北大计算机系考研历年高等数学真题附答案.docx
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北大计算机系考研历年高等数学真题附答案
北大计算机考研高等数学真题解答
2008年（5题60分）
1（12分）f（x）有连续的二阶导数，f（a）0，求
lim
xa
f（x
1
a）
f
（a
）
f
1
（a
）
。
2（12分）f（x）在a,b上连续且f（a）f（b）0，f（a）f（b）0，证明：
在a,b
上必有一点u使得f（u）0。
1lnx
3（12分）求不定积分dx
2
（xlnx）
。
22
tf（xt）x
4（12分）f（0）0且f（0）0，f（x）有连续的导数，求dx
lim。
x04
0
x
1
5（12分）f（x）在0附近可导且导数大于0，证明无穷级数）
f发散，无穷级
（
n
1
n收敛。
数）
（1）f（
n
2007年（5题60分）
2x2
1（12分）求不定积分exdx
（tan。
1）
2x22x22x解：
exdx
（tan1）esecxdxe2tanxdx
e
2xtanex
2x
dxtan
e
2xtane2xC。
x
dxtan
1
2（12分）求连续函数f（x），使它满足（）（）sin,（0）0ftxdtfxxxf。
0
解：
令utx,则t0时，u0，t1时，ux，duxdt；
1
0
f（tx）dt
1
x0
x
f
（u
）
duf（x）xsinx
x
0
f
2
（u）duxf（x）xsinx
2
f（x）f（x）xf（x）2xsinxxcos
x
f（x）2sinxxcosx
f（）cossinf（0）1C0C1f（x）cosxxsinx1。
xxxxC
xy
3（12分）设n，,（1,2,）。
nn
01n
xy,xxyy
11nnn1
2
证明：
lim和limn都存在并相等。
xy
n
nn
解：
y0xn0,yn0，xnynxnyn2xnyn
1x
1
y
nynxn（n1,2,）；
1x（n0,1,）
n1
xy
nn
ynxnyy0yn1yn{yn}单调递减；
（n1,2,）
n1n
2
y
nxn1xnynxnxnxn{xn}单调递增；
x（n1,2,）
n
由以上两结论可知：
y
n{yn}有下界，于是
n1
xx
lim存在；
y
n
n
xn{xn}有上界，于是n
ylimx存在。
y
n1
n
令limxAyB，由
lim
nn
xx
xy
nn
x，有：
xyy
n1nnn1
2
AB
A，解得AB1，所以limlimn1
ABxy。
B
n
2
xx
4（12分）求和
22232n
n23。
Sxxxnx
解：
（1）若x1，
S
n
232
2
1nn（n1）（2n1）/6；
2
（2）若x1，Sx
n
12
232
22
xxn
x
n
1
x
Tn（Sx）dx
n
0
x
23n
2x3xnxTx
n
1
2
x
3
x
2n1
nx
x
0
23n
（Tnx）dx
xxxx
x（1
1
n
x
x
）
T
n
x
x（1
1
x
x
n
）
x[1（n1）
（1
n
x
x）
2
nx
n1
]
S
n
x
x[1
（
n
（1
1）
x
x
n
）
2
nx
n
1
]
x
2
x
（n1）
2n1
x
（
（1
2
2n
x）
3
2
n
1）
n22n
xnx
3
。
5（12分）求极限
1
lim。
nn11
n（）（2n）
n
n
11
limnn（n1）（2n1）n
explnlim
n
nn
n
n（n1）（2n1）
exp
lim
n
1
n
ln[
n
n
（1
1
n
）
（1
n1
n
）]
exp
lim
n
1
n
[ln（
1
0
）
ln（
1
1
n
）
ln（
1
n1
n
）]
exp{
1
ln（
0
1
1
1
x）dx}exp{（1x）ln（1x）0dx}
0
2ln21
e4/e。
2006年（5题60分）
2
2
3x
1（12分）计算积分xedx
0
。
21
222
2
3x2x
解：
xedx
xedx
00
2
12x
2
xde
2
0
2
1
