电子科技大学随机信号分析CH2习题及答案.docx
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电子科技大学随机信号分析CH2习题及答案
2.1
2.2
2.3掷一枚硬币定义一个随机过程：
cost出现正面
X（t）
2t出现反面
设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。
试求：
（1）X（t）的一维分布函数FX（x,12），
FX（x,1）；
（2）X（t）的二维分布函数FX（x1,x2;12,1）；（3）画出上述分布函数的图形。
2.3解：
一维分布为:
FX（x;0.5）0.5ux0.5ux1
FX（x;1）0.5ux10.5ux2
X（0.5）0,X
（1）1,依概率0.5发生
X（0.5）1,X
（1）2,依概率0.5发生二维分布函数为
F（x1,x2;0.5,1）0.5ux1,x210.5ux11,x22
2.4假定二进制数据序列{B（n）,n=1,2,3,,.}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B（n），并有概率P[B（n）=0]=0.2和P[B（n）=1]=0.8。
试问，
（1）连续4位构成的串为{1011}的概率是
多少？
（2）连续4位构成的串的平均串是什么？
（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？
（4）该序列是可预测的吗？
如果见到10111后，下一位可能是什么？
2.4解：
解：
（1）
P1011
PBn1PBn10PBn21PBn31
0.80.20.80.80.1024
2）设连续4位数据构成的串为B（n），
B（n+1），B（n+2），B（n+3），n=1,2,3,⋯.其中B（n）为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。
所以有：
3
k
串（4bit数据）为：
X（n）2kB（nk），
k0
其矩特性为：
因为随机变量B（n）的矩为：
均值：
E[B（n）]00.210.80.8
020.2120.80.82
2
0.80.820.16
所以随机变量X（n）的矩为：
均值：
2kB（nk）
3
E[X（n）]E
k0
33
2kEB（nk）2k0.812
k0k0
方差：
3k
D[X（n）]D2kB（nk）
k0
323
2k2DB（nk）4k0.1613.6
k0k0
如果将4bit串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：
串平均：
Bn,Bn1,Bn2,Bn30.8,0.8,0.8,0.8
串方差：
VarBn,Bn1,Bn2,Bn3
0.16,0.16,0.16,0.16
3）概率达到最大的串为1,1,1,1
4）该序列是不可预测的,因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列没有任何关系。
所以如果见到10111后，下一位仍为0或1，而且仍然有概率
P[B（n）=0]=0.2和P[B（n）=1]=0.
2.5正弦随机信号{X（t,s）=Acos（200πt）,t>0},其中振幅随机变量A取值为1和0，概率分别为0.1和0.9，试问，
（1）一维概率分布F（x,5）；
（2）二维概率分布F（x,y,0,0.0025）；（3）开启该设备后最可能见到什么样的信号？
（4）如果开启后t=1时刻测得输出电压为1伏特，问t=2时刻可能的输出电压是什么？
概率多少？
它是可预测的随机信号
吗？
解：
（1）X（t）Acos2005X（5）A
Fx;50.1ux10.9ux
（2）
X（0）1,X（0.0025）0,依概率0.1发生X（0）0,X（0.0025）0,依概率0.9发生
Fx,y;0,0.00250.1ux1，y0.9ux,y（3）因为PA00.9，所以开启该设备后90%的情况会见到无电压（A=0）。
（4）t=1时刻，有
Xt,sAcos2001A1，可得A=1；t=2时刻，有
Xt,sAcos2002A1；因为在A=1的前提下，t=2时刻输出电压为确定值1，所以PX21X111。
它是可预测的随机信号。
解题关键：
理解本随机信号中只有一个随机变量A，而它的值只在初始时是不确定的，
一旦A的值确定了，信号变成了确定信号
2.6若正弦信号X（t）Acos（t），其中振幅A与频率取常数，相位是一个随机变量，它均匀分布于,间，即
1,f（）2
0其他
求在t时刻信号X（t）的概率密度fXt（x）解：
注意到X（t）
因此，
2.7设质点运动的位置如直线过程X（t）VtX0，其中VN（1,1）与X0N（0,2），并彼此独立。
试问：
（1）t时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？
（2）它是可预测的随机信号吗？
2.7解：
（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布
