空间几何体的表面积与体积.ppt

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第二节空间几何体的表面积与体积1.1.空间几何体的侧面积和表面积空间几何体的侧面积和表面积

（1）

（1）简单几何体的侧面展开图的形状简单几何体的侧面展开图的形状名称名称侧面展开图形状侧面展开图形状侧面展开图侧面展开图圆圆柱柱_圆圆锥锥_矩形矩形扇形扇形名称名称侧面展开图形状侧面展开图形状侧面展开图侧面展开图圆圆台台扇环扇环直棱柱直棱柱_矩形矩形名称名称侧面展开图侧面展开图形状形状侧面展开图侧面展开图正正nn棱锥棱锥nn个全等的个全等的_正正nn棱台棱台nn个全等的个全等的等腰梯形等腰梯形等腰三角形等腰三角形

（2）

（2）多面体的侧面积和表面积多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和.（3）（3）旋转体的侧面积和表面积旋转体的侧面积和表面积若圆柱的底面半径为若圆柱的底面半径为rr，母线长为，母线长为l，则，则SS侧侧=_,S=_,S表表=_=_.=_=_.2r2rl2r2r22+2r+2rl2r（r+2r（r+l）若圆锥的底面半径为若圆锥的底面半径为rr，母线长为，母线长为l，则，则SS侧侧=_,S=_,S表表=_=_.=_=_.若圆台的上下底面半径分别为若圆台的上下底面半径分别为r,rr,r，母线长为，母线长为l，则则SS侧侧=_,S=_,S表表=_.=_.若球的半径为若球的半径为RR，则它的表面积，则它的表面积S=_.S=_.rrl（r+r）（r+r）l（r（r22+r+r22+r+rl+r+rl）44RR22rr22+r+rlr（r+r（r+l）2.2.几何体的体积公式几何体的体积公式几何体名称几何体名称体积体积棱棱（圆圆）柱柱V=_（SV=_（S为底面面积，为底面面积，hh为高为高）棱棱（圆圆）锥锥V=_（SV=_（S为底面面积，为底面面积，hh为高为高）棱棱（圆圆）台台V=_V=_（S,S（S,S为上、下底面面积，为上、下底面面积，hh为高为高）球球V=_（RV=_（R为球半径为球半径）判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确（请在括号中打请在括号中打“”或或“”）.）.

（1）

（1）长方体的体积等于长、宽、高之积长方体的体积等于长、宽、高之积.（）.（）

（2）

（2）锥体的体积等于底面面积与高之积锥体的体积等于底面面积与高之积.（）.（）（3）（3）球的体积之比等于半径比的平方球的体积之比等于半径比的平方.（）.（）（4）（4）台体的体积可以转化为两个锥体的体积之差台体的体积可以转化为两个锥体的体积之差.（）.（）（5）（5）直径为直径为11的球的表面积的球的表面积S=4rS=4r22=4.（）=4.（）【解析解析】

（1）

（1）正确正确.长方体是一种特殊的直四棱柱，其体积长方体是一种特殊的直四棱柱，其体积V=V=ShSh=abcabc（其中其中a,b,ca,b,c分别为长方体的长、宽、高分别为长方体的长、宽、高）.）.

（2）

（2）错误错误.锥体的体积等于底面面积与高之积的锥体的体积等于底面面积与高之积的（3）（3）错误错误.因为球的体积因为球的体积故球的体积之比等于半故球的体积之比等于半径比的立方径比的立方.（4）（4）正确正确.由于台体是由平行于锥体的底面的平面截锥体所得由于台体是由平行于锥体的底面的平面截锥体所得的在截面与底面之间的几何体，故其体积可转化为两个锥体的在截面与底面之间的几何体，故其体积可转化为两个锥体的体积之差的体积之差.（5）（5）错误错误.直径为直径为11的球的半径为的球的半径为故其表面积故其表面积S=4rS=4r22=4（）4（）22=.=.答案答案:

（1）

（2）

（1）

（2）（3）（3）（4）（5）（4）（5）1.1.一个正方体的体积是一个正方体的体积是88，则这个正方体的内切球的表面积，则这个正方体的内切球的表面积是是（）（）（A）8（B）6（C）4（D）（A）8（B）6（C）4（D）【解析解析】选选C.C.正方体的体积是正方体的体积是88，正方体的棱长为正方体的棱长为22，故内切球的半径故内切球的半径r=1r=1，球的表面积球的表面积S=4rS=4r22=4.=4.2.2.正六棱柱的高为正六棱柱的高为66，底面边长为，底面边长为44，则它的表面积为，则它的表面积为（）（）（A）48（3+）（B）48（3+2）（A）48（3+）（B）48（3+2）（C）24（）（D）144（C）24（）（D）144【解析解析】选选A.A.正六棱柱的表面积为正六棱柱的表面积为3.3.直角三角形两直角边直角三角形两直角边AB=3AB=3，AC=4AC=4，以，以ABAB为轴旋转一周所得的为轴旋转一周所得的几何体的体积为几何体的体积为（）（）（A）12（B）16（C）9（D）24（A）12（B）16（C）9（D）24【解析解析】选选B.B.由题意知，该几何体是底面半径为由题意知，该几何体是底面半径为44，高为高为33的圆锥，故其体积的圆锥，故其体积4.4.若某几何体的三视图若某几何体的三视图（单位：

单位：

cm）cm）如图所示，则此几何体的侧面积为如图所示，则此几何体的侧面积为_cm_cm22.【解析解析】由三视图可知该几何体是圆锥，由三视图可知该几何体是圆锥，其底面圆半径为其底面圆半径为33，母线长，母线长l=5,=5,SS侧侧=22335=15（cm5=15（cm22）.）.答案答案:

15155.5.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为_._.【解析解析】由三视图可知，该几何体是一个长方体与一个圆柱的由三视图可知，该几何体是一个长方体与一个圆柱的组合体，则组合体，则V=8V=8884+4+44224=256+64.4=256+64.答案答案:

256+64256+64考向考向11几何体的折叠与展开几何体的折叠与展开【典例典例11】

（1）

（1）如图，在三棱柱如图，在三棱柱ABC-ABCABC-ABC中，中，ABCABC为等为等边三角形，边三角形，AAAA平面平面ABCABC，ABAB=3,AA=4=3,AA=4，MM为为AAAA的中点，的中点，PP是是BCBC上一点，且由上一点，且由PP沿棱柱侧面沿棱柱侧面经过棱经过棱CCCC到到MM的最短路线长为的最短路线长为，设这条路线与，设这条路线与CCCC的交点的交点为为NN，则，则PC=_PC=_，NC=_.NC=_.

（2）

（2）如图为一几何体的展开图，其中如图为一几何体的展开图，其中四边形四边形ABCDABCD是边长为是边长为66的正方形，的正方形，SDSD=PD=6=PD=6，CR=SCCR=SC，AQ=APAQ=AP，点，点SS，DD，AA，QQ及点及点PP，DD，CC，RR分别共线，沿图中分别共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使虚线将它们折叠起来，使PP，QQ，RR，SS四点重合，则需要四点重合，则需要_个这样的几何体，可以拼成一个棱个这样的几何体，可以拼成一个棱长为长为66的正方体的正方体.【思路点拨思路点拨】

（1）

（1）可将该三棱柱的侧面沿棱可将该三棱柱的侧面沿棱BBBB展开，然后利展开，然后利用平面几何的知识解决用平面几何的知识解决.

（2）.

