高考导数压轴题型归类总结.docx

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高考导数压轴题型归类总结

导数压轴题型归类总结

一、导数单调性、极值、最值的直接应用

（1）

二、交点与根的分布（23）

三、不等式证明（31）

（一）作差证明不等式

（二）变形构造函数证明不等式

（三）替换构造不等式证明不等式

四、不等式恒成立求字母范围（51）

（一）恒成立之最值的直接应用

（二）恒成立之分离常数

（三）恒成立之讨论字母范围

五、函数与导数性质的综合运用（70）

六、导数应用题（84）

七、导数结合三角函数（85）

书中常用结论

sinx一

⑴sinxx,x（0,），变形即为——1,其几何意义为ysinx,x（0,）上的的点与原x

点连线斜率小于1.

⑵exx1

⑶xln（x1）

⑷lnxxex,x0.

一、导数单调性、极值、最值的直接应用

1.（切线）设函数f（x）x2a.

（1）当a1时，求函数g（x）xf（x）在区间［0,1］上的最小值；

（2）当a0时，曲线yf（x）在点P（x1,f（x1））（x1八）处的切线为l,l与x轴交于点A（x2,0）求证：

x1x2a.I-

解：

（1）a1时，g（x）x3x,由g（x）3x210,解得x—.

3

g（x）的变化情况如下表:

x

0

（0,——）3

3

（——,1）3

1

g（x）

-

0

+

所以当

g（x）

极小值

X史时,

3

（2）证明：

曲线曲线

g（x）有最小值g（丑）2@.

39

f（x）在点P（xi,2xi2a）处的切线斜率k

f（x）在点P处的切线方程为

f（Xi）2xi

x1

2

Xi

2xi

2

axi

2xi

a

一，•二X2

X2

所以

Xi

a

2xi

••X2

2

xia

2xi

Xi

Xi

Xi

X2

、、a.

y（2xi22

xia

2xi

Xi.

a）

Xi

2xi（xxi）.

2

axi

2xi

2.Xiaa

2xi22xi

2.（2009天津理20,已知函数f（x）（X2⑴当a0时，求曲线

，、-2

⑵当a—时，求函数3

极值比较讨论）

ax2a23a）eX（x

R）,其中aR

yf（x）在点（i,f（i））处的切线的斜率;

f（X）的单调区间与极值.

w——.s5u

解：

本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

⑴当a5寸，f（x）x2eX,f'（x）（x22x）eX,故f'⑴3e.

所以曲线yf（x）在点（i,f（i））处的切线的斜率为3e

ks5ucom

⑵f'（x）x2（a2）x2a24aex.

2,令f'（x）0,解得x2a,或xa2由a-知，2aa2.

3

以下分两种情况讨论：

2

函数f（X）在函数f（X）在

①若a>—,则2a

3

X

2a

2a

2a,a2

a2

a2,

+

0

一_

0

+

r/

极大值

极小值

/

所以£（刈在（，2a）,（a2,）内是增函数，在（2a,a2）内是减函数.

2a处取得极大值f（2a）,且"2a）3ae2a.

2处取得极小值f（a2）,且f（a2）（43a）ea2

一，-2

②若av2,则2a>a2,当x变化时，f'（x）,f（x）的变化情况如下表:

3

X

a2

a2

a2,2a

2a

2a,

+

0

一

0

+

/

极大值

极小值

/

所以£（刈在（,a2）,（2a,）内是增函数，在（a2,2a）内是减函数。

函数f（x）在xa2处取得极大值f（a2）,且f（a2）（43a）ea2.

函数f（x）在x2a处取得极小值f（2a）,且£（2a）3ae2a.

122..

3.已知函数f（x）-x2ax,g（x）3aInxb.2

⑴设两曲线y“乂）与丫g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a0,试建立b关

于a的函数关系式，并求b的最大值；

⑵若b[0,2],h（x）f（x）g（x）（2ab）x在（0,4）上为单调函数，求a的取值范围。

解:

fI）设》=/（x）与3n£（£）（工>0）在公共点£工0）处的切线相同.

5）"工+由Jg意知/\工.）=寓、卬、、八工力=1（工.）

叫产s

|XflT=

l*口

熊得Xyi.f0或工◎0■—3a（舍去串）人='"携'―3a'iria<口A0）干

—&iZim-M-3Am）.

6%。

>>V«0<=^><♦

U-*3bu>0tl—3-VO

可见M。

〉”.一*C4-#7分

AzCr>-h+亭-b依・M'U）（0或〃（工）/。

馆成立

①当=0时■工+言一b<0；*.+q&8

€C0<2].R«—<07xG（0.4）不存在

i^TA1«

i'

②当〉C时・j：

十―当方*.*.m+》&

VA£Q）,幻，只+二3—钳成立

TjtWe“>-3a1>1♦得©《〜亨虐

端上，啤的旋值壶■为。

4一呼或g§■*W

4.（最值，按区间端点讨论）

已知函数f（x）=lnx--.x

（1）当a>0时，判断f（x）在定义域上的单调性；

3一，…

（2）若f（x）在[1,e]上的最小值为-,求a的值.

