当一a0,「.f(x)在(一a,e)上为增函数,
一、3八一
••f(x)min=f(—a)=ln(—a)+1=—?
a=—eB.
2
综上可知:
a=—.e.
1小rr、、E,r,.12
5.(最值直接应用)已知函数f(x)x-axln(1x),其中aR.
2
(I)若x2是f(x)的极值点,求a的值;
(n)求f(x)的单调区间;
(出)若f(x)在[0,)上的最大值是0,求a的取值范围.
x(1aax)
解:
(I)f(x)—-,x(1,).
x1
11
依题意,令f
(2)0,解得a-.经检验,a-时,符合题意.
33
x
(n)解:
①当a0时,f(x)——.
x1
故f(x)的单调增区间是(0,);单调减区间是(1,0).
1
②当a0时,令f(x)0,得x10,或x21.
a
).
当0a1时,f(x)与f(x)的情况如下:
x
(1,x1)
x1
(。
x2)
x2
(x2,)
f(x)
0
0
f(x)
f(x1)
/
fM)
x
(1,x2)
x2
3x1)
x
(Xi,)
f(x)
0
0
f(x)
f(x2)
/
f(Xi)
11
所以,f(x)的单倜增区间是(—1,0);单调减区间是(1-1)和(0,).aa
③当a0时,f(x)的单调增区间是(0,);单调减区间是(1,0).
综上,当a0时,f(x)的增区间是(0,),减区间是(1,0);
11
当0a1时,f(x)的增区间是(0,—1),减区间是(1,0)和(一1,);aa
当a1时,f(x)的减区间是(1,);
11
当a1时,f(x)的增区间是(一1,0);减区间是(1,-1)和(0,).aa
(出)由(n)知a0时,f(x)在(0,)上单调递增,由f(0)0,知不合题意
一,,一,一1
当0a1时,f(x)在(0,)的最大值是f(—1),a
1
由f(—1)f(0)0,知不合题意.a
当a1时,f(x)在(0,)单调递减,
可得f(x)在[0,)上的最大值是f(0)0,符合题意.
所以,f(x)在[0,)上的最大值是0时,a的取值范围是[1,).
6.(2010北京理数18)
已知函数f(x)=ln(1+x)-x+—x2(k>0).
2
(i)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(n)求f(x)的单调区间.
21
解:
(I)当k2时,f(x)ln(1x)xx2,f'(x)——12x
1x
由于f
(1)ln2,f'
(1)9,
2
3
所以曲线yf(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为yln23(x1)
即3x2y2ln230
(II)f'(x)x(kxk1),x(1,).
1x
x
当k0时,f'(x)——.
1x
所以,在区间(1,0)上,f'(x)0;在区间(0,)上,f'(x)0.
故f(x)得单调递增区间是(1,0),单调递减区间是(0,).
1k
——0k
x(kxk1)
当0k1时,由f'(x)—
1x
1k1k
所以,在区间(1,0)和(―,)上,f'(x)0;在区间(0,U)上,f'(x)kk
1k1k
故f(x)得单倜递增区间是(1,0)和(——,),单调递减区间是(0,——).kk
2,x一
当k1时,f'(x)—故f(x)得单调递增区间是(1,).1x
x(kxk1)1k-
当k1时,f'(x)—0,得x1——(1,0),x20.
1xk
1k1k
所以没在区间(1,一)和(0,)上,f'(x)0;在区间(」,0)上,f'(x)kk
1k1k
故f(x)得单倜递增区间是(1,——)和(0,),单调递减区间是(——,0)kk
7.(2010山东文21,单调性)
1a
已知函数f(x)lnxax1(aR)
x
⑴当a1时,求曲线yf(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
一1..、
⑵当a—时,讨论f(x)的单调性.