E[X（t）]E[VtX0]tE[V]E[X0]t
22
D[X（t）]D[VtX0]t2D[V]D[X0]t22所以它的一维概率密度函数
1（xt）2
为:
fX（x）2（1t22）exp{2（（xt2t）2）}
（2）此信号是可预测随机信号
2.8假定（-1,+1）的伯努利序列
In,n1,2,...的取值具有等概特性。
试问：
（1）它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？
（2）它是可预测的随机信号吗？
2.8解：
（1）fI（i）0.5（i1）0.5（i1）
E[In]0.5（11）0
C（n1,n2）R（n1,n2）EIn1In2
E[In1]E[In2]0n1n2
2,
E[In21]1n1n2
（2）该随机信号不可预测
2.9
2.10给定随机过程X（t）和常数a，试以X（t）的自相关函数来表示差信号Y（t）X（ta）X（t）的自相关函数。
2.10解：
由题意可得：
RY（t1,t2）
E[Y（t1）Y（t2）]
EX（t1a）X（t1）X（t2a）X（t2）
EX（t1a）X（t2a）EX（t1a）X（t2）
EX（t1）X（t2a）EX（t1）X（t2）
RX（t1a,t2a）RX（t1a,t2）RX（t1,t2a）RX（t1,t2）
2.11两个随机信号X（t）=Asin（ωt+Θ）与Y（t）=Bcos（ωt+Θ），其中A与B为未知分布随机变量，Θ为0～2π均匀分布随机变量，
A、B与Θ两两统计独立，ω为常数，试问，
（1）两个随机信号的互相关函数RXY（t1,t2）；
（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）性与统计独立性；解：
（1）
XtAsintEAsint0
YtBcost0，
RXYt1,t2CXYt1,t2Xt1Yt2
Asint1Bcost2
1
ABsint1t2sint1t22
1
ABsint1t2sint1t22
1
ABsint1t2
2）①如果E[A]或E[B]为0，则
RXYt1,t2CXYt1,t20，随机信号X（t）与Y（t）正交且互不相关；
②如果E[A]与E[B]均不为0，则
RXYt1,t2CXYt1,t20，X（t）与Y（t）不正交，
相关；
③因为随机信号X（t）与Y（t）中都有随机变量Θ，所以X（t）与Y（t）一般不会相互独立。
22
Xt2Yt2AB
2.12
2.13假定正弦电压信号X（t）Acost，其中，A服从均匀分布U（1,1），服从均匀分布U（,），它们彼此独立。
如果信号施加到RC并联电路上，求总的电流信号及其均方值。
题2.13解：
由电路原理的相关知识可知：
X（t）Acost
E[i2t]
2.14
2.15零均值高斯信号X（t）的自相关函数为RX（t1,t2）0.5et1t2，求X（t）的一维和二维概率密度。
解：
（1）因为mX（t），0
RX（t1,t2）CX（t1,t2）0.5et1t2
DX（t）CX（0）RX（0）
所以一维概率密度函数为：
expx
（2）高斯信号X（t）的二维概率密度函数
为：
X（t1）0
Xμ
C
X（t2）0
0.5
0.5exp
t1t2
0.5exp
t1t2
0.5
C（t1,t1）C（t1,t2）
C（t2,t1）C（t2,t2）
（t1,t2）expt1t2，则
fXx1,x2;t1,t2
2.16
2.17
2.18某高斯信号的均值mX（t）2，协方差CX（t1,t2）8cos（t1t2），写出当t10、t20.5和t31时的三维概率密度。
解：
由定义得：
C（t1,t1）C（t1,t2）C（t1,t3）
CC（t2,t1）C（t2,t2）C（t2,t3）
C（t3,t1）C（t3,t2）C（t3,t3）
C（0,0）C（0,0.5）C（0,1）
C（0.5,0）C（0.5,0.5）C（0.5,1）
C（1,0）C（1,0.5）C（1,1）
又因为
C（0,0）C（0.5,0.5）C（1,1）8cos（0）8
C（0,0.5）C（0.5,1）C（0.5,0）C（1,0.5）8cos（0.5）
X（t1）
t1
2
X
X（t2）
t
t2
μ
2
X（t3）
t3
2
8
8cos（1/2）8cos1
88cos（1/2）
8cos（1/2）8
C
8cos（1/2）
8cos1
则
1
fXx,t3/2
xμC1xμ
1/2exp
2C2
2.19设随机变量X,Y~Nμ,C，其中
23
μ22，C35，求X,Y的概率密度和特征函数XYu,v。
题2.19
解：
因为E（X）2与E（Y）2，DX2,DY5，
Cov（X,Y）33
DXDY2510。
于是，（X,Y）~N2,2;2,5;3/10。
则
（X，Y）的概率密度函数为
11x23x2y2y2fXYx,yexp
XY25255
其特征函数为：
XYu,vexpjmxu
12222myv1u212uv2v
XYu,v
exp2juv2u26uv5v2
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