最新中考数学深度复习讲义教案中考真题模拟试题单元测试 锐角三角函数.docx
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最新中考数学深度复习讲义教案中考真题模拟试题单元测试锐角三角函数
锐角三角函数
▴考点聚焦
1．了解锐角三角函数的定义，并能通过画图找出直角三角形中边、角关系，•这也是本节的重点和难点．
2．准确记忆30°、45°、60°的三角函数值．
3．会用计算器求出已知锐角的三角函数值．
4．已知三角函数值会求出相应锐角．
5．掌握三角函数与直角三角形的相关应用，这是本节的热点．
▴备考兵法
充分利用数形结合的思想，对本节知识加以理解记忆．
▴识记巩固
1．锐角三角函数的定义：
如图，在Rt△ABC中，∠=90°，斜边为c，a，b分别是∠A的对边和邻边，则
sinA=______=_______；
cosA=______=_______；
tanA=______=_______．
2．填表：
30°45°
60°sincostan
注意：
30°，45°，60°的三角函数值是中考的必考考点，其他数值是利用数形结合的方法推导的，要求在理解的基础上进行识记．
3．锐角三角函数间的关系：
（1）互为余角的三角函数间的关系：
sin（90°-）=____，cos（90°-）=_____．
（2）同角三角函数的关系：
①平方关系：
sin2+cos2=_______；
用心爱心专心1
②商数关系：
sin=_______．cos
注意：
对于互为余角的锐角三角函数关系，要求学生能利用定义，•结合图形进行理解，并能灵活运用公式；对于同一锐角三角函数的关系，仅让学生了解，不作中考要求．
4．锐角三角函数值的变化：
（1）当为锐角时，各三角函数值均为正数，且0<sin<1，0<cos<1，当0°≤≤45°时，sin，tan随角度的增大而_______，cos随角度的增大而_______．
（2）当0°<<45°时，sin_____cos；
当45°<<90°时，sin______cos．
识记巩固参考答案
1．A的斜边aA的邻边bA的对边accA的邻边b斜边邻边112
2
2．
3．
（1）cossin
（2）①1②tan4．
（1）增大减小
（2）<>
▴典例解析
例1（2011广东东莞，19，7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C=30°．折叠纸片使BC经过点D．点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．（l）求∠BDF的度数；
（2）求AB的长．
【解】
（1）∵BF=CF，∠C=30，
∴∠FBC=30，∠BFC=120000
用心爱心专心2
又由折叠可知∠DBF=30
∴∠BDF=90
（2）在Rt△BDF中，
∵∠DBF=30，BF=8
∴
BD=∵AD∥BC，∠A=90
∴∠ABC=90
又∵∠FBC=∠DBF=30
∴∠ABD=30
在Rt△BDA中，
∵∠AVD=30，
BD=∴AB=6．
6.（2011湖北襄阳，19，6分）1x22x1先化简再求值：
（，其中xtan601.1）x2x2400000000
【答案】原式x1（x2）（x2）x2·················2分x2（x1）2x1
当xtan6011时，···················3分12
11333原式1.6分
例2已知为锐角，且tan
．
，令
b=2，则此时
2解析方法一：
在Rt△ABC中，∠C=90°，tan
=
∴sin=acos
c
用心爱心专心3
∴原式
=sin=．cos
2方法二：
∵tan=
∴2sin
又∵sin2．+cos2=1．
12．）22
方法三：
∵tan=sin22=，sin+cos=1．cos
2
sincos∴原式
=||coscos
=|tan
答案
3，点D在BC边上，且∠ADC=45°，DC=6，5例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=
求∠BAD的正切值．
解析过点B作BE⊥AD，交AD延长线于E．
∵∠C=90°，
∴sinB=AC3=．BA5
∵∠ADC=45°，∴AC=DC=6，
∴AB=10，BC=8，
用心爱心专心4
∴BD=2．
∵∠ADC=45°，
∴∠BDE=45°，
∴
DE=BE=BD=2
又∵在Rt△ACD中，
∴∴tan∠
BAD=BE1．点评要求∠BAD的正切值，首先得将∠BAD转化到AE7
某一直角三角形中去，因此通过作垂线，构造直角三角形是解决这个问题的关键．
2011年真题
1.（2011甘肃兰州，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为A．12B．13C．14D
【答案】B
2.（2011江苏苏州，9,3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于A.3434
B.C.D.4355
【答案】B
用心爱心专心5
3.（2011四川4，则△ABC的面积为3C
．D
．B．15
E
BDC
【答案】C
4.（2011山东临沂，13，3分）如图，△ABC中，cosB＝
是（）
32，sinC＝，则△ABC的面积52
A．21B．12C．14D．212
【答案】A
5.（2011安徽芜湖，8，4分）如图，直径为10的⊙A经过点C（0,5）和点O（0,0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的余弦值为（）.