2
解:
⑴xyln20
1a⑵因为f(x)lnxax1,
x
2
1a1axx1a
所以f'(x)-a2,x(0,),
xxx
2
令g(x)axx1a,x(0,),
(1)当自=0时,g(n):
=-x+ljxW(Of+8-
所以当父三⑪1;时,g(x)>05此时出幻《0,函数f⑶单调段减
②当0。
<我时,
1]时,g⑶>0,此时但他函数f闾单调递减
x€(l,妙川时,此时叼9函数小:
单调递遍
x€(ya-L+叼时,g仪)>6此时代3,函数力㈤单调建减
(2)当日时,由f(x)二0,
即ax2-x+l=0t解得父尸:
忌二gd
①当g项时,储不小20恒成立,此时f闺W0,函数M在(01上
单调星避;
8.(是一道设计巧妙的好题,同时用到e底指、对数,需要构造函数,证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想,⑴⑵联系紧密)
已知函数
⑴若函数
f(x)lnx,g(x)
•X+1
4(X)=f(x)-一
⑵设直线
X-1
l为函数f(X)的图象上一点
求函数Mx)的单调区间;
A(xo,f(xo))处的切线,证明:
在区间(1,+8)上存在唯一的
X0,
使得直线l与曲线y=g(x)相切.
解:
(I)(X)
口In
x1
9.
•••切线l的方程为
设直线l与曲线y
「g(x)ex,eX1
1
,直线l也为y—
x1
0,函数
•1-f(Xo)
ylnXo
1
Xo
—(X
Xo
g(x)相切于点
1
Xo
1
一X1
In
(x)的单调递增区间为
XX
0,1和
1
7
1,
Xo
由①②得InXo1
Xo
InXo
Xo
Xo
、日1,,
Xo),即y—xInXo1,
(X1,ex1)
Xo
InXo,••.g(Xi)
1
——x
Xo
lnXo
Xo
Xo1
Xo
elnxo
InXo
Xo
Xo1Xo
下证:
在区间(1,+)上x0存在且唯一.
由(I)可知,
(x)Inx
(1,+)上递增.
又(e)lne且^e1
(e2)
2
lne
e21
e21
e23c
en0
结合零点存在性定理,说明方程唯一X0故结论成立.
(最值应用,转换变量)
设函数f(x)(2a)lnx
2
2ax
X
(1)讨论函数f(x)在定义域内的单调性;
(2)当a(3,2)时,任意数m的取值范围.
X1,X2
解:
⑴
f(x)
2a
(x)
1(a
[1,3]
o必在区间(e,e2)上有唯一的根,
这个根就是所求的
(mIn3)a
2ln3|f(x1)f(X2)|恒成立,求实
2时,
-2
2ax
2时,
1
一,增区间为
2
1,一,
一,减区间为
2
(o,
(2a)x1
2
x
1
-),减区间为
2
(ax1)(2x1)
).
―111111
当2a。
时,——,增区间为(―,—),减区间为(0,_),(_,).
a22a2a
⑵由⑴知,当a(3,2)时,f(x)在[1,3]上单调递减,
1・•.MX[1,3],|f(x)f(X2)|wf
(1)f(3)(12a)[(2a)ln3—6a],3
2即|f(x1)f(X2)|w—4a(a2)ln3.
3
・••(mln3)a2ln3|f(x1)f(Xz)|恒成立,
2
•••(mln3)a21n3>_4a(a2)ln3,即ma3
222
又a0,•.m——4.
3a
••a(3,2),I3
3
10.(最值应用)已知二次函数g(x)对x
二438
3a9
m<
13
3
R都满足g(x1)g(1x)x2
2x1且g
(1)
一、,1、,
R,x0).
f(x)g(x)mlnx
2
(I)求g(x)的表达式;
(n)若xR,使f(x)0成立,求实数m的取值范围;
(出)设1me,H(x)f(x)(m1)x,求证:
对于x1,x2[1,m],恒有|H(x)H(x2)|1.
解:
(I)设gxax2bxc,于是
a1
22ac)
gx1g1x2ax12c2x12,所以2
c1.
又g11,则b1.所以gx[x2[x1.3分
1.912
(n)f(x)gx-mlnx--xmlnx(mR,x0).282
当m>0时,由对数函数性质,f(x)的值域为R;4分
x2
当m=0时,f(x)一0对x0f(x)0恒成立;5分
2,
当m<0时,由f(x)xm0xm-m,列表:
x
x
(0,m)
m~m
(dm,)
f(x)
一
0
十
f(x)
减
极小
增
这时,f(x)minf(m)2mln.m.
f(X)min0
mlnm0,
e所以若x0f(x)0恒成立,则实数m的取值范围是(e,0].