2
x
2
e
x
2
0
2
1
2
2
2
x2
edx0
1x12
22
2
e（13e）。
e
0
22
2（12分）求
lim
x0
2
1
cos（
3
（tan
x）（sin
x
e
1）
x）
。
2
解：
x0时，tanx~x，sinx~x；x0时，x0，
2
x2
e1~x
；
2
x
x时，10
0e，
1cos（
1
22
xe
x2
e）~
（1）；所以：
1
2
1
2
x
2（e
x
1cos（e1）
2
limlim
33
x（tanx）（sinx）xx
0x0
1）
2
1
2
（x
2
lim
4
x
0x
）
2
1
2
。
3（12分）设0x1，证明不等式
1
1
x2
e
x
x
。
证：
0x1时，
1
1
x2
e
x
x2x2x2x
（1x）e1xxeex10
2xe2xx，有f（0）0；则（）21
2xe2x令（）1
fxxefxxe，有f（0）0；
f（x）4xe
2
x，所以f（x）在（0,1）上单调递增，又f（0）0，
0,（0x1）
所以f（x）0,（0x1），可知f（x）在（0,1）上单调递增，又f（0）0，
1x2x
所以f（x）0,（0x1），即，（01）。
ex1x
4（12分）求幂级数
n1
2
n
3
1
x
2
n
的收敛域与和函数。
解：
求收敛半径：
2（n1）
（2（n1）1）x32
22
limx，当x1时级数收敛，当x1
2n
n（2n1）x3
时级数发散，所以收敛半径R1。
2n12n1
2n
当x1时，显然发散，所以收敛域I（1,1）。
x
313
n1n
求和函数：
n1
2
n1
3
x
2n
2
3
n
1
22n
nnn；
1212
nxxntt,（0tx1）
333
n1n1n1
n1
nt
t
n
n1
nt
n1
t
0
n
1
nt
t
n
dt
t
0
t
n1
dt
n1
dt
nt
nt
0
n1n1n1
t
n
t,（0t1）
1t
；
所以：
n1
tt
n
nt）
t（,（0t1）
1t（1t）
；
n1
2
n
3
12t
3（1
2
n
x
t
2
）
3（1
t
t
）
2
x
（3
3（1
x
2
x
2
）
）
2
。
（x1）
5（12分）设f（x）连续，在x0处可导，且f（0）0,f（0）4。
x0
求
（tf（u）du
0t
lim
3
xsin
0xx
）dt
。
0t
解：
令
v（t）f（u）duf（u）duv（t）f（t）；
t0
x0x
（tf（u）du）dttv（t）dt
xv（x）v（x）0t0
limlimlimlim
33232
x0xsinxx0xsinxx03xsinxxcosxx3xsinxxcosx
0
f（x）f（x）f（0）1
limlim
22
x03sinx5xcosxxsinxx08cosx7xsinxxcosx8cos02
2005年（7题70分）
1（8分）求
n
lim。
n
n
解：
11
n
limn
n
explimlnexplimlnx
n
nx
nx
1
0
explime1
x
x
2（10分）设
y
2
arctanlnxy
x
2
，求y,y。
解：
等式
y
2
arctanlnxy
x
2
两边对x求导得：
2
（xyy）x11
，（xyy）
22
1yx
2222
xyxy
化简得
xy
y（yx,yy（x）是
xy
y
2
arctanlnxy
x
2
确定的隐函数）；
再次对x求导得
（1y）（xy）（xy）（1y）2xy2y
y，将
22
（xy）（xy）
xy
y代入
xy
得：
22
2（xy）
y（yx,yy（x）是
3
（xy）
y
2
arctanlnxy
x
2
确定的隐函数）。
3（8分×2）求下列不定积分：
（1）xxdx
32
1；
（2）coslnxdx。
1
12
解：
（1）xxdx
3222
2
1x（x1）d（x1）
2
1
3
x
2
d
（
x
2
1）
3
2
3335
11212
222222
2222
x（x1）（x1）（dx1）x（x1）（x1）C
33315
。
1
（2）coslnxdxdx
