矩形的判定和性质word版本.docx
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矩形的判定和性质word版本
矩形的性质和判定
一、基础知识
(一)矩形的定义
有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
(二)矩形的性质:
1.矩形具有平行四边形的一切性质;
2.矩形的对角线相等;
3.矩形的四个角都是900;
4.矩形是轴对称图形;
边
角
对角线
对称性
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
互相平分且相等
轴对称,中心对称
(三)矩形的判定:
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形;
2.对角线相等的平行四边形是矩形;
3.有三个角是直角的四边形是矩形;
4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
(四)直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(如图:
OB=OC=OA=
AC)
二、例题讲解
考点一:
矩形的基本性质
例1:
如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足为E,∠DAE=2∠BAE,那么,∠BAE=________,
∠EAO=________,若EO=1,则OD=______,AB=________,AD=________.
练习1:
矩形ABCD中,,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.
练习2:
如图,在矩形ABCD中,CE⊥BD,E为垂足,∠DCE∶∠ECB=3∶1,求∠ACD.
例2:
如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm,那么矩形的周长是多少?
练习1:
矩形ABCD中,,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2,AB=4cm,求矩形的对角线长。
例3:
如图,在矩形ABCD中,相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm,内角∠BAD的角平分线与边BC交于点E.试求BE与CE的长度.
练习1:
如图,在矩形ABCD中,E是边AD上的一点.试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系.
例4:
(2009年广西钦州)已知:
如图1,在矩形ABCD中,AF=BE.求证:
DE=CF;
练习1:
如图,矩形ABCD中,E为AD中点,∠BEC为直角,矩形ABCD的周长是20,求AD、AB的长。
练习2:
(2009年衢州)如图,四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.
求证:
(1)∠PBA=∠PCQ=30°;
(2)PA=PQ.
考点二:
面积法
例1:
如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,BE⊥AC于E.试求出BE的长.
练习1:
如图,矩形ABCD中,E点在BC上,且AE平分∠BAC。
若BE=4,AC=15,则△AEC面积为()
A.15B.30C.45D.60。
练习2:
如图:
在矩形ABCD中,两条对角线AC、BD相交于点O,AB=4cm,AD=
cm.
(1)判定△AOB的形状.
(2)计算△BOC的面积.
练习3:
如图,将矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在点C'处,BC'交AD于E,AD=8,AB=4,BE=5,求△BED的面积。
考点三:
矩形对角线平分且相等
例1:
矩形的两条对角线相交成60°角,较短边与一条对角线之和为15cm,则矩形的对角线长为
cm。
练习1:
矩形的对角线所成的角之一是65°,则对角线与各边所成的角度是().
A.57.5°B.32.5°
C.57.5°、33.5°D.57.5°、32.5°
练习2:
矩形两条对角线的夹角是120°,短边长4cm;则矩形的对角线长;
练习3:
如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,∠AOB=120°,AD=5cm,则AC=。
考点四:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例1:
如图,△ABC中,∠A=2∠B,CD是△ABC的高,E是AB的中点,求证:
DE=
AC.
练习1:
如图,矩形ABCD的对角线AC交BD于D,E为CB延长线上一点,连接AE,M为AE中点且BM⊥DM于点M,
(1)连接OM,若AD=8,CD=6,求OM的长。
(2)求证:
AD+BE=2AO
考点四:
角平分线
例1:
已知,四边形ABCD是矩形,CH⊥BD,H为垂足,AE是∠BAD的平分线,交HC的延长线于E。
求证:
CE=BD。
AD
O
BEC
例2:
矩形ABCD,AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于E,若∠CAE=15°,求∠BOE的度数;
例3:
(2009年佳木斯中考卷第25题)如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E.
(1)试找出一个与△AED全等的三角形,并加以证明.
(2)若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥EC于H,试求PG+PH的值,并说明理由.
练习1:
如图,E为矩形ABCD边AD上一点,BE=DE,P为BD上一点,PF⊥BE于F,PG⊥AD于G。
求证:
PF+PG=AB。
课后练习:
1、矩形的两条对角线的夹角为60°,一条对角线与短边的和为15,对角线长是________,两边长分别等于________
2、矩形周长为36cm,一边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角,则矩形各边长是______.
3、如图,矩形ABCD中,E是BC中点,∠BAE=30°,AE=4,则AC=______.
4、如图,矩形ABCD中,AB=2BC,在CD上取上一点M,使AM=AB,则∠MBC=_______.
5、已知:
如图,矩形ABCD中,EF⊥CE,EF=CE,DE=2,矩形的周长为16,求AE的长.
6、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为()
A.1 B.2
C.
D.
7、如图1,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC,CD,DA运动至点A停止.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则△ABC的面积是()
A.10
y
x
图1
O
A
B
D
C
P
4
9
图2
B.16
C.18
D.20
还有一点就是beadwork公司在“碧芝自制饰品店”内设立了一个完全的弹性价格空间:
选择饰珠的种类和多少是由顾客自己掌握,所以消费者可以根据自己的消费能力进行取舍;此外由于是顾客自己制作,所以从原料到成品的附加值就可以自己享用。
与此同时,上海市工商行政管理局也对大学生创业采取了政策倾斜:
凡高校毕业生从事个体经营的,自批准经营日起,1年内免交登记注册费、个体户管理费、集贸市场管理费、经济合同鉴证费、经济合同示范文本工本费等,但此项优惠不适用于建筑、娱乐和广告等行业。
(3)个性体现
(一)对“漂亮女生”饰品店的分析
在上海,随着轨道交通的发展,地铁商铺应运而生,并且在重要的商业圈已经形成一定的气候,投资经营地铁商铺逐渐成为一大热门。
在人民广场地下“的美”购物中心,有一家DIY自制饰品店---“碧芝自制饰品店”。
8、(2009年遂宁)如图,已知矩形ABCD中,AB=4cm,AD=10cm,点P在边BC上移动,点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点.
⑴求证:
EF+GH=5cm;
这里有营业员们向顾客们示范着制作各种风格炯异的饰品,许多顾客也是学得不亦乐乎。
据介绍,经常光顾“碧芝”的都是些希望得到世界上“独一无二”饰品的年轻人,他们在琳琅满目的货架上挑选,然后亲手串连,他们就是偏爱这种DIY的方式,完全自助在现场,有上班族在里面精挑细选成品,有细心的小女孩在仔细盘算着用料和价钱,准备自己制作的原料。
可以想见,用本来稀奇的原料,加上别具匠心的制作,每一款成品都必是独一无二的。
而这也许正是自己制造所能带来最大的快乐吧。
⑵求当∠APD=90o时,
的值.
(4)创新能力薄弱
在现代文化影响下,当今大学生对新鲜事物是最为敏感的群体,他们最渴望为社会主流承认又最喜欢标新立异,他们追随时尚,同时也在制造时尚。
“DIY自制饰品”已成为一种时尚的生活方式和态度。
在“DIY自制饰品”过程中实现自己的个性化追求,这在年轻的学生一代中尤为突出。
“DIY自制饰品”的形式多种多样,对于动手能力强的学生来说更受欢迎。
(3)年龄优势
大学生购买力有限,即决定了要求商品能价廉物美,但更注重的还是在购买过程中对精神文化爱好的追求,满足心理需求。