二次函数性质的再研究学生教案.docx

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二次函数性质的再研究学生教案

1对1个性化辅导教案

教师姓名

傅老师

上课日期

学生姓名

年级

高一

学科

数学

课题

4．1　二次函数的图像

二次函数图像间的变换

（1）y＝x2与y＝ax2（a≠0）图像间的变换：

二次函数y＝ax2（a≠0）的图像可由y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的|a|倍得到．

（2）y＝ax2与y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）图像间的变换：

函数y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）的图像可由函数y＝ax2（a≠0）的图像变换得到．其中a决定了二次函数图像的开口大小及方向；h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．

（3）y＝ax2与y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图像间的变换．

一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），通过配方可以得到它的恒等形式y＝a（x＋h）2＋k，从而知道，由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像．

[小问题·大思维]

1．二次函数y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）的图像的顶点坐标与对称轴分别是什么？

提示：

顶点坐标为（－h，k），对称轴是x＝－h.

2．二次函数y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）的参数a对其图像的开口大小与方向有什么影响？

提示：

当a>0时，图像开口向上，a值越大，开口越小；

当a<0时，图像开口向下，a值越大，开口越大．

3．二次函数y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）中，h，k对函数图像的变换有何影响？

提示：

h决定了二次函数图像的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．

[研一题]

[例1]　在同一坐标系中作出下列函数的图像．

（1）y＝x2;　

（2）y＝x2－2；　（3）y＝2x2－4x.

本例中如何把y＝2x2－4x的图像变换成y＝x2的图像？

[悟一法]

二次函数图像的作法

（1）描点法：

在利用描点法时，通过配方直接选出关键点，即顶点．再依据对称性选点，可减少选点的盲目性．二次函数图像的开口方向、对称轴与坐标轴的交点在作图时起关键作用，作图时应关注这些几何要素．

（2）图像变换法：

所有二次函数的图像均可以由函数f（x）＝x2的图像经过变换得到．变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式后，再确定变换的步骤．

[通一类]

1．画出y＝

x2－6x＋21的图像，并说明由y＝x2的图像如何变换得到y＝

x2－6x＋21的图像？

[研一题]

[例2]　

（1）已知一个二次函数y＝f（x），f（0）＝3，又知当x＝－3和x＝－5时，函数的值为零，求这个二次函数的解析式；

（2）已知二次函数f（x）图像的对称轴是直线x＝－1，并且经过点（1，13）和（2，28），求二次函数f（x）的解析式．

[悟一法]

求二次函数解析式一般利用待定系数法，但应根据已知条件的特点，灵活选用解析式的形式，一般规律：

（1）已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式，然后列出三元一次方程组求解．

（2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式，y＝a（x－h）2＋k（a，h，k为常数，a≠0）．

（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式，y＝a（x－x1）（x－x2）（a，x1，x2是常数，a≠0）．

[通一类]

2．已知二次函数y＝f（x）分别满足下列条件，

（1）图像过A（0，1），B（1，2），C（2，－1）三点；

（2）图像顶点是（－2，3），且过点（－1，5）．

求对应函数的解析式．

若方程x2－2x－3＝a有两个不相等的实数解，求实数a的取值范围．

1．二次函数y＝x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是（　　）

A．y＝x2＋2　　　　B．y＝2x2C．y＝

x2D．y＝x2－2

2．y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，则点M（a，bc）在（　　）

A．第一象限　　　B．第二象限

C．第三象限D.第四象限

3．已知抛物线与x轴交于点（－1，0），（1，0），并且与y轴交于点（0，1），则抛物线的解析式为（　　）

A.y＝－x2＋1B．y＝x2＋1C．y＝－x2－1D．y＝x2－1

4．将函数y＝2（x＋1）2－2向______平移______个单位，再向______平移______个单位可得到函数y＝2x2的图像．

5．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为（－1，0）、（3，0），其形状与抛物线y＝－2x2相同，则y＝ax2＋bx＋c的解析式为________________．

6．对于二次函数y＝－x2＋4x＋3，

（1）指出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标．

（2）说明其图像是由y＝－x2的图像经过怎样的平移得来．

一、选择题

1．如何平移抛物线y＝2x2可得到抛物线y＝2（x－4）2－1（　　）

A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位

B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位

C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位

D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位

2．设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图像可能是（　　）

3．（2012·山东高考）设函数f（x）＝

，g（x）＝－x2＋bx，若y＝f（x）的图像与y＝g（x）的图像有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（　　）

A．x1＋x2>0，y1＋y2>0B．x1＋x2>0，y1＋y2<0

C．x1＋x2<0，y1＋y2>0D．x1＋x2<0，y1＋y2<0

4．设b＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图像为下列之一，则a的值为（　　）

A．1B．－1

C.

D.