xcoslnxxsinlnxx
x
1
coslnxxsinlnxxcoslnxdxxcoslnxxsinlnxcoslnxdx
x
cosln
1
xdxx（coslnxsinlnx）
2
C
1
d1
4（8分）求πdx，其中n为自然数。
2cos（ln）
n
e
dxx
1
2nπ
t,，2,
tπtn
2nx1时t0；解：
令,[1]
tln，则xedxedt
xexe
，时πx
1
e
d1dt
0
2πcos（ln）dxcost（e）dt
nnt
2π
dxxedt
2n
π
0
dcost
π2π（2n1）π2n
π
0
dcostdcost
π
（2
n
2）
π
d
cos
t
（
2
n
dcos
1）π
t
π。
2π
ncostncost4n
0π
5（8分）若
0
π
2
，试证：
－
cos
2
tan
tan
－
cos
2
。
证：
时，20。
tantan
2
coscos
时，由拉格朗日中值定理易知：
0
π
2
，使得：
tantan
tan（）sec
2
1
2
cos
；
2π
1
显然）
secx（0是单调递增函数，故
在,
2
cosx2
1
2
cos
1
cos
2
1
2
cos
，
即
1
2
cos
tantan
1
2
cos
，所以有
tantan
22
coscos
。
6（10分）求,
（1）
2n。
nxx
n1
2xnx。
则
解：
令（）,
（1）
fxn
21222n
f（x）1x2xnx
n1
f（x）nxf（x）2n
221
12xnxdxx2xnxx0
x
xf（x）dx
0
x
n1
12xnxx
x
0
0
f（x）
x
x
x
dx
2n
dxxxx
1
x
（x1）x
f（x）xx
x
dxx（）
0x1x（1x）
2
f（x）x
x
（1x）
（1x）x
2,（x
32,（x
（1x）
1）
7（10分）设曲线yf（x）是x0上的非负连续函数，V（t）表示由
yf（x）,x0,xt（t0）和y0所围成的图形绕直线xt旋转而成的旋转体的
2
dV（t）
体积。
试证明：
2π（）。
ft
2
dt
证：
取x轴为积分坐标，x的变化范围为（0,t）。
x轴上（x,xdx）（0,t）对应的一
小段旋转柱体可近似展开成矩形薄板，宽为x点绕直线xt旋转得到的圆周长
2πtx，高为f（x），厚为dx，故dV2π（tx）f（x）dx,x（0,t）。
（）
所以V
ttt
（t）2π（tx）f（x）dx2πtf（x）dx2πxf（x）dx。
000
于是
dV
（t
dt
）
2
t
tdV（t）
2（2f（t）2tf（t）2f
πfx）dxπt（x）dx，2πf（t）。
ππ
2
00
dt
2004年（6题50分）
11
1（6分）求）
lim（
x
0sinxx
。
11
解：
）
lim（
xsin
0xx
xsinx
lim（
x0xx
sin
）
1cosx
lim（
xsincos
0xxx
）
sinx
lim（
x0xcosxxsinx
cos
0
）0
1100
。
1,0x1
f（x），
0,
其他
g（x）
e
0
x
x
x0
0
2（8分）设
，
求h（y）f（x）g（xy）dx,y。
解：
y0时：
h（y）
y
00dx
0
y
0e
（xy）dx
1
0
（xy）
1edx
1
（xy）
0edx
1
0
e
y1
x
ye
x
edxe
0
yy1
e；
e
0y时：
h（y）
1
0
00dx
y
0
1
0dx
1
1
y
（xy）
edx
1
（xy）
0edx
e
y
1
y
e
x
dx
ye
e
x
1
y
1
y1
e；
y时：
h（y）
1
0
00dx
1
10dx
0
1
y
（xy）
00e0。
0dx
dx
y
3（8分）求
1
0
x
nn，其中n是非负整数，先建立递推公式，然后求定积分
lnxdx
的值。
1mn
mnlnm1
n1lnmxxdx解：
I（n,m）xxdx
lnxx
n1n1
n
11
nln
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