenomenon;Thereareimportant,therearesecondary,whenwritingtoeliminatetheessence.Theproblemsinthesummaryshouldbedividedintomajorandminorpoints.Thedetailsshouldbedetailedandtheoutlineshouldbeomitted.Basicformatofthesummary1,title2,beginningofthebody:
overview,overallevaluation;Outlineandsummarizethefulltext.Mainbody:
analyzethelackofachievement,summarizetheexperienceandlessons.End:
Analyzetheproblemandclarifythedirection.3,dropsignature,date
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