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反证法在数学中的应用

论文

反证法在数学中的应用

开封县八里湾镇第一初级中学

杨继敏

反证法在数学中的应用

摘要反证法是数学教学中所涉及的基本论证方法,它为一些从正面入手,无法使已知条件和结论找出联系的问题，提供了一条解题途径，它通过给出合理的反设,来增加演绎推理的前提，从而使那种只依靠所给前提而变的山穷水尽的局面,有了柳暗花明又一村的境地,使学生看到增加演绎推理前提的方便功效。

在过去的数学学习中,许多人拘泥于传统的推理方法，常常使问题复杂化,尽管最后能达到目的，但往往费时费力,因为数学的研究往往体现一种思维转换，我们可以用一种“换位”思想来处理我们日常遇到的数学问题。

【关键词:

　逆向思维;假设；归谬;数学逻辑推理；矛盾；结论。

】

１．　引言

反证法是数学中一种重要的解题方法，对数学解题有着重要作用。

其基本思想是通过求证对立面的不成立从而推出正面的正确。

因为这种方法推理严密，说服性强，所以除了在数学中应用反证法,在实际生活中的应用也比较广泛。

在不同的数学情境下,反证法的前提假设不同。

因此，在数学中应用反证法,一定要具体问题提出相应具体正确的假设。

这就需要熟练掌握反证法的反设词，除此,还应熟记反证法的证题步骤——假设，归谬，结论。

有关这个课题的研究,以及涉及到各种文章说明其步骤，适用范围，并附以大量例题。

但对反证法在数学中的应用,文字讲解与反证法适宜的数学题型的归纳总结还欠缺。

本文就基于这方面的考虑,根据反证法在数学中适宜的命题应用进行了详细的文字讲解及归纳总结。

2.反证法初探

２.1反证法的含义及逻辑依据

含义:

所谓反证法就是从反面证明命题的正确性，即欲证明“p则q”,则从反面推导出“若p非q”不能成立,从而证明“若p则ｑ”成立。

它从否定结论出发,经过正确的严格推理,得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾的结果,从而验证产生矛盾的原因，推出原命题的结论不容否定的正确结论。

逻辑依据:

　反证法的证明方法之所以可靠，其逻辑依据就是逻辑学中的排中律。

人们在实践中得出这样的规律：

“ａ是ｂ”和“ａ不是b”两个相反的判断中,总有一个是真的，一个是假的，不存在第三个判断。

这就是逻辑思维规律中的排中律。

通过一个例子，可以很好的说明。

例如：

三角形中至少有一个角大于或等于60°

证明假定三个内角都小于60°,那么它们的和小于180°,这与“三角形内角和等于１80°”的性质相矛盾。

故假设错误，原结论成立。

在同一论证过程中,两个相互反对或者互相矛盾的判断，其中至少有一个是假的,根据事物发展规律，及其利用辩证唯物主义的观点可以说明另外一个是正确的。

2.2　反证法的种类

种类：

运用反证法的关键在于归谬,因此反证法又称归谬法。

根据命题的反面情况不同,反证法分为简单归谬法和穷举归谬法两种。

简单归谬法:

论题结论的反面只有一种情况,只要把这种情况推翻就可以达到目的了。

例如:

若ｘ,y,z均为实数,且a=

－2y＋

/3,b=

-2ｚ+

/3，c=

－２x＋

／3，

则a,ｂ，c中至少有一个大于零?

它的反面就是a，b,ｃ都不大于0。

穷举归谬法:

论题结论的反面不至一种情况,要一一反驳,最后才能肯定原命题结论的正确。

例如：

求证:

一个多边形最多只能有三个内角是锐角。

它的反面就是有四个,五个,六个……内角为锐角。

2．3反证法的模式及基本步骤

模式：

设待证命题为“若A则B”,其中Ａ是题设，B是结论，A，B本身也都是数学判断。

步骤：

用反证法证明数学命题的基本步骤是

第一，假设:

作出与求证结论相反的假定。

第二，归谬：

由假设出发,推出与公理,定义，定理或题设相矛盾的结果。

第三,结论：

由于“矛盾”证明了假设不成立,从而肯定了原求证结论的正确。

值得注意的是假设要十分准确,若命题结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易作出假设，现在将常用的互为否定形式的词语列表：

