因为AB,所以，于是0三aw1。
第二讲函数概念与表示
1.函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使
对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:
A-B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：
y=f（x）,x€A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x€A}叫做函数的值域。
注意：
（1）“y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”；
（2）函数符号“y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x
2.构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：
1自然型：
指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如:
分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；
2限制型：
指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
3实际型：
解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量X的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能
用初等方法求一些简单函数的值域问题
1配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）：
④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
3.两个函数的相等：
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4.区间
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示
5.映射的概念
一般地，设AB是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素X，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f:
AB'。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件
“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可
以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。
注意：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。
（2）“都有唯一”包含两层意思：
一是必有一个；二是只有
一个，也就是说有且只有一个的意思
6.常用的函数表示法
（1）解析法：
就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表
示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
（2）列表法：
就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法：
就是用函数图象表示两个变量之间的关系
7.分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的
解析式不同，这种函数又称分段函数；
8.复合函数
若y=f（u），u=g（x）,x（a，b），u（m,n），那么y=f[g（x）]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g（x）的值
域
【典例解析】
题型1：
函数概念
例1.21.（2009天津卷文）设函数则不等式的解集是（）
A.B.
C.D.
答案A
解析由已知，函数先增后减再增
当，令
解得。
当，
故，解得
变式题：
（2009北京文）已知函数若，则答案
解析本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值.
属于基础知识、基本运算的考查.
由，无解，故应填.
例2.
（1）函数对于任意实数满足条件，若则________；
解：
（1）由得，
所以，则
题型二：
判断两个函数是否相同
例3.试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f
：
（x）=，
g（x）=；
（2）f
：
（x）=，
g（x）=
（3）f
：
（x）=，
g（x）=（）
2n—1*、
（n€N）；
（4）f
：
（x）=，
g（x）=；
（5）f
：
（x）=x2
—2x—1，g
（t）=t2—2t—1。
解：
（1）由于f
（x）==|x|，
g（x）==x，故它们的值域及对
应法则都不相同，所以它们不是同一函数；
（2）由于函数f（x）=的定义域为（―〜0）U（0，心），而g（x）=的定义域为R,所以它们不是同一函数；
（3）由于当n€N*时，2n±1为奇数，
二f（x）==x，g（x）=（）2n_1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；
（4）由于函数f（x）=的定义域为｛x|x>0｝，而g（x）=的定义域为｛x|x<—1或x>0｝，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同
一函数
点评：
对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才
表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。
（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对
函数的概念理解不透要知道，在函数的定义域及对应法则f
不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）
=t2+1，f（U+1）=（U+1）2+1都可视为同一函数。
（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数题型三：
函数定义域问题例4.求下述函数的定义域：
（1）；
（2）
解：
（1），解得函数定义域为.
（2），（先对a进行分类讨论，然后对k进行分类讨论），
1当a=0时，函数定义域为；
2当时，得，
1）当时，函数定义域为，
2）当时，函数定义域为，
3）当时，函数定义域为；
3当时，得，
1）当时，函数定义域为，
2）当时，函数定义域为，
3）当时，函数定义域为。
点评：
在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，但第
（2）小题的解析式中含有参数，要对参数的取值进行讨论，
考察学生分类讨论的能力
变式题：
已知函数f（x）=的定义域是R,则实数a的取值范围是（）
A.a>B.—12D.a<
解：
由a=0或可得—12题型四：
函数值域问题
例5.求下列函数的值域：
（1）；
（2）;（3）;
（4）；（5）；（6）；
（7）;（8）;（9）
解：
（1）（配方法），
二的值域为
改题：
求函数，的值域。
解：
（利用函数的单调性）函数在上单调增，
二当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为
二函数，的值域为。
（2）求复合函数的值域：
设（），则原函数可化为
又丁，
二，故，
二的值域为
（3）（法一）反函数法：
的反函数为，其定义域为，
二原函数的值域为
（法二）分离变量法：
，
•，…，
二函数的值域为。
（4）换元法（代数换元法）：
设，则，
二原函数可化为，二，
二原函数值域为
注：
总结型值域，
变形：
或
（5）三角换元法：
设，
则
•，…，…,
…,
二原函数的值域为
（6）数形结合法：
，
.••，•••函数值域为。
（7）判别式法：
T恒成立，二函数的定义域为。
由得：
①
1当即时，①即，二
2当即时，T时方程恒有实根，
.：
△，
-■且,
二原函数的值域为。
（8）
■，■，
…,
当仅当时，即时等号成立。
…,
■原函数的值域为。
（9）（法一）方程法：
原函数可化为：
，
■（其中），
■原函数的值域为。
点评：
上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后面的复习中要作详尽的讨论。
题型五：
函数解析式
例6.