A．134B．C．
D．245
【答案】C
6.（2011山东日照，10，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=b．则下列关系式中不成立的是（）．．．a
用心爱心专心6
（A）tanA·cotA=1（B）sinA=tanA·cosA
22（C）cosA=cotA·sinA（D）tanA+cotA=1
【答案】D
7.（2011山东烟台，9,4分）如果△ABC中，sinA=cosB
，则下列最确切的结论是（）A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形
C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形
【答案】C
8.（2011浙江湖州，4，3）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC=2，则tanA
的值为
A．2B．12C
D
【答案】B
9.（2011浙江温州，5，4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值
是（）
A．513B．1213C．512D．135
【答案】A
10．（2011四川乐山2，3分）如图，在4×4的正方形网格中，tanα=
A．1B．2C．1D
．2
2
【答案】B
用心爱心专心
7
11.（2011安徽芜湖，8,4分）如图，直径为10的⊙A经过点C（0,5）和点O（0,0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的余弦值为（）.
A．134B．C．
D．245
【答案】B
12.（2011湖北黄冈，9，3分）cos30°=（）
A．12B
C
D
【答案】C
13.（2011广东茂名，8，3分）如图，已知：
45A90，则下列各式成立的是
A．sinA＝cosAB．sinA>cosAC．sinA>tanAD．sinA<cosA
【答案】B
14.（20011江苏镇江,6,2分）如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若
则sin∠ACD的值为
（）
23
用心爱心专心8
答案【A】
15.（2011湖北鄂州，9，3分）cos30°=（）
A．12B
C
D
【答案】C
16.（2011湖北荆州，8，3分）在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是
A．572121B．C．D．145714
【答案】D
17.（2011湖北宜昌，11，3分）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=则边BC的长为（）.A.30cmB.203cmC.10cmD.5
cm,3
（第11题图）【答案】C
18.
二、填空题
1.（2011江苏扬州，13,3分）如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠
ACB=
【答案】105°
2.（2011山东滨州，16，4分）在等腰△ABC中，∠C=90°则tanA=________.
【答案】1
3.（2011江苏连云港，14，3分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.
用心爱心专心9
【答案】12
5·124.（2011重庆江津，15，4分）在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=5,AB=12,sinA=_________.【答案】
5.（2011江苏淮安，18，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果
AD=ABC的周长等于.
C1
【答案】6
6.（2011江苏南京，11，2分）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，
再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于_________．
O（第11题）AM
【答案】12
7.（2011江苏南通，17，3分）如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝60m，则河宽AB为▲m（结果保留根号）.
用心爱心专心
10
【答案】
8.（2011湖北武汉市，13，3分）sin30°的值为_____．12
9.（20011江苏镇江,11,2分）∠α的补角是120°,则∠α=______,sinα=______.【答案】答案:
60
°，2
10．（2011贵州安顺，14，4分）如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦，则tan∠OBE=．
第14题图45
11.12.
三、解答题
（1）1.（2011【答案】安徽芜湖，17
（1），6分）计算
：
15
（1）2011（）3（cos68）08sin60.2
【答案】
解：
解:
原式1818„„„„„„“„„„„„„„„„„4分
8„„„„„„„„„„„„„6分
2.（2011四川南充市，19，8分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE,点F落在AD上.