原结

论词

是

都

大于

小于

至少有一个

至少有ｎ个

假设词

不是

不都

不大于

不小于

一个也没有

至多有两个

至多有一个

有无穷多个

存在唯一的

对任意p使……恒成立

有限

存在

至多有n个

只有有限个

不存在或至少存在2个

至少一个ｐ使……不成立

无限

不存在

２.4运用反证法解决数学问题应注意的问题

第一，必须正确否定结论

　　　正确否定结论是运用反证法的首要问题,如：

命题“一个三角形中,至多有一个内角是直角”。

“至多有一个”是指：

“只有一个”或者“一个也没有”，其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”即“至少两个角是直角”。

第二，必须明确推理特点

否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾,出现什么样的矛盾是不可预测的，也没有一个固定的标准,有的甚至琢磨不定。

一般情况下,我们总是在命题相关的领域里考虑。

例如:

平面几何问题往往联系到的公理,定义,定理等，这就是反证法的特点。

因此在推理前不必要也不可能事先规定得出什么样的矛盾。

只需正确否定结论,严格遵守推理规则,进行步步有据的推理。

矛盾一经出现,证明即告结束。

第三，了解矛盾种类

反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的,推理导出的结果可能与题设或者部分题设矛盾,可能与已知真命题（定义，公理，定理,性质等）相矛盾,也可能与临时假设矛盾,或推出一对相互矛盾的结果等。

２．5在数学中，如何培养反证法的能力

反证法与直接证法的区别是,反证法是人们难以接受的一个困难。

根据逻辑原理明白了为什么推出矛盾,就能说明假设错误,原结论正确。

这其中如何推出矛盾,如何做一个假设又是一个困难，这就要根据前面反证法的步骤进行假设。

而且应该善于发现矛盾,这就要使得我们平时注意以下两个问题。

第一，必须掌握这一结构式和这一结构规范化的表述,一定抓住重点,尽量分散难点,化难为易。

第二,学会正确引入假设，进行逻辑推理,在命题中找关键词语“任何”、“存在”、“至少”、“唯一”……

以上两种能力我们在平时做数学题时应善于发现，认真体会与掌握，从而让反证法为我们解题带来方便。

我将在下一章反证法在数学中的应用中举例说明。

3.反证法在数学中的应用

关于反证法在数学中的应用最早是在平面几何教材中出现的,但作为一种基本的解题方法,它在数学其它各部分内容,如:

代数,立体几何,三角,概率及解析几何中都有应用。

那么究竟哪类数学命题用反证法证明起来更加简单快捷呢？

为了充分了解反证法这种数学思维方式,我对常能用反证法证明的题目给予总结并用具体例子来证明。

这些应用充分体现了反证法在数学解题中的一些技巧及其重要作用。

3．１基本定理或者初始命题的证明

基本定理或初始命题的证明,从正面证明往往没有头绪,不知从何证起。

但这类命题的假设非常好找而且有定理或初始命题的结论作为依据。

运用反证法,我们只要将结论给予否定即可,从而推出原结论正确。

定理：

坐标都是整数的点叫作整点。

例1.求证:

平面上任意三个整点都不能组成正三角形

分析:

这是一个初始命题证明的例子，从正面证明的话我们就应所有整点都不可以组成三角形，这就具有不可操作性，难度较大。

但其假设为:

平面上任意三个整点都能组成三角形，我们只要找出一个例子推翻反设即可。

因为我们有“坐标是整数的点叫做整点”作为依据,反证法证明起来就比较容易。

证明：

如图

_

R

_

R

_

R

_

A

_

C

_

B

设平面上三个整点A，B,Ｃ组成一个三角形,由于上下或左右平移整数个单位，整点仍变为整点,因此不妨设Ａ为原点，因|ＡB|=R,ＢA与x轴正方向夹角为

则AC与x轴正向夹角为（

+

），B的坐标为（ａ，b）,Ｃ的坐标为（ｘ，y）

于是：

因为a，ｂ均为整数，且至少一个不为零,所以ｘ，y不可能为整数，它与已知条件矛盾。

故任意一整点三角形都不可能是正三角。

例2.在同一平面内有四条直线a，ｂ,c,d，a与b相交，ｃ垂直于d，d垂直于b。

求证：

c与d也相交

证明假设c平行d,因为c垂直ａ,所以ｄ垂直a。

又因为d垂直b,所以a平行b,这与已知a与b相交矛盾。

故c平行ｄ不成立,所以c与d也相交。

例3．（最小模原理）若区域D内部恒为常数的解析函数

，在Ｄ内的点

有

≠０,则|

|不可能是|

｜在D内的最小值,试证之。

提示反证法,应用最大模原理。

注　最小模原理的推论：

设

（1）函数

在有界区域D内解析,在有界闭区域

上连续;

（２）

≠0（

）；

（３）存在

>0,使｜

｜≥

（

），

则除为常数外，|

|＞

（

）.