二、填空题

5．将抛物线y＝－x2＋2x－1向左平移1个单位后，得到的解析式是________．

6．函数y＝x2＋m的图像向下平移2个单位，得到函数y＝x2－1的图像，则实数m＝______．

7．已知二次函数f（x）的顶点坐标为（1，－2），且过点（2，4），则f（x）＝________．

8．已知方程x2－4|x|＋5＝m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是________．

三、解答题

9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0）且x

＋x

＝

，试问该抛物线是由y＝－3（x－1）2的图像向上平移几个单位得到的？

10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝－

x2＋2x＋3的形状相同，开口方向相反，与直线y＝x－2的交点坐标为（1，n）和（m，1），求这个二次函数的解析式．

4．2　二次函数的性质

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的性质：

a的符号

性质　　　

a＞0

a＜0

图像开口方向

向上

向下

单调区间

递增区间为[－

，＋∞）；

递减区间为（－∞，－

]

递增区间为（－∞，－

]；

递减区间为[－

，＋∞）

最值

ymin＝

，无最大值

ymax＝

无最小值

对称轴

x＝－

顶点坐标

（－

，

）

注：

记ymax、ymin分别表示函数y＝f（x）的最大值、最小值．

[小问题·大思维]

1．二次函数在其对称轴的两侧单调性一定相反吗？

提示：

y＝ax2＋bx＋c（a≠0），在其对称轴的两侧单调性一定相反，可以借助于二次函数的图像进行说明．

2．二次函数的最值一定在顶点取得吗？

提示：

不一定，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）当x∈R时可以，但当x属于某局部闭区间时，不一定．

3．对二次函数y＝f（x），若满足f（a＋x）＝f（a－x）（a≠0），则其对称轴方程是什么？

提示：

x＝a.

[研一题]

[例1]　已知函数f（x）＝

x2－3x－

.

（1）求这个函数图像的顶点坐标和对称轴，并指出它的单调区间；

（2）已知f（

）＝－

，不计算函数值，试求f（

）；

（3）不直接计算函数值，比较f（－

）与f（－

）的大小．

[悟一法]

（1）“配方法”是研究二次函数图像和性质的基本方法，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：

y＝a（x＋h）2＋k，进而确定顶点坐标为（－h，k），对称轴为x＝－h等其它性质．

（2）比较两函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小．

[通一类]

1．函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞）上是增函数，求f

（1）的取值范围．

[研一题]

[例2]　已知二次函数f（x）＝x2－2x＋3，

（1）当x∈[－2，0]时，求f（x）的最值；

（2）当x∈[－2，3]时，求f（x）的最值；

（3）当x∈[t，t＋1]时，求f（x）的最小值g（t）．

[悟一法]

（1）二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解有以下三种情况：

①对称轴与区间[m，n]都是确定的；

②动轴定区间，即对称轴不确定，区间[m，n]是确定的；

③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定．

对于以上三种情况，①采用数形结合，较易解决；②和③应按对称轴和区间的位置关系分类求解，分对称轴在区间的左侧、内部、右侧三类．

（2）求函数的值域应注意函数的定义域，可直接根据函数的单调性求解，也可先求其最大（小）值，再由最大（小）值确定．

[通一类]

2．已知函数f（x）＝x2－（2a－4）x＋2在[－1，1]内的最小值为g（a），求g（a）的解析式．

[研一题]

[例3]　渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨与实际养殖量x吨和空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0）．

（1）写出y关于x的函数关系式，并求出定义域；

（2）求鱼群的年增长量的最大值；

（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k所应满足的条件．

[悟一法]

二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点．解题关键是列出二次函数解析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值问题．

[通一类]

3．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司将客房日租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

已知f（x）＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

1．函数f（x）＝4－x（x－2）的顶点坐标和对称轴方程分别是（　　）

A．（2，4），x＝2　　B．（1，5），x＝1C．（5，1），x＝1D．（1，5），x＝5

2．二次函数y＝a2x2－4x＋1有最小值－1，则a的值为（　　）

A.

B．－

C．±

D．±2

3．已知二次函数y＝f（x）在区间（－∞，5]上单调递减，在区间[5，＋∞）上单调递增，则下列各式成立的是（　　）

A．f（－2）

C．f（6）

4．函数y＝－x2＋4x的单调递增区间是________．

5．函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0，3]的最大值是________，最小值是________．

6．已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].

（1）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值和最小值；

（2）求实数a的取值范围，使函数y＝f（x）在[－5，5]上是单调函数．

一、选择题

1．下列区间中，使函数y＝－2x2＋x是增函数的是（　　）

A．R　　　B．[2，＋∞）C．[

，＋∞）D．（－∞，

]

2．如果函数y＝4x2－kx－8在[5，20]上是单调函数，则实数k的取值范围为（　　）

A．k≤40B．k≥160C．40

3．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－

，－4]，则m的取值范围是（　　）

A．（0，4]B．[

，4]C．[

，3]D．[

，＋∞）

4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：

万元）分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量（单位：

辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（　　）

A．45.606万元B．45.56万元C．45.6万元D．45.51万元

二、填空题

5．设函数f（x）＝4x2－（a＋1）x＋5在[－1，＋∞）上是增函数，在（－∞，－1]上是减函数，则f（－1）＝________．

6．已知二次函数f（x）＝（x＋a）（bx＋a）（常数a，b∈R）的图像关于y轴对称，其值域为（－∞，4]，则a＝________，b＝________．

7．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为________．

8．已知关于x的不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4<0对于x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．

三、解答题

9．已知二次函数f（x）＝ax2＋2x＋c（a≠0）的图像与y轴交于点（0，1），且满足f（－2＋x）＝f（－2－x）（x∈R）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）已知函数在（t－1，＋∞）上为增加的，求实数t的取值范围．

10．某企业生产的一种电器的固定成本（即固定投资）为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本（即另增加投资）25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入（R）与销售量（t）的关系可用抛物线表示如图．

（注：

年产量与销售量的单位：

百台，纯收益的单位：

万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元）

（1）写出销售收入（R）与销售量（t）之间的函数关系R＝f（t）；

（2）认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年产量的函数关系式，并求年产量是多少时，纯收益最大．

旭光教育师生1对1

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