静电场1要点.docx
《静电场1要点.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《静电场1要点.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
静电场1要点
静电场
一切电的现象都起源于电荷的存在或电荷的运动。
归纳大量的实验结果证明，自然界中只存在两种电荷，即正电荷和负电荷。
带同种电荷的物体互相排斥，带异种电荷的物体互相吸引。
这种相互作用的吸力或斥力都是电性力。
（分子和分子间有一个“安全距离”，数量级一般在10的-10次方，此时引力等于斥力。
当分子间距离小于这个距离时，表现为斥力；一定限度内，大于这个距离，分子间表现为引力，达到一定程度时，两分子就互相脱离。
分子与分子间的作用力，即范德华力，也是一种电性力。
）
根据带电体的性质和相互之间作用力的大小，我们能够确定物体所带电荷的多少（带电的程度）。
物体所带电荷的量值以或。
在国际单位制中，电荷的单位是C，称为库仑，简称库。
使物体带电，叫做起电。
任何物体都可能带电。
要使物体带电，可利用摩擦起电、接触起电、静电感应等方法。
静电感应：
我们知道，不论什么电荷，都是要激发电场的。
当然，这些感应电荷也要激发电场。
这个电场的场强与外电场的场强 方向相反。
导体内部各点的总场强应是 和 的叠加。
起初，，导体内各点的总场强不等于零，其方向仍与外电场 相同，就继续有自由电子逆着外电场的方向作定向移动，使两侧的感应电荷继续增多，感应电荷的场强 也随之继续增大。
经过极短暂的时间，当 增大到与 相等时，导体内各点的总场强 ，这时导体内自由电子所受电场力亦为零，定向移动停止，导体两侧的正、负感应电荷也不再增加，于是静电感应的过程就此结束。
我们把导体上没有电荷作定向运动的状态，称为静电平衡状态。
电荷守恒定律：
一个孤立系统的总电荷（即系统中所有正、负电荷之代数和）在任何物理过程中始终保持不变。
（所谓孤立系统，就是指它与外界没有电荷的交换。
）（结合后面的孤立导体。
）
一：
电子是自然界具有最小电荷的带电粒子。
二：
任一带电体的电荷都是电子电荷的整数倍。
三：
当带电体的电荷发生改变时，它只能按的整数倍改变，不能作连续的任意改变。
这种电荷只能一份一份地取分立的、不连续的数值的性质，叫做电荷的量子化。
电荷的量子就是。
（在经典物理学中，对体系物理量变化的最小值没有限制，它们可以任意连续变化。
但在量子物理学中，物理量只能以确定的大小一分一分地进行变化，具体有多大要随体系所处的状态而定。
这种物理量只能采取某些分离数值的特征叫做量子化。
）
电场是由电荷激发的。
为了显示电场的存在，并研究电场中各点（简称场点）的性质，我们通常取一个试探电荷放在各场点，以测定其所受的力。
（矢量，大小，方向）（方向与正电荷在该点所受电场力的方向一致）
场强的单位是（牛每库）或（伏每米）。
在点电荷、、…、共同激发的电场中某场点，放置一个试探电荷。
根据静电力的叠加原理，试探电荷所受的力，等于各个点电荷、、…、单独存在时电场施于试探电荷的力、、…、之矢量和，即
今将上式两端除以，得
按场强定义，上式右端的各项分别是各点电荷（场源电荷）在同一点的场强，即：
左端代表这些点电荷同时存在时该点的总场强，即
于是，有
上式表明，电场中某点的总场强，等于各个点电荷单独存在时在该点的场强之矢量和。
这就是电场强度叠加原理。
（含源一端口，求原电路响应时，则为相应分电路中响应求和。
