与圆有关的函数问.docx

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与圆有关的函数问

与圆有关的函数问题（2012.A）

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（－1，0），B（4，0），C（0，－4），⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求阴影部分的面积；

（3）在x轴的正半轴上有一点P，作PQ⊥x轴交BC于Q，设PQ＝k，△CPQ的面积为S，求S关于k的函数关系式，并求出S的最大值．

2.如图，在平面直角坐标系中，半圆M的圆心M在x轴上，半圆M交x轴于A（－1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C，弦AC的垂直平分线交y轴于点D，连接AD并延长交半圆M于点E．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）求证：

AC＝CE；（3）若P为x轴负半轴上的一点，且OP＝

AE，是否存在过点P的直线，使该直线与

（1）中所得的抛物线的两个交点到y轴的距离相等？

若存在，求出这条直线的解析式；若不存在．请说明理由．

3.如图，已知射线DE与x轴和

轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4），动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；

（2）以点C为圆心、

t个单位长度为半径的⊙C与

x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．

①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围；

②当△PAB为等腰三角形时，求t的值．

4.如图，二次函数y＝x2＋px＋q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），△ABC的面积为

．

（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

5.如图，在平面直角坐标系中，以点A（－3，0）为圆心、5为半径的圆与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于D、M两点（点D在点M的下方）．

（1）求以直线x＝－3为对称轴、且经过D、C两点的抛物线的解析式；

（2）若点P是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC＋PD的取值范围；

（3）若点E为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F，使得以点B、C、E、F

为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．

6..在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥

轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（

为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．

（1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在

轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．

7..已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A（3，0），C（0，4），点D的坐标为D（－5，0），点P是直线AC上的一动点，直线DP与

轴交于点M．问：

（1）当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP的函数解析式；

（2）当点P沿直线AC移动时，是否存在使△DOM与△ABC相似的点M，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R（R＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P．若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E，F．请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S，若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．注：

第（3）问请用备用图解答．

8.如图，对称轴为直线x＝

的抛物线经过点A（8，14）、B（0，2），与x轴相交于点C、D（C在D的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是x轴上的动点，试判断PA＋PB与AC＋BC的大小关系，

并说明理由；

（3）在该抛物线上是否存在点Q，使得以Q为圆心的⊙Q既与直线BC

相切，又与y轴相交？

若存在，求出⊙Q的半径r的取值范围；若

不存在，请说明理由．

9.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（0，4），且抛物线的对称轴为直线x＝2．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若该抛物线的顶点为B，在抛物线上是否存在点C，使得A、B、O、C四点构成的四边形为梯形？

若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）试问在抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与对称轴相交？

若存在，请求出点P的坐标，并求出对称轴被⊙P所截得的弦EF的长度；若不存在，请说明理由．

10.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（m，0）（0＜m＜

）、B（

，0），以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆的交点，连接BE与AD相交于点F．

（1）求证：

BF＝DO；

（2）若

＝

，试求经过B、F、O三点的抛物线l的解析式；

（3）在

（2）的条件下，将抛物线l在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象，若直线BE向上平移t个单位与新图象有两个公共点，试求t的取值范围．

11.如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA＝5．若抛物线y＝

x2＋bx＋c过O、A两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）如图2，在

（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点（点P与点C不重合）．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切？

若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．

12.如图1，在第一象限内，直线y＝mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y＝mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点．

（1）当点A的坐标为（

，p）时，

①填空：

p＝_________，m＝_________，∠AOE＝_________；

②如图2，连结QT、QN、TM、ME、EN，当r＝2时，试说明：

以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；

（2）在图1中，连结EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：

对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y＝ax2＋bx＋c，a的值会变化吗？

若不变，求出a的值；若变化，请说明理由．