解：

（1）由题得f（x）的定义域为（0,+8）,且f（x）=1+弓=工^.

xxx

•••a>0,「.f'（x）>0,故f（x）在（0,+8）上是单调递增函数.

xa

（2）由

（1）可知：

f（x）=^^,

x

①若a>—1）则x+an0）

3

,f（x）min=f

（1）=—a=—

2

②右aw—e,则x+aw0,

.一、a3

,f（x）min=f（e）=1一一=一

e2

即f'（x）>0在［1,e］上恒成立，此时

a=―一（舍去）.

2

即f（x）<。

在［1,e］上恒成立，此时

一,a=一一（舍去）.

2

f（x）在［1,e］上为增函数,

f（x）在［1,e］上为减函数,

③若—e

当1

当一a0,「.f（x）在（一a,e）上为增函数,

一、3八一

••f（x）min=f（—a）=ln（—a）+1=—?

a=—eB.

2

综上可知：

a=—.e.

1小rr、、E,r,.12

5.（最值直接应用）已知函数f（x）x-axln（1x）,其中aR.

2

（I）若x2是f（x）的极值点，求a的值；

（n）求f（x）的单调区间；

（出）若f（x）在［0,）上的最大值是0,求a的取值范围.

x（1aax）

解：

（I）f（x）—-,x（1,）.

x1

11

依题意，令f

（2）0,解得a-.经检验，a-时，符合题意.

33

x

（n）解：

①当a0时，f（x）——.

x1

故f（x）的单调增区间是（0,）；单调减区间是（1,0）.

1

②当a0时，令f（x）0,得x10,或x21.

a

）.

当0a1时，f（x）与f（x）的情况如下:

x

（1,x1）

x1

（。

x2）

x2

（x2,）

f（x）

0

0

f（x）

f（x1）

/

fM）

x

（1,x2）

x2

3x1）

x

（Xi,）

f（x）

0

0

f（x）

f（x2）

/

f（Xi）

11

所以，f（x）的单倜增区间是（—1,0）;单调减区间是（1-1）和（0,）.aa

③当a0时，f（x）的单调增区间是（0,）；单调减区间是（1,0）.

综上，当a0时，f（x）的增区间是（0,）,减区间是（1,0）；

11

当0a1时，f（x）的增区间是（0,—1）,减区间是（1,0）和（一1,）；aa

当a1时，f（x）的减区间是（1,）；

11

当a1时，f（x）的增区间是（一1,0）；减区间是（1,-1）和（0,）.aa

（出）由（n）知a0时，f（x）在（0,）上单调递增，由f（0）0,知不合题意

一，，一，一1

当0a1时，f（x）在（0,）的最大值是f（—1）,a

1

由f（—1）f（0）0,知不合题意.a

当a1时，f（x）在（0,）单调递减，

可得f（x）在［0,）上的最大值是f（0）0,符合题意.

所以，f（x）在［0,）上的最大值是0时，a的取值范围是［1,）.

6.（2010北京理数18）

已知函数f（x）=ln（1+x）-x+—x2（k>0）.

2

（i）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程；

（n）求f（x）的单调区间.

21

解：

（I）当k2时，f（x）ln（1x）xx2,f'（x）——12x

1x

由于f

（1）ln2,f'

（1）9,

2

3

所以曲线yf（x）在点（1,f

（1））处的切线方程为yln23（x1）

即3x2y2ln230

（II）f'（x）x（kxk1）,x（1,）.

1x

x

当k0时，f'（x）——.

1x

所以，在区间（1,0）上，f'（x）0；在区间（0,）上，f'（x）0.

故f（x）得单调递增区间是（1,0）,单调递减区间是（0,）.

1k

——0k

x（kxk1）

当0k1时，由f'（x）—

1x

1k1k

所以，在区间（1,0）和（―，）上，f'（x）0；在区间（0,U）上，f'（x）kk

1k1k

故f（x）得单倜递增区间是（1,0）和（——,），单调递减区间是（0,——）.kk

2,x一

当k1时，f'（x）—故f（x）得单调递增区间是（1,）.1x

x（kxk1）1k-

当k1时，f'（x）—0,得x1——（1,0）,x20.