非正弦周期电流电路计算时，也是将级数展开，求各次谐波分量，最后叠加。
）
这是本章的第一个叠加定理。
一般来说，在给定的静电场中，场强与场中各点的位置有关，在所取的直角坐标系中，可表示为坐标的矢量函数
例：
如图，三个场源电荷在点激发的场强分别为
；
；
求点P的场强的大小和方向（用三个方向余弦表示）。
如图所示，在真空中有一个静止的点电荷，在与它相距为的场点上，设想放一个试探电荷（>0），按库仑定律，试探电荷所受的力为
式中，是单位矢量，用来标示点P相对于场源点电荷的位矢的方向。
按场强定义，由上式即得点的场强为
可见，在点电荷的电场中，以点电荷为中心、以为半径的球面上各点的场强大小均相同，场强的方向沿半径向外（若>0）或指向中心（若<0）。
通常说，具有这样特点的电场是球对称的。
那么，点电荷在电场中某点所受的电场力
如右图所示，设电偶极子处于场强为的均匀电场中，表示从指向的矢量，电偶极子的电矩方向与之间的夹角为。
作用于电偶极子正、负电荷上的电场力分别为和，其大小相等，即，其方向相反，因此两力的矢量和为零，电偶极子不会发生平动；但由于电场力和的作用线不在同一直线上，此两力组成一力偶，使电偶极子转动。
电偶极子所受力偶矩的大小等于力偶中任何一个力的大小和这两个平行力之间的垂直距离（称为力臂）之乘积。
即力偶矩为
如果力偶矩为零，则原来静止的物体不会转动，原来转动的物体作匀角速转动。
使电偶极子发生转动的力偶矩的大小为
式中为力偶矩的力臂，为偶极子的电矩大小。
上式表明，当时，力偶矩最大；当 时，力偶矩等于零。
在力偶矩作用下，电偶极子发生转动，即其电矩将转到与外电场一致的方向上去。
综上所述，我们也可将式（a）表示成矢量式（与的矢积），即
电场线
注意，一般情况下，电场线并非是正电荷受电场力作用而运动的轨道。
因为电荷运动方向（即速度方向）不一定沿力的方向。
为了使电场线（注意和后面等势面结合理解）不仅能够表示出场强的方向，同时还能够表示出场强的大小，我们在电场中任一点，假想作一个面积元 ，与该点场强的方向相垂直（上图），使得通过这面积元所画的电场线条数满足以下的关系：
式中，称为电场线密度。
根据上式，我们就规定：
在电场中任一点处的电场线密度在数值上等于该点处场强的大小。
这样，用电场线密度来表示场强的大小时，密度大的区域，电场线密集，表示该处的场强较强；密度小的区域，电场线较疏稀，表示该处的场强较弱。
我们把场强大小与面积元之乘积，称为穿过该面积元的电通量（电位移通量D，电极化强度通量P），用 表示，即
=
（a），在均匀电场中，如果面积为的平面，它与场强的方向相垂直：
=
（b）, 平面与场强不垂直:
=
（c）, 如果是非匀强电场，并且也不是平面、而是一个任意曲面:
（d）,如果所考虑的是一个闭合曲面，穿过整个闭合曲面的电通量为:
表示对整个闭合曲面求积分。
（结合后面的环路定理，一个是闭合曲面，一个是闭合路径。
）
通常规定电场线从曲面内穿出来，电通量为正；电场线从曲面穿入，电通量为负。
（电场线方向与曲面法向的夹角的余弦值）
=
上式表明，穿过静电场中任一闭合面的电通量，等于包围在该闭合面内所有电荷之代数和的倍，而与闭合面外的电荷无关。
这一结论称为真空中静电场的高斯定理。
这是本章的第一个高斯定理。
注意：
高斯定理是说明通过闭合面的电通量，只与该面所包围的总电荷量（净电荷量）有关；而闭合面上任意一点场强应该由激发该电场的所有场源电荷（包括闭合面内，外所有电荷共同决定），并非只由闭合曲面所包围的电荷激发的。
