一-二维形式的柯西不等式.ppt

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新课导入新课导入探究探究类比不等式类比不等式a2+b22ab的推导过程，的推导过程，通过乘法及配方，研究关于它的不等关通过乘法及配方，研究关于它的不等关系系.分析分析把该式首先展开，再用配方法，问把该式首先展开，再用配方法，问题就可以解决。

题就可以解决。

解：

解：

展开乘积得展开乘积得（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2由于由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=（ac+bd）2+（ad-bc）2即即（a2+b2）（c2+d2）=（ac+bd）2+（ad-bc）2而而（ad-bc）20,因此因此（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2提示提示上式上式

（1）是本节课所要研究是本节课所要研究的柯西不等式的柯西不等式.教学目标教学目标知识与能力知识与能力1.1.认识二维柯西不等式的代数和向量形认识二维柯西不等式的代数和向量形式式.理解二维柯西不等式的几何意义理解二维柯西不等式的几何意义.3.3.掌握柯西不等式的应用掌握柯西不等式的应用.2.2.通过探究，思考和讨论，使学生从数形通过探究，思考和讨论，使学生从数形两方面认识柯西不等式的代数和向量的等两方面认识柯西不等式的代数和向量的等价关系。

价关系。

过程与方法过程与方法1.1.通过探究，从式子变形的角度证出柯通过探究，从式子变形的角度证出柯西不等式，从而认识其代数形式西不等式，从而认识其代数形式.2.2.借助平面向量，从数量积的角度推出借助平面向量，从数量积的角度推出二维柯西不等式的向量形式二维柯西不等式的向量形式.从而给出从而给出几何意义。

几何意义。

情感态度与价值观情感态度与价值观锻炼学生分析问题，解决问锻炼学生分析问题，解决问题的能力，并培养其审美观。

题的能力，并培养其审美观。

教学重难点教学重难点重点重点难点难点定理定理

（1）和定理和定理

（2）.数形结合认识数形结合认识

（1）与与

（2）两式两式的等价关系的等价关系.定理定理1（二维形式的柯西不等式）（二维形式的柯西不等式）若若a,b,c,d都是实数，则都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2,当且仅当当且仅当ad=bc时，等号成立时，等号成立.分析分析你能否证明你能否证明证证明明讨论讨论对一个代数结果进行最简单的诠释，对一个代数结果进行最简单的诠释，往往要借助直观的几何背景。

讨论柯西往往要借助直观的几何背景。

讨论柯西不等式的几何意义。

不等式的几何意义。

0xy设在平面直角坐标系设在平面直角坐标系xoy中有向量中有向量=（a,b）,=（c,d），与之间的夹角为，与之间的夹角为，0（如图）（如图）根据向量数量积的定义，有根据向量数量积的定义，有.=cos用平面向量的坐标表示不等式用平面向量的坐标表示不等式

（2）得：

得：

所以所以.=cos因为因为cos1,所以所以.定理定理2（柯西不等式的向量形式）（柯西不等式的向量形式）设设，是两个向量，则是两个向量，则.,当且仅当当且仅当是零向量或存在实是零向量或存在实数数k,使使=k时，等号成立时，等号成立.探究探究试从不等式试从不等式

（1）推导不等式推导不等式

（2），再，再进行反方向的推导，从数形结合的角度进行反方向的推导，从数形结合的角度体会两者的等价关系。

体会两者的等价关系。

观察观察如图，在平面直角坐标系中，设点如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2的坐标分别是的坐标分别是（x1,y1）（x2,y2），根据，根据oP1P2的的边长关系，你能发现这四个实数边长关系，你能发现这四个实数x1,y1,x2,y2蕴蕴含着何种大小关系吗？

含着何种大小关系吗？

0xy0xy.定理定理3（二维形式的三角不等式二维形式的三角不等式）能用柯西不等能用柯西不等式证明吗？

式证明吗？

证证明明x12+y12+2x1x2+y1y2+x22+y22x12+y12-2（x1x2+y1y2）+x22+y22=x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=（x1-x2）2+（y1-y2）2分析分析不等式不等式（3）（3）对于任何实数都成立，于是可对于任何实数都成立，于是可以得到：

以得到：

探究探究请结合平面直角坐标系，解释请结合平面直角坐标系，解释不等式不等式（4）的几何意义。

的几何意义。

例例1分析分析虽然可以作乘法展开上式的两边，虽然可以作乘法展开上式的两边，然后在比较它们的大小。

但如果注然后在比较它们的大小。

但如果注意到不等式的形式与柯西不等式的意到不等式的形式与柯西不等式的一致性，既可以避免繁杂了。

一致性，既可以避免繁杂了。

已知已知a,b为实数。

为实数。

试证试证（a4+b4）（a2+b2）（a3+b3）证证明明根据柯西不等式，有根据柯西不等式，有（a4+b4）（a2+b2）（a2a+b2b）2=（a3+b3）2反思反思在证明不等式时，联系经典不等式，既在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算可以启发证明思路，又可以简化运算.例例2分析分析利用不等式解决极值问题，通常设法在利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。

这个函数的解析式是两部分的等号的条件。

这个函数的解析式是两部分的和，若能化成和，若能化成ac+bd的形式，就能利用柯西不的形式，就能利用柯西不等式求其最大值。

等式求其最大值。

例例3分析分析问题中问题中a+b=1这个条件，由于常这个条件，由于常数数1的特殊性，用的特殊性，用a+b去乘任何数或去乘任何数或式子，都不会改变它们的值式子，都不会改变它们的值.证证明明课堂小结课堂小结1.1.二维形式的柯西不等式的代数形式二维形式的柯西不等式的代数形式.若若a,b,c,d都是实数，都是实数，则则（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2,当当且仅当且仅当ad=bc时，等号成立时，等号成立.2.二维形式的柯西不等式的向量形式二维形式的柯西不等式的向量形式.设设，是两个向量是两个向量，则则.,当且仅当当且仅当是零向量或存在实数是零向量或存在实数k,使使=k时时，等号成立等号成立.3.二维形式的柯西不等式的应用二维形式的柯西不等式的应用.随堂练习随堂练习习题答案习题答案习题习题3.1（第（第36页）页）