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高三数学综合复习知识点整理

第1讲集合

1.集合:

某些指定的对象集在一起成为集合

(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作;若

b不是集合A的元素,记作;

(2)集合中的元素必须满足:

确定性、互异性与无序

性;

确定性:

设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,

则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必

有一种且只有一种成立;

互异性:

一个给定集合中的元素,指属于这个集合的

互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复

出现同一元素;

无序性:

集合中不同的元素之间没有地位差异,集合

不同于元素的排列顺序无关;

(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;

列举法:

把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;

描述法:

把集合中的元素的公共属性描述出来,写在

大括号{}内。

具体方法:

在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意:

列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。

(4)常用数集及其记法:

非负整数集(或自然数集),记作N;

正整数集,记作N*或N+;

整数集,记作Z;

有理数集,记作Q;

实数集,记作Ro

2.集合的包含关系:

(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作AB(或);

集合相等:

构成两个集合的元素完全一样。

若AB且BA则称

A等于B,记作A=B;若AB且导B,则称A是B的真子集,记作AB;

(2)简单性质:

1)AA2)A;3)若ABBC则AC;4)若

集合A是n个元素的集合,则集合A有2个子集(其中2-1个真子集);

3.全集与补集:

(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为

全集,记作U

(2)若S是一个集合,AS,则,=称S中子集A的补集;

(3)简单性质:

1)()=A;2)S=,=S

4.交集与并集:

(1)一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集。

交集。

(2)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集。

注意:

求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在

处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。

5.集合的简单性质:

(1)

(2)

(3)

(4)

(3)(AnB=(A)U(B),

(AUB)=(A)n(B)。

【典例解析】

题型1:

集合的概念

例1.(2009广东卷理)已知全集,集合和

的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有()

A.3个B.2个C.1个D.无穷多个

答案

B

解析

由得,则,有2个,选

B.

例2.

(2009山东卷理)集合”

若,则的值为()

.1C

答案

D

解析

故选D.

题型

2:

集合的性质

例3.

(2009山东卷理)集合,,

若,则的值为()

.1C

答案

D

解析

T,,二二,故选D.

1.设全集U=RA={x€N|Kx

12

<10},B={x€R|x+x-6=0}

 

2.已知集合

A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y〔6y+8<0},若AnB

=©,则实数a的取值范围为().

解:

由题知可解得A={y|y>a2+1或y

们不妨先考虑当ACB=©时a的范围.如图

由,得

二或.

即AnB=©时a的范围为或.而An时a的范围显然是

其补集,从而所求范围为.

注:

一般地,我们在解时,若正面情形较为复杂,我们就可以先考虑其反面,再利用其补集,求得其解,这就是“补集思想”例4.已知全集,A={1,}如果,则这样的实数是否存在?

若存在,求出,若不存在,说明理由

解:

T;

.:

即=0,解得

当时,,为A中元素;

当时,

当时,

二这样的实数x存在,是或。

另法:

t

…,

•:

=0且

二或。

点评:

该题考察了集合间的关系以及集合的性质。

分类讨论

的过程中“当时,”不能满足集合中元素的互异性。

此题的关

键是理解符号是两层含义:

变式题:

已知集合,“求的值。

解:

由可知,

(1),

(2)

(1)得,

(2)得,

又因为当时,与题意不符,

所以,。

题型3:

集合的运算

例5.(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数的定义

域集合是A,函数的定义域集合是B

(1)求集合A、B

(2)若AB=B求实数的取值范围.

(1)A=

B=

(2)由AB=B得AB因此

所以,所以实数的取值范围是

例6.(2009宁夏海南卷理)已知集合,则()

A.B.

C.D.

答案A

解析易有,选A

题型4:

图解法解集合问题

例7.(2009年广西北海九中训练)已知集合M=N=贝U

()

A.B.

C.D.

答案C

例8.设全集,函数的定义域为A,集合,若恰好有2个元素,求a的取值集合。

解:

时,二

当时,在此区间上恰有2个偶数。

题型7:

集合综合题

例11.(1999上海,17)设集合A={x||x-a|<2},B={x|<1},

若AB,求实数a的取值范围。

解:

由|x—a|<2,得a—2

由<1,得<0,即一2

因为AB,所以,于是0三aw1。

第二讲函数概念与表示

1.函数的概念:

设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使

对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:

A-B为从集合A到集合B的一个函数。

记作:

y=f(x),x€A。

其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x€A}叫做函数的值域。

注意:

(1)“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;

(2)函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x

2.构成函数的三要素:

定义域、对应关系和值域

(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式:

1自然型:

指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如:

分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等);

2限制型:

指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误;

3实际型:

解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量X的实际意义。

(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能

用初等方法求一些简单函数的值域问题

1配方法(将函数转化为二次函数);②判别式法(将函数转化为二次方程);③不等式法(运用不等式的各种性质):

④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等)。

3.两个函数的相等:

函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f。

当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。

因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。

4.区间

(1)区间的分类:

开区间、闭区间、半开半闭区间;