（1）求证：
⊿ABE∽⊿DFE;
（2）若sin∠DFE=1,求tan∠EBC的值
.3
用心爱心专心
11
D
【答案】
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠D=∠C=90°
∵⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE
∴∠BFE=∠C=90°
∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°
又∠AFB+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠DFE
∴⊿ABE∽⊿DFE
（2）解：
在Rt⊿DEF中，sin∠DFE=BCDE1=EF3
∴设DE=a,EF=3a,DF=EF2DE2=22a
∵⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE∴CE=EF=3a,CD=DE+CE=4a,AB=4a,∠EBC=∠EBF
又由
（1）⊿ABE∽⊿DFE，∴FEDF22a2===BFAB4a2
∴tan∠EBF=FE2=BF2
tan∠EBC=tan∠EBF=22
。
23.（2011甘肃兰州，21，7分）已知α是锐角，且sin（α+15°
）=
114cos（3.14）tan的值。
30
【答案】由sin（α+15°
α=45°原式
=411334.（2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。
类似的，可
用心爱心专心12
以在等腰三角形中建立边角之间的联系。
我们定义：
等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA底边BC.腰AB容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。
根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°=。
（2）对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是。
（3）如图②，已知sinA3
5，其中∠A为锐角，试求sadA的值。
AB图①CCA
图②
【答案】
（1）1
（2）0<sadA<2
（3）
D
CE
设AB=5a，BC=3a，则AC=4a
如图，在AB上取AD=AC=4a，作DE⊥AC于点E。
则DE=AD·sinA=4a·3
5=12
5a，AE=AD·cosA=4a·4
5=16
5a
CE=4a－16
5a=4
5a
CD∴
sadACD
AC5
5.
锐角三角形函数
用心爱心专心13
一、选择题
A组
1、（2011年北京四中四模）计算：
tan45°＋sin30°＝（）
（A）2（B）
答案：
C
2、（2011年北京四中四模）在△ABC中,C90,sinA
（A）3231（C）（D）2223,则tanB（）53434（B）（C）（D）5543
答案：
D
3、（2011浙江杭州模拟14）如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处.已知AB=83,∠B=30°,则DE的长是（）.A.6B.4C.43D.2
答案：
B
4、（2011浙江杭州模拟15）在直角坐标系xOy中,点P（4,y）在第四象限）
A．2B．8C．－2D．－8
答案：
D
5、（2011山西阳泉盂县月考）如图3△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（）
A、5B、2525C、D、355
答案：
C
6.（2011年北京四中中考全真模拟15）梯子跟地面的夹角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）
A.sinA的值越小，梯子越陡。
B.cosA的值越小，梯子越陡。
C.tanA的值越小，梯子越陡。
用心爱心专心
14
D.陡缓程度与∠A的函数值无关。
答案：
B
7.（2011年北京四中中考全真模拟16）如图，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：
OE：
OF=（）
111A、a:
b:
cB、:
:
、cosA:
cosB:
cosC;D、sinA:
sinB:
sinCabc
答案：
C
8.（2011年江苏盐城）在△ABC中，∠C＝90，AB＝5，BC＝3，则sinB的值是（）
3344B.C.D.5435
答案D
A.