（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函数，且满足，求;
（4）已知满足，求。
解:
（1）丁，
二（或）。
（2）令（），则，
…,。
（3）设，则,
（4）①，
把①中的换成，得②，
①②得，
点评：
第
（1）题用配凑法；第
（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法。
【总结】
1.求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：
待定系数法；
（2）已知求或已知求：
换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：
解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
2.求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：
函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：
函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义
外，还应考虑使实际问题有意义；
（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：
1掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函
数、三角函数）的定义域；
2若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出。
3.求函数值域的各种方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。
其类型依解析式的特点分可分三类：
（1）求常见函数值域；
（2）求由常见函数复合而成的函数的值域；（3）求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。
1直接法：
利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b（a0）的定义域为R,值域为R；
反比例函数的定义域为｛x|x0｝，值域为｛y|y0｝；
二次函数的定义域为R,
当a>0时，值域为｛｝；
当a<0时，值域为｛｝。
2配方法：
转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
常转化为型如：
的形式；
3分式转化法（或改为“分离常数法”）
4换元法：
通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
5三角有界法：
转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
6基本不等式法：
转化成型如：
，利用平均值不等式公式来求值域；
7单调性法：
函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
8数形结合：
根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域
第3讲函数基本性质
1.奇偶性
（1）定义：
如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有f（—x）=—f（x），则称f（x）为奇函数；如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有f（—x）=f（x），则称f（x）为偶函数。
如果函数f（x）不具有上述性质，则f（x）不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f（x）既是奇函数，又是偶函数。
注意：
1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶
性是函数的整体性质；
2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
CD首先确定函数的定义域并判断其定义域是否关于原点对
称；
CC确定f（—x）与f（9的关系；
C作出相应结论：
若f（—x）=f（x）或f（—x）—f（x）=0，则f（x）是偶函数；若f（—X）=—f（X）或f（—x）+f（X）=0，贝Uf（x）是奇函数
（3）简单性质：
1图象的对称性质：
一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
2设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=禺，偶+偶=偶，偶偶=禺，奇偶=奇
2.单调性
果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1,X2,
（1）定义：
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I,如当X1VX2时，都有f（Xi）f（X2））,那么就说f（x）
在区间D上是增函数（减函数）；
注意：
1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数
的局部性质；
2必须是对于区间D内的任意两个自变量Xi,X2;当Xi（2）如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f（X）在这一区间具有（严格的）单调性，区间
D叫做y=f（x）的单调区间。
（3）设复合函数y=f［g（X）］，其中u=g（x）,A是y=f［g（X）］
定义域的某个区间，B是映射g:
x—u=g（x）的象集：
1若u=g（x）在A上是增（或减）函数，y=f（u）在B上也是增（或减）函数，则函数y=f［g（x）］在A上是增函数；
2若u=g（x）在A上是增（或减）函数，而y=f（u）在B上是减（或增）函数，则函数y=f［g（x）］在A上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
1任取Xi，X2€D,且Xi2作差f（xi）—f（X2）；
◎变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f（Xi）—f（X2）的正负）；
◎下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。
（5）简单性质
1奇函数在其对称区间上的单调性相同；
2偶函数在其对称区间上的单调性相反；
3在公共定义域内：
增函数增函数是增函数；
减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；
减函数增函数是减函数。
3.最值
（1）定义：
最大值：
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x€I，都有f（x）那么，称M是函数y=f（x）的最大值。
最小值：
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x€I，都有f（X）>M;②存在x°€I，使得f（X。
）=M。
那么，称M是函数y=f（x）的最大值。
注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在xo€I，
使得f（Xo）=M；
◎函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对
于任意的x€I，都有f（x）。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
◎禾U用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
◎利用图象求函数的最大（小）值；
◎禾U用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f（x）在区间［a，b］上单调递增，在区间［b,c］上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；
如果函数y=f（x）在区间［a，b］上单调递减，在区间［b，c］上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；
4.周期性
（1）定义：
如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域
内的任意X，都有f（x+T）=f（x），则称f（x）为周期函数；
（2）性质：
①f（x+T）=f（x）常常写作若f（x）的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f（X）的最小正周期；②若周期函数f（x）的周期为T,则f（wx）（3工0）是周期函数，且周期为
【典例解析】
题型一：
判断函数的奇偶性
例1.讨论下述函数的奇偶性：
解：
（1）函数定义域为R,
二f（x）为偶函数；
（另解）先化简：
，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。
（2）须要分两段讨论：
1设
2设
3当x=0时f（x）=O，也满足f（—x）=—f（x）；
由①、②、③知，对x€R有f（—X）=—f（x）,/■f（x）为奇
函数；
（3）,A函数的定义域为，
f（x）=log21=0（x=±1），即f（x）的图象由两个点A（—1,
o）与b（1,0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，二f（x）既是奇函数，又是偶函数；
点评：
判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）
题型三：
判断证明函数的单调性
例5.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分.
已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围.
【解】
（1）
由条件可知，解得
⑵当
即
故m的取值范围是
题型四：
函数的单调区间
例7.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数，则（）.
A.
B.
C
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