(2)无穷区间;

(3)区间的数轴表示

5.映射的概念

一般地,设AB是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素X,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:

AB为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f:

AB'。

函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件

“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可

以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射。

注意:

(1)这两个集合有先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。

(2)“都有唯一”包含两层意思:

一是必有一个;二是只有

一个,也就是说有且只有一个的意思

6.常用的函数表示法

(1)解析法:

就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表

示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式;

(2)列表法:

就是列出表格来表示两个变量的函数关系;

(3)图象法:

就是用函数图象表示两个变量之间的关系

7.分段函数

若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的

解析式不同,这种函数又称分段函数;

8.复合函数

若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数,u称为中间变量,它的取值范围是g(x)的值

【典例解析】

题型1:

函数概念

例1.21.(2009天津卷文)设函数则不等式的解集是()

A.B.

C.D.

答案A

解析由已知,函数先增后减再增

当,令

解得。

当,

故,解得

变式题:

(2009北京文)已知函数若,则答案

解析本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值.

属于基础知识、基本运算的考查.

由,无解,故应填.

例2.

(1)函数对于任意实数满足条件,若则________;

解:

(1)由得,

所以,则

题型二:

判断两个函数是否相同

例3.试判断以下各组函数是否表示同一函数?

(1)f

(x)=,

g(x)=;

(2)f

(x)=,

g(x)=

(3)f

(x)=,

g(x)=()

2n—1*、

(n€N);

(4)f

(x)=,

g(x)=;

(5)f

(x)=x2

—2x—1,g

(t)=t2—2t—1。

解:

(1)由于f

(x)==|x|,

g(x)==x,故它们的值域及对

应法则都不相同,所以它们不是同一函数;

(2)由于函数f(x)=的定义域为(―〜0)U(0,心),而g(x)=的定义域为R,所以它们不是同一函数;

(3)由于当n€N*时,2n±1为奇数,

二f(x)==x,g(x)=()2n_1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数;

(4)由于函数f(x)=的定义域为{x|x>0},而g(x)=的定义域为{x|x<—1或x>0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数;

(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同

一函数

点评:

对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f(x)和y=g(x)才

表示同一函数若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然。

(1)第(5)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对

函数的概念理解不透要知道,在函数的定义域及对应法则f

不变的条件下,自变量变换字母,以至变换成其他字母的表达式,这对于函数本身并无影响,比如f(x)=x2+1,f(t)

=t2+1,f(U+1)=(U+1)2+1都可视为同一函数。

(2)对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是同一函数题型三:

函数定义域问题例4.求下述函数的定义域:

(1);

(2)

解:

(1),解得函数定义域为.

(2),(先对a进行分类讨论,然后对k进行分类讨论),

1当a=0时,函数定义域为;

2当时,得,

1)当时,函数定义域为,

2)当时,函数定义域为,

3)当时,函数定义域为;

3当时,得,

1)当时,函数定义域为,

2)当时,函数定义域为,

3)当时,函数定义域为。

点评:

在这里只需要根据解析式有意义,列出不等式,但第

(2)小题的解析式中含有参数,要对参数的取值进行讨论,

考察学生分类讨论的能力

变式题:

已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是()

A.a>B.—12

D.a<

解:

由a=0或可得—12

题型四:

函数值域问题

例5.求下列函数的值域:

(1);

(2);(3);

(4);(5);(6);

(7);(8);(9)

解:

(1)(配方法),

二的值域为

改题:

求函数,的值域。

解:

(利用函数的单调性)函数在上单调增,

二当时,原函数有最小值为;当时,原函数有最大值为

二函数,的值域为。

(2)求复合函数的值域:

设(),则原函数可化为

又丁,

二,故,

二的值域为

(3)(法一)反函数法:

的反函数为,其定义域为,

二原函数的值域为

(法二)分离变量法:

•,…,

二函数的值域为。

(4)换元法(代数换元法):

设,则,

二原函数可化为,二,

二原函数值域为

注:

总结型值域,

变形:

(5)三角换元法:

设,

•,…,…,

…,

二原函数的值域为

(6)数形结合法:

.••,•••函数值域为。

(7)判别式法:

T恒成立,二函数的定义域为。

由得:

1当即时,①即,二

2当即时,T时方程恒有实根,

.:

△,

-■且,

二原函数的值域为。

(8)

■,■,

…,

当仅当时,即时等号成立。

…,

■原函数的值域为。

(9)(法一)方程法:

原函数可化为:

■(其中),

■原函数的值域为。

点评:

上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法,在现行的中学数学要求中,求值域要求不高,要求较高的是求函数的最大与最小值,在后面的复习中要作详尽的讨论。

题型五:

函数解析式

例6.