证明：

假设|

|是

在D内的最小值

因

则

是

在D内的最大值,

是解析函数、

由最大模原理，

在D内恒为常数，与题设矛盾

故|

|不可能是｜

|在Ｄ内的最小值。

３.2　存在性问题的证明

在数学中,证明存在性问题时,因为这类命题牵涉到的情况分类比较多,以至于从正面论证的话，各种情况都必须讨论,其工程量非常浩大。

但存在性问题的反面情况分类比较少，只要给予一一否定即可,这样工作量就显然减少。

例1.已知△ABC的三边满足b=（a+c）/2，求证:

△ABＣ中至少有两个角不超过60°

分析:

从正面证明的话,结论可分为“两个角不超过60°”、“三个角不超过60°”论证起来要证明“两个”、“三个”角的度数，比较麻烦。

但其反面情况为“一个角不超过６0°”、“0各角不超过６0°”,论证起来只需证明“一个”、“０个”角的度数。

证明：

因为　∠A+∠Ｂ+∠C=１80°，所以，假设△ABC中至多有两个角超过６0°

即所设等价于“△ＡBＣ中有两个角超过６０°”,不妨设∠Ａ>60°,∠Ｃ>６0°

则:

cｏs∠A　<1/2,coｓ∠Ｃ＜1/２

由余弦定理得：

ﻩﻩ

以上两式相加得:

＜

　即

<

（

）

与已知矛盾，故假设错误ﻩ

所以,△ＡBC中,至少有两个角不超过60°。

例2.已知a,ｂ,ｃ是互不相等单位非零实数

求证:

三个方程

ﻩ

至少有一个方程有两个相异的实根

证明：

假设三个方程中都没有两个相异的实根

则：

得:

即得ａ=b=c　与已知矛盾

所以假设不成立，原命题成立。

即方程中至少有一个方程有两个相异得实根

说明：

遇到存在性问题,做出与命题结论相反的假设时要认真弄清题意，给出准确的反设次。

例如:

“至少有一个”，“至多有两个”……

３.３无限性命题的证明

对于无限性命题，从正面去讨论一个无限对象具有某种性质,其工程量太庞大，以至于不能实施。

当采用反证法时,就可以轻而易举的把无限转化为有限。

有限性命题论证起来就容易的多。

例1.求证

是无理数

证明:

假设

，

，

是无公约数的整数。

将

两边平方得

，所以

是偶数，因此p也须是偶数（因为奇数2k+1的平方后是4ｋ2＋4k＋1＝2（２k２＋2k）+1仍旧是奇数）。

所以我们可以设ｐ是２a的样子,代入上式得（２a）2＝2q2，即4ａ2=2ｑ2两边同时消掉2可得2a2＝q2，即ｑ也是偶数。

由于p,q都是偶数,它们有一个公约数２,这和我们最初假设ｐ，q无公约数产生矛盾，因此我们假设

是有理数是不对的。

所以

是无理数。

例2.求证0与1之间有无穷个有理数

证明：

假设在0与1之间有理数只有（有限的）n个ａ1,ａ2,a3……an根据有理数之积仍为有理数，于是得到与ａ1,a2，a3……ａn都不相同的有理数p，使得P=a1,a2，ａ3……aｎ-1，aｎ

因为ａ1，a2,a3……aｎ-1，ａn都为小于1的正有理数,所以0

故在0和１之间至少有n+1个有理数,这与假设矛盾。

所以,原命题成立。

说明:

对无限性命题进行证明时，通过反设为有限个后，要通过证明有限从其中找出来无限个结论从而否定假设错误,这是突破口。

3．4　唯一性命题的证明

唯一性命题虽然结论为有限的，而且只有一个,但证明时往往论据不是很充分,尤其体现在立体几何里面。

运用反证法，我们一般反设结论有两个，然后通过已知条件与反设推出矛盾。

已知a与ｂ是异面直线

求证:

过ａ且平行于b的平面只有一个

证明　

如图，假设过直线ａ且平行于b的平面有两个，分别为

和

在直线ａ上取点A,过b和Ａ确定一个平面

且

与

和

分别交与过点Ａ的直线c和d

因为b∥ａ,所以ｂ∥c;同理因为ｂ∥d,所以c∥d

这与ｃ与ｄ相交于点A矛盾,故假设不成立,原结论正确。

3．5肯定性命题的证明

结论以“……总是……”，“……都……”，“……全……”等出现的,都是肯定性命题,遇到肯定性论断时，往往已知条件较少,对于证题就有一定的限制。

这时我们就应考虑运用反证法,一经反设，已知条件便会增加,然后可以通过多个已知条件，推出否定结论，找到推理思路。

定理：

两条平行线可以确定一个平面

定理:

一条直线与直线外一点可以确定一个平面

例1已知:

a//b,a

平面

=A,如图

　求证:

直线b和平面

不相交

分析：

证明线与面相交，从正面出发的话,就必须证出线面有交点，但线面有交点很难证明,运用反证法，我们假设直线和平面不相交，即:

直线在平面内或者直线与平面平行，我们只要将其分类否定就可以。

证明直线b和平面

不相交,即ｂ在平面

内或ｂ//

（１）若b∈α

因为a/／b　且a

所以ａ／/α这与a

=Ａ矛盾

（2）　

如图，如果ｂ//α,因为a／/b,所以a和ｂ确定一个平面

显然平面α与平面β相交，设

=ｃ,因为b//α，所以b／/c

又因为a//b，所以a／/ｃ且ａ

ｃ∈α,故a//α,这与ａ

=Ａ矛盾

由

（1）（２）知，假设不成立,所以直线b与平面

相交

例2已知△ABＣ的三边a,ｂ,ｃ的倒数成等差数列

求证：

∠B<９０°

证明假设∠B<90°不成立，则∠B＞９０°

所以a,b,ｃ中b边最大,1／a,1/ｂ，1／c中1/b最小，1/ｂ-１/a＜0,1／c-1／b＞0

所以1/ｂ-1／a

１/ｃ-1／b,这和1／ａ,１/b，１/c成等差数列矛盾，所以∠B<90°

说明：

在三角形中，最长的那个边对应的角也是三个角中最大的。

3.6否定性命题的证明

命题的结论中涉及到否定论断时，因为再否定即为肯定,对于肯定的结论一般比较好处理,故宜用反证法。

采用反证法可把否定性断言转化成某种肯定性断言，从而找到推理途径。

因为我们掌握绝大部分概念，公理，定理，定理及公式都是肯定性断言，而运用肯定性断言去推理一个命题要比运用否定性断言去推证一个命题更直观,容易。

下面看一个具体例子。

例1求证:

不存在7条棱的多面体

分析：

不存在７条棱的多面体,正面证明时,我们总想用大量例子来说明没有7条棱的多面体。

但大量举例最终还是有局限性,不能完全概括总结。

这时就要考虑运用反证法将不存在转化为存在，然后加以否定。

证明　假设存在７条棱的多面体，那么这个多面体每一个面只能是三角形

因为若有四边形或者边数更多的多边形,那么除了这些边最多还剩3条棱,就无法和4个以上的顶点连接了，又因为如果各个面都是三角形的多面体且有m个面,每个棱都是两个面得边,所以３/２m=7,即m=14/3，矛盾，所以不存在7条棱的多面体

说明:

m为多面体面得个数，所以m必须大于0。

3.7所求命题为不等式

对于不等式的证明,一般情况都是通过直接证明而得出结论的，但有少数不等式题目,直接证明困难较大,难以推出结论。

这种情况下，我们可以试试反证法。

要注意的是反设不等式时，切忌不可“多加”或“少取”哪个条件，例如：

“a>b”其反设为“a

ｂ”，不可忘记“＝”号；“a

b”其反设为“a>b”或“ａ

例1已知:

如图示△ABC中,∠BＡC=90°,AD⊥BC于D

求证：

AD+BC>ＡC+AB

证明假设AD+BC

则有0<ｈ+ａ<ｂ+ｃ

两边同时平方得:

（1）

因为2

＝ah=bｃ且在△ＡBC中,∠A＝９０°,所以

则（１）式变为:

　　　（２）

由

（2）得:

矛盾,故假设错误,所以ＡD＋BC＞AB+AＣ

说明:

本题实质实质证明逆否命题,逆否命题不成立,原命题正确，这是反证法应用范围得一种常见情况。

以上关于反证法在数学中的应用，我主要总结了七种适宜命题，对于这七类命题，反证法非常有效。

4.总结

反证法这种方法思路非常清晰，即对所证命题得结论给出否定假设经过一系列得逻辑推理，推出一个与已知条件（或已知定理）相矛盾的结果从而说明假设是错误的,则原命题正确。

反证法是数学中一种重要的解题方法,是“数学中精良武器之一”,在许多方面有不可替代的作用，它以独特的证明方法和思维方式对培养我们逻辑思维能力和创造思维能力有着重大的意义。

反证法在数学中不但可以单独使用也可以与其它方法综合使用,并且可以在一道题里面多次使用,我们要熟练运用使其为我们带来更大的利益。

参考文献

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