1xk

1k1k

所以没在区间（1,一）和（0,）上，f'（x）0；在区间（」,0）上，f'（x）kk

1k1k

故f（x）得单倜递增区间是（1,——）和（0,），单调递减区间是（——,0）kk

7.（2010山东文21,单调性）

1a

已知函数f（x）lnxax1（aR）

x

⑴当a1时，求曲线yf（x）在点（2,f

（2））处的切线方程；

一1..、

⑵当a—时，讨论f（x）的单调性.

2

解：

⑴xyln20

1a⑵因为f（x）lnxax1,

x

2

1a1axx1a

所以f'（x）-a2,x（0,）,

xxx

2

令g（x）axx1a,x（0,）,

（1）当自=0时，g（n）：

=-x+ljxW（Of+8-

所以当父三⑪1;时，g（x）>05此时出幻《0,函数f⑶单调段减

②当0。

<我时，

1］时，g⑶>0,此时但他函数f闾单调递减

x€（l,妙川时,此时叼9函数小:

单调递遍

x€（ya-L+叼时，g仪）>6此时代3，函数力㈤单调建减

（2）当日时，由f（x）二0,

即ax2-x+l=0t解得父尸：

忌二gd

①当g项时，储不小20恒成立，此时f闺W0,函数M在（01上

单调星避；

8.（是一道设计巧妙的好题，同时用到e底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密）

已知函数

⑴若函数

f（x）lnx,g（x）

•X+1

4（X）=f（x）-一

⑵设直线

X-1

l为函数f（X）的图象上一点

求函数Mx）的单调区间;

A（xo,f（xo））处的切线，证明：

在区间（1,+8）上存在唯一的

X0,

使得直线l与曲线y=g（x）相切.

解:

（I）（X）

口In

x1

9.

•••切线l的方程为

设直线l与曲线y

「g（x）ex,eX1

1

，直线l也为y—

x1

0，函数

•1-f（Xo）

ylnXo

1

Xo

—（X

Xo

g（x）相切于点

1

Xo

1

一X1

In

（x）的单调递增区间为

XX

0,1和

1

7

1,

Xo

由①②得InXo1

Xo

InXo

Xo

Xo

、日1，,

Xo）,即y—xInXo1,

（X1,ex1）

Xo

InXo,••.g（Xi）

1

——x

Xo

lnXo

Xo

Xo1

Xo

elnxo

InXo

Xo

Xo1Xo

下证：

在区间（1,+）上x0存在且唯一.

由（I）可知,

（x）Inx

（1,+）上递增.

又（e）lne且^e1

（e2）

2

lne

e21

e21

e23c

en0

结合零点存在性定理，说明方程唯一X0故结论成立.

（最值应用，转换变量）

设函数f（x）（2a）lnx

2

2ax

X

（1）讨论函数f（x）在定义域内的单调性;

（2）当a（3,2）时，任意数m的取值范围.

X1,X2

解：

⑴

f（x）

2a

（x）

1（a

[1,3]

o必在区间（e,e2）上有唯一的根,

这个根就是所求的

（mIn3）a

2ln3|f（x1）f（X2）|恒成立，求实

2时,

-2

2ax

2时,

1

一,增区间为

2

1，一，

一，减区间为

2

（o,

（2a）x1

2

x

1

-）,减区间为

2

（ax1）（2x1）

）.

―111111

当2a。

时，——，增区间为（―，—），减区间为（0,_）,（_,）.

a22a2a

⑵由⑴知，当a（3,2）时,f（x）在［1,3］上单调递减,

1・•.MX[1,3],|f（x）f（X2）|wf

（1）f（3）（12a）[（2a）ln3—6a],3

2即|f（x1）f（X2）|w—4a（a2）ln3.

3

・••（mln3）a2ln3|f（x1）f（Xz）|恒成立，

2

•••（mln3）a21n3>_4a（a2）ln3,即ma3

222

又a0,•.m——4.

3a

••a（3,2）,I3

3

10.（最值应用）已知二次函数g（x）对x

二438

3a9

m<

13

3

R都满足g（x1）g（1x）x2

2x1且g

（1）

一、，1、，

R,x0）.

f（x）g（x）mlnx

2

（I）求g（x）的表达式；

（n）若xR,使f（x）0成立，求实数m的取值范围；

（出）设1me,H（x）f（x）（m1）x,求证：

对于x1,x2[1,m],恒有|H（x）H（x2）|1.

解：

（I）设gxax2bxc,于是

a1

22ac）

gx1g1x2ax12c2x12,所以2

c1.

又g11,则b1.所以gx[x2[x1.3分

1.912

（n）f（x）gx-mlnx--xmlnx（mR,x0）.282

当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；4分

x2

当m=0时，f（x）一0对x0f（x）0恒成立；5分

2，

当m<0时，由f（x）xm0xm-m,列表：

x

x

（0,m）

m~m

（dm,）

f（x）

一

0

十

f（x）

减

极小

增

这时，f（x）minf（m）2mln.m.

f（X）min0

mlnm0,

e

所以若x0f（x）0恒成立，则实数m的取值范围是（e,0］.