(1)已知,求;

(2)已知,求;

(3)已知是一次函数,且满足,求;

(4)已知满足,求。

解:

(1)丁,

二(或)。

(2)令(),则,

…,。

(3)设,则,

(4)①,

把①中的换成,得②,

①②得,

点评:

(1)题用配凑法;第

(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法;第(4)题用方程组法。

【总结】

1.求函数解析式的题型有:

(1)已知函数类型,求函数的解析式:

待定系数法;

(2)已知求或已知求:

换元法、配凑法;

(3)已知函数图像,求函数解析式;

(4)满足某个等式,这个等式除外还有其他未知量,需构造另个等式:

解方程组法;

(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。

2.求函数定义域一般有三类问题:

(1)给出函数解析式的:

函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;

(2)实际问题:

函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义

外,还应考虑使实际问题有意义;

(3)已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域:

1掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函

数、三角函数)的定义域;

2若已知的定义域,其复合函数的定义域应由解出。

3.求函数值域的各种方法

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。

其类型依解析式的特点分可分三类:

(1)求常见函数值域;

(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。

1直接法:

利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R;

反比例函数的定义域为{x|x0},值域为{y|y0};

二次函数的定义域为R,

当a>0时,值域为{};

当a<0时,值域为{}。

2配方法:

转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;

常转化为型如:

的形式;

3分式转化法(或改为“分离常数法”)

4换元法:

通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;

5三角有界法:

转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;

6基本不等式法:

转化成型如:

,利用平均值不等式公式来求值域;

7单调性法:

函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。

8数形结合:

根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域

第3讲函数基本性质

1.奇偶性

(1)定义:

如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(—x)=—f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(—x)=f(x),则称f(x)为偶函数。

如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。

注意:

1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶

性是函数的整体性质;

2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。

(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:

CD首先确定函数的定义域并判断其定义域是否关于原点对

称;

CC确定f(—x)与f(9的关系;

C作出相应结论:

若f(—x)=f(x)或f(—x)—f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(—X)=—f(X)或f(—x)+f(X)=0,贝Uf(x)是奇函数

(3)简单性质:

1图象的对称性质:

一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;

2设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:

奇+奇=奇,奇奇=禺,偶+偶=偶,偶偶=禺,奇偶=奇

2.单调性

果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1,X2,

(1)定义:

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如当X1VX2时,都有f(Xi)f(X2)),那么就说f(x)

在区间D上是增函数(减函数);

注意:

1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数

的局部性质;

2必须是对于区间D内的任意两个自变量Xi,X2;当Xi

(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(X)在这一区间具有(严格的)单调性,区间

D叫做y=f(x)的单调区间。

(3)设复合函数y=f[g(X)],其中u=g(x),A是y=f[g(X)]

定义域的某个区间,B是映射g:

x—u=g(x)的象集:

1若u=g(x)在A上是增(或减)函数,y=f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y=f[g(x)]在A上是增函数;

2若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y=f[g(x)]在A上是减函数。

(4)判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:

1任取Xi,X2€D,且Xi

2作差f(xi)—f(X2);

◎变形(通常是因式分解和配方);

④定号(即判断差f(Xi)—f(X2)的正负);

◎下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。

(5)简单性质

1奇函数在其对称区间上的单调性相同;

2偶函数在其对称区间上的单调性相反;

3在公共定义域内:

增函数增函数是增函数;

减函数减函数是减函数;

增函数减函数是增函数;

减函数增函数是减函数。

3.最值

(1)定义:

最大值:

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:

①对于任意的x€I,都有f(x)

那么,称M是函数y=f(x)的最大值。

最小值:

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:

①对于任意的x€I,都有f(X)>M;②存在x°€I,使得f(X。

)=M。

那么,称M是函数y=f(x)的最大值。

注意:

①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在xo€I,

使得f(Xo)=M;

◎函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对

于任意的x€I,都有f(x)

(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法:

◎禾U用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;

◎利用图象求函数的最大(小)值;

◎禾U用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

4.周期性

(1)定义:

如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域

内的任意X,都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数;

(2)性质:

①f(x+T)=f(x)常常写作若f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为f(X)的最小正周期;②若周期函数f(x)的周期为T,则f(wx)(3工0)是周期函数,且周期为

【典例解析】

题型一:

判断函数的奇偶性

例1.讨论下述函数的奇偶性:

解:

(1)函数定义域为R,

二f(x)为偶函数;

(另解)先化简:

,显然为偶函数;从这可以看出,化简后再解决要容易得多。

(2)须要分两段讨论:

1设

2设

3当x=0时f(x)=O,也满足f(—x)=—f(x);

由①、②、③知,对x€R有f(—X)=—f(x),/■f(x)为奇

函数;

(3),A函数的定义域为,

f(x)=log21=0(x=±1),即f(x)的图象由两个点A(—1,

o)与b(1,0)组成,这两点既关于y轴对称,又关于原点对称,二f(x)既是奇函数,又是偶函数;

点评:

判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变)

题型三:

判断证明函数的单调性

例5.(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分.

已知函数.

(1)若,求的值;

(2)若对于恒成立,求实数m的取值范围.

【解】

(1)

由条件可知,解得

⑵当

故m的取值范围是

题型四:

函数的单调区间

例7.已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,则().

A.

B.

C

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