（2）将平面图形折叠后得到一个四棱锥，将平面图形折叠后得到一个四棱锥，然后利用体积相等求解然后利用体积相等求解.【规范解答规范解答】

（1）

（1）将该三棱柱的侧面沿棱将该三棱柱的侧面沿棱BBBB展开，展开，如图所示：

如图所示：

设设PC=x,PC=x,则则MPMP22=MA=MA22+（AC+x）+（AC+x）22.MP=MP=，MA=2MA=2，AC=3AC=3，x=2,x=2,即即PC=2.PC=2.又又NCAMNCAM，即即，答案答案:

22

（2）

（2）由题意知，将该展开图沿虚线折叠起由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥来以后，得到一个四棱锥P-ABCDP-ABCD，其中，其中PDPD平面平面ABCDABCD，因此该四棱锥的体积，因此该四棱锥的体积而棱长为而棱长为66的正方体的正方体的体积的体积故需要故需要个这样的几何体，个这样的几何体，才能拼成一个棱长为才能拼成一个棱长为66的正方体的正方体.答案答案:

33【互动探究互动探究】保持本例题保持本例题

（1）

（1）条件不变，则一只蚂蚁从条件不变，则一只蚂蚁从BB点出点出发沿三棱柱的三个侧面绕一周，到达发沿三棱柱的三个侧面绕一周，到达BB点的最短路线的长为点的最短路线的长为_._.【解析解析】由题意可知，其最短路线为侧面展开图的对角线，由题意可知，其最短路线为侧面展开图的对角线，故其最短路线的长为故其最短路线的长为答案答案:

【拓展提升拓展提升】1.1.求几何体表面上两点间的最短距离的方法求几何体表面上两点间的最短距离的方法常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为求平面常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为求平面上两点间的距离上两点间的距离.2.2.解决折叠问题的技巧解决折叠问题的技巧

（1）

（1）解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形中解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形中（折叠前的平面折叠前的平面图形和折叠后的空间图形图形和折叠后的空间图形）元素间的位置关系和数量关系哪些元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化，哪些没有发生变化发生了变化，哪些没有发生变化.

（2）

（2）折叠问题中的前后两个图形，在折线同侧的元素的位置关折叠问题中的前后两个图形，在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不发生变化；在折线异侧的元素的位置关系和数系和数量关系不发生变化；在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化量关系发生变化.【变式备选变式备选】

（1）

（1）如图，底面半径为如图，底面半径为11，高为高为22的圆柱，在的圆柱，在AA点有一只蚂蚁，现在点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由这只蚂蚁要围绕圆柱由AA点爬到点爬到BB点，问点，问蚂蚁爬行的最短距离是蚂蚁爬行的最短距离是_._.【解析解析】把圆柱的侧面沿把圆柱的侧面沿ABAB剪开，然后展开成的大致图象为剪开，然后展开成的大致图象为如图所示的平面图形，连接如图所示的平面图形，连接ABAB，则，则ABAB即为蚂蚁爬行的最即为蚂蚁爬行的最短距离短距离.AB=AB=2,AAAB=AB=2,AA为底面圆的周长，为底面圆的周长，则则AA=2AA=21=21=2，即蚂蚁爬行的最短距离为即蚂蚁爬行的最短距离为答案答案:

（2）

（2）如图，已知一个多面体的平面如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为展开图由一个边长为11的正方形和的正方形和44个边长为个边长为11的正三角形组成，则该多面体的体积是的正三角形组成，则该多面体的体积是_._.【解析解析】由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为11，侧棱长为侧棱长为11，斜高为，斜高为连接顶点和底面中心即为高，连接顶点和底面中心即为高，可得高为可得高为所以体积为所以体积为答案答案:

考向考向22空间几何体的表面积空间几何体的表面积【典例典例22】

（1）（2012

（1）（2012北京北京高考高考）某三棱锥的三视图如某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积图所示，该三棱锥的表面积是是（）（）（A）28+（B）30+（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+（C）56+（D）60+

（2）（2012

（2）（2012辽宁高考辽宁高考）一个几何体的三视图如图所示，则该几一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为何体的表面积为_._.【思路点拨思路点拨】

（1）

（1）由三视图还原直观图，再求表面积由三视图还原直观图，再求表面积.

（2）

（2）读懂三视图，该几何体为长方体挖掉一个底面直径为读懂三视图，该几何