故X0使f（x）0成立，实数m的取值范围（,e］U0,9分

（出）因为对x[1,m],

于是|H（xi）H（x2）|H

（1）

12

|H（X）Hd）|1-m2

一13

记h（m）mInm——（1

22m

1所以函数h（m）mInm

2

H（x）

H（m）

mlnm

（x1）（xm）

x

12।1

一mmlnm一.

22

11

-1—mInm

22

所以H（x）在［1,m］内单调递减.

而在1,e］是单调增函数,

2m

3

2m2

0.

e3e3e1

所以h（m）h（e）1-

22e2e

0,故命题成立.

11.设x3是函数fx

23x

xaxbe,xR的一个极值点

（1）求a与b的关系式（用

a表示b）,并求fx的单调区间;

225x....

（2）设a0,gxa-e,右存在i,2

4

取值范围.

解：

（1）fxx2axbe3x

'

'3x23x

••fx2xaexaxbe1

0,4,使得If1g2I1成立，求a的

x2a2xbae3x由题意得:

'2

f30,即33a2ba0,b

2a3

23x'

fxxax2a3e且fx

'

令fx0得x13,x2

.x3是函数fxx2

a1

3x

axbe,xR的一个极值点

•・x1x2）即a4

故a与b的关系式为b2a3,a4

'

当a4时，x2a13,由fx

'

由fx0得单减区间为：

，3和

0得单增区间为:

a1,;

3,a1；

当a4时，x2a1

'

由fx0得单减区间为:

3,由fx0得单增区间为:

a1和3,；

a1,3；

（2）由

（1）知：

当a0时，x2

减，f（x）m.minf（0）,f（4）

a10,fx在0,3上单调递增，在3,4上单调递

（2a3）e3,fxmaxf3a6,

fx在0,4上的值域为[（2a3）e3,a6].

o25

易知gxa225ex在0,4上是增函数,

4

2252254

gx在0,4上的值域为a一,a一e.

44

2

2251

由于a-a6a-0，

42

又•.•要存在1,20,4,使得|f1g2I1成立,

a0

解得：

0

1

・•.必须且只须225

a—a

4

所以，a的取值范围为0,3.

2

12.f（x）（x2axb）ex（xR）.

（1）若a2,b2,求函数f（x）的极值；

（2）若x1是函数f（x）的一个极值点，试求出a关于b的关系式（用a表示b）,并确定f（x）的单调区间；

（3）在

（2）的条件下，设a0,函数g（x）（a214）ex4.若存在1,2[0,4]使得|f

（1）f

（2）|1成立，求a的取值范围.

解：

（1）1•1f（x）（2xa）ex（x2axb）ex[x2（2a）x（ab）]ex

当a2,b2时，f（x）（x22x2）ex则f'（x）（x24x）ex.

令f'（x）0得（x24x）ex0,.ex0,，x24x0,解得X4%0

•・当x（,4）时，f'（x）0,

当x（4,0）时f'（x）0,当x（0,W4f'（x）0

•••当x4时，函数f（x）有极大值，f（x）极大=g,

e

当x0时，函数f（x）有极小值，f（x）极小2.

（2）由

（1）知f（x）[x2（2a）x（ab）]ex

.x1是函数f（x）的一个极值点f

（1）0

即e[1（2a）（ab）]0,解得b32a

则f（x）ex[x2（2a）x（3a）]=ex（x1）[x（3a）]

令f（x）0,得％1或乂23a

•••x1是极值点，.二3a1,即a4.

当3a1即a4时，由f（x）0得x（3a,）或x（,1）

由f（x）。

得x（1,3a）

3a）

当3a1即a4时，由f（x）0得x（1,）或乂（由f（x）。

得x（3a,1）.

综上可知：

），递减区间为（1,3a）

）,递减区间为（3a,1）。

当a4时，单调递增区间为（，1）和（3a,

当a4时，单调递增区间为（，3a）和（1,

（3）由2）知：

当a>0时，f（x）在区间（0,1）上的单调递减,

在区间（1,4）上单调递增，

・♦・函数f（x）在区间［0,4］上的最小值为f

（1）（a2）e

又f（0）bex（2a3）0,f（4）（2a13）e40,

・•・函数f（x）在区间［0,4］上的值域是［f

（1）,f（4）］,即［（a2）e,（2a13）e4］］

又g（x）（a14）ex4在区间［0,4］上是增函数，

且它在区间［0,4］上的值域是［（a214）e4,（a214）e8］.

.（a214）e4-（2a13）e4=（a22