9、（2011杭州模拟25）如图1，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形）（09河北中考试题第5题改编）
（A）1
1（D）2
3
答案：
A
10、（2011杭州模拟26）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处.若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为„„„„„„„„„„„„„（）A.111B.C.D.432
4
答案：
B
用心爱心专心15
11、（2011杭州模拟26）如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,则OD:
OE:
OF=„„„„（）
A.a：
b：
cB.111:
:
C.cosA:
cosB：
cosCD.sinA:
sinB:
sinCabc
答案：
C
12、（2011年北京四中模拟26）
在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，则sinA的值是（）A．
答案：
B
13、（2011年浙江省杭州市中考数学模拟22）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）
A、
答案：
B
14、（2011年浙江杭州二模）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA
的值是（）（第13题）1C.1D.2222B、C、5D、3553，BE=2，则tan∠DBE5
A．
1B．2C
2
第14题用心爱心专心
16
答案：
B
15、（2011年浙江杭州五模）sin30的倒数是（）
A、0.5B、
答案：
C
16、（2011年浙江杭州五模）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半
径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sinEAB的值为（）
A、2o1C、4D、-443434B、C、D、5345
答案：
D
第16题图
17、（2011年浙江杭州七模）如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=75，∠C=45，
那么sin∠AEB的值为（）
A.1B.3C.2D.3222
答案：
D
oo（第17题图）
，sinAB组1．（2011年杭州三月月考）已知在Rt△ABC中，C90°
为（）
（A）3，则tanB的值544（B）35（C）53（D）44
答案：
A
2．（2011年三门峡实验中学3月模拟）计算2sin45°的结果等于（）
A、2
答案：
B
3．（2011年安徽省巢湖市七中模拟）如图，一个小球由地面沿着坡度i=1∶2的坡面向上前进
了10m，此时小球距离地面的高度为（）
用心爱心专心
B、1C、22D、12（第3题图）17
A．5mB．2mC．45mD．10m3
答案：
B
4.（浙江杭州靖江2011模拟）如图，A、B、C、三点在正方形网格线的交点处.若将△ACB绕着点A逆时针旋转到如图位置，得到△AC′B′，使A、
C、B′三点共线。
则tan∠B′CB的值为（）（原创）A.1B.
答案：
D
5.（河南新乡2011模拟）如图，菱形ABCD的周长为40cm，DEAB，32C.D.223
垂足为E，sinA35，则下列结论正确的有（）
2①DE6cm②BE2cm④BD
Ｃ．3个Ｄ．4个③菱形面积为60cm
Ａ．1个
答案：
C
Ｂ．2个
6．（2011年深圳二模）sin30°的值为（）
A．132B．C．D．2232
答案：
A
7、（2011深圳市三模）已知α为等边三角形的一个）
答案：
A
8（2011湖北省崇阳县城关中学模拟）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosAtan∠DBE的值是（▲）
A．3，BE=2，则51B．2C
．
．225
用心爱心专心18
第8题
答案：
B
9（北京四中2011中考模拟12）在△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝2，BC＝1，那么sinA的值是（）.1（A）（B）25
（C）3（D）23
答案：
A
010、（北京四中2011中考模拟14）在△ABC中，∠C=90tanA=1,那么cosB等于（）
A、答案：
D
11．（2011年杭州市上城区一模）Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么c等于（）
A.acosAbsinBB.asinAbsinBababC.D.sinAsinBcosAsinB
答案：
B
12．（2011年浙江省杭州市模2）如图，在菱形ABCD中，DE⊥
AB，cosA
A．B、2C、1D、223，BE=2，则tan∠DBE的值是（）51B．22
C
答案：
B
13、（2011年浙江杭州27模）如图，A、B、C、三点在正方形网格线的交点
处.若将△ACB绕着点A逆时针旋转到如图位置，得到△AC′B′，使A、C
、
用心爱心专心19
B′三点共线。
则tan∠B′CB的值为（）A.1B.
答案：
D
二、填空题
A组
1、（浙江省杭州市2011年中考数学模拟）如图，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，
若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为cm.
（用根式表示）【原创】
答案：
1032C.D.223
10
2、（中江县2011年初中毕业生诊断考试）小兰想测量南塔的高度.她在A处仰望塔顶，测得
仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为m.（小兰身高忽略不计，取31.732）
答案：
43.33、（2011北京四中模拟7）若tan，则锐角α=_________度
答案：
60
4．（淮安市启明外国语学校2010－2011学年度第二学期初三数学期中试卷）计算：
+2sin60°=答案：
用心爱心专心20
5．（2010－2011学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）如图所示，边长
为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于．
第5题图
答案：
126．（2011年江苏连云港）在Rt△ABC中，C90，AC5，BC4，则
tanA答案45
7、（2011年浙江杭州七模）如
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