故X0使f(x)0成立,实数m的取值范围(,e]U0,9分
(出)因为对x[1,m],
于是|H(xi)H(x2)|H
(1)
12
|H(X)Hd)|1-m2
一13
记h(m)mInm——(1
22m
1所以函数h(m)mInm
2
H(x)
H(m)
mlnm
(x1)(xm)
x
12।1
一mmlnm一.
22
11
-1—mInm
22
所以H(x)在[1,m]内单调递减.
而在1,e]是单调增函数,
2m
3
2m2
0.
e3e3e1
所以h(m)h(e)1-
22e2e
0,故命题成立.
11.设x3是函数fx
23x
xaxbe,xR的一个极值点
(1)求a与b的关系式(用
a表示b),并求fx的单调区间;
225x....
(2)设a0,gxa-e,右存在i,2
4
取值范围.
解:
(1)fxx2axbe3x
'
'3x23x
••fx2xaexaxbe1
0,4,使得If1g2I1成立,求a的
x2a2xbae3x由题意得:
'2
f30,即33a2ba0,b
2a3
23x'
fxxax2a3e且fx
'
令fx0得x13,x2
.x3是函数fxx2
a1
3x
axbe,xR的一个极值点
•・x1x2)即a4
故a与b的关系式为b2a3,a4
'
当a4时,x2a13,由fx
'
由fx0得单减区间为:
,3和
0得单增区间为:
a1,;
3,a1;
当a4时,x2a1
'
由fx0得单减区间为:
3,由fx0得单增区间为:
a1和3,;
a1,3;
(2)由
(1)知:
当a0时,x2
减,f(x)m.minf(0),f(4)
a10,fx在0,3上单调递增,在3,4上单调递
(2a3)e3,fxmaxf3a6,
fx在0,4上的值域为[(2a3)e3,a6].
o25
易知gxa225ex在0,4上是增函数,
4
2252254
gx在0,4上的值域为a一,a一e.
44
2
2251
由于a-a6a-0,
42
又•.•要存在1,20,4,使得|f1g2I1成立,
a0
解得:
0
1
・•.必须且只须225
a—a
4
所以,a的取值范围为0,3.
2
12.f(x)(x2axb)ex(xR).
(1)若a2,b2,求函数f(x)的极值;
(2)若x1是函数f(x)的一个极值点,试求出a关于b的关系式(用a表示b),并确定f(x)的单调区间;
(3)在
(2)的条件下,设a0,函数g(x)(a214)ex4.若存在1,2[0,4]使得|f
(1)f
(2)|1成立,求a的取值范围.
解:
(1)1•1f(x)(2xa)ex(x2axb)ex[x2(2a)x(ab)]ex
当a2,b2时,f(x)(x22x2)ex则f'(x)(x24x)ex.
令f'(x)0得(x24x)ex0,.ex0,,x24x0,解得X4%0
•・当x(,4)时,f'(x)0,
当x(4,0)时f'(x)0,当x(0,W4f'(x)0
•••当x4时,函数f(x)有极大值,f(x)极大=g,
e
当x0时,函数f(x)有极小值,f(x)极小2.
(2)由
(1)知f(x)[x2(2a)x(ab)]ex
.x1是函数f(x)的一个极值点f
(1)0
即e[1(2a)(ab)]0,解得b32a
则f(x)ex[x2(2a)x(3a)]=ex(x1)[x(3a)]
令f(x)0,得%1或乂23a
•••x1是极值点,.二3a1,即a4.
当3a1即a4时,由f(x)0得x(3a,)或x(,1)
由f(x)。
得x(1,3a)
3a)
当3a1即a4时,由f(x)0得x(1,)或乂(由f(x)。
得x(3a,1).
综上可知:
),递减区间为(1,3a)
),递减区间为(3a,1)。
当a4时,单调递增区间为(,1)和(3a,
当a4时,单调递增区间为(,3a)和(1,
(3)由2)知:
当a>0时,f(x)在区间(0,1)上的单调递减,
在区间(1,4)上单调递增,
・♦・函数f(x)在区间[0,4]上的最小值为f
(1)(a2)e
又f(0)bex(2a3)0,f(4)(2a13)e40,
・•・函数f(x)在区间[0,4]上的值域是[f
(1),f(4)],即[(a2)e,(2a13)e4]]
又g(x)(a14)ex4在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是[(a214)e4,(a214)e8].
.(a214)e4-(2a13)e4=(a22