其次，我们所说的电场线起自正电荷、终止于负电荷的这一性质，是高斯定理的必然结果。
这一性质显示了静电场是有源场。
激发电场的电荷则为该电场的"源头"。
或者形象地说，正电荷是电场的"源头"，每单位正电荷向四周发出条电场线；负电荷是电场的"尾巴"，每单位负电荷有条电场线向它会聚（或终止）。
，在球面外，点的场强为
在球面内，点P的场强为
结论：
均匀带电球面外的场强，与将球面上电荷全部集中于中心的点电荷所激发的场强一样；球面内任一点的场强则为零。
，一无限长均匀带正电的直线，其线电荷密度为。
场强的大小为
（参考后面静电力作功）
当试探电荷在静电场中移动一段有限的路程时，静电场力对电荷所作的功为
在静电场中，当试探电荷，在电场中移动一段位移元时，静电场力对电荷所作的元功为，由于在无限小位移元上各点的场强均可视作为，因而，此电荷所受的静电场力在上可以视为恒力。
于是。
式中，是场强与位移元的方向间的夹角。
当试探电荷在静电场中移动一段有限的路程时，静电场力对电荷所作的功为。
在试探电荷于点电荷（设>0）的电场中从点a移到点b的过程中，静电场力所作的功为
式中，与分别为试探电荷的始点和终点到电荷的距离。
上式表明，试探电荷在静止点电荷的电场中移动时，静电场力所作的功只与始点和终点的位置以及试探电荷的量值有关，而与试探电荷在电场中所经历的路径无关。
上述结论对于任何静电场皆适用。
考虑到任何静电场都可看作由点电荷系所激发的，根据电场强度叠加原理，其场强是各个点电荷单独存在时的场强之矢量和，即
当试探电荷在电场中从场点a沿任意路径移动到场点b时，按矢量标积的分配律，电场力所作的功为：
=
或
即静电场力所作的功等于各个场源点电荷对试探电荷所施电场力作功之代数和。
结论：
试探电荷在任何静电场中移动时，静电场力所作的功，仅与试探电荷以及始点和终点的位置有关，而与所经历的路径无关。
这是本章的第二个叠加定理。
式中， 是场强沿闭合路径的线积分，称为场强的环流。
上式表示，静电场中场强的环流恒等于零。
这一结论是电场力作功与路径无关的必然结果，称为静电场的环路定理。
静电场力作功与路径无关这一特性，表明静电场是保守力场。
上述静电场力作功与路径无关这一结论，还可换成另一种说法，即静电场力沿任何闭合路径所作的功等于零。
如上图所示，设试探电荷在静电场中从某点出发，沿任意闭合路径运动一周，又回到原来的点，即相当于始点与终点重合。
为了计算沿闭合路径所作的功，设想在上再任取一点，将分成和两段，沿闭合路径，电场力对试探电荷所作的功为：
又因为（电场力作功与路径无关）得
又因为≠0，所以。
设以和分别表示试探电荷在始点和终点时的电势能，为从点沿任意路径移到点的过程中电场力所作的功，则
上式说明，电荷在电场中始、末两点的电势能之差，在数值上等于电荷从始点沿任意路径移动到终点的过程中电场力所作的功。
上式只决定电场中试探电荷位置改变时电势能的改变，并不能决定试探电荷在电场中某一点的电势能。
通常就取试探电荷在无限远处作为量度电势能的零点，即取。
按照这个规定，由上式可得试探电荷在电场中任一点电势能为
即试探电荷在电场中任一点a的电势能，等于电荷从点移到无限远处电场力所作的功。
（功是能的量度）
一般地说，这个功有正（例如斥力场中）、有负（例如引力场中），电势能也有正有负。
在任何情况下，试探电荷q在静电场中移动时，电场力所做的功都正比于q，可知电势能不仅与电场中各点的位置有关，而且还随引入电场中的试探电荷q而变化。
但是，比值却仅与场点a位置有关，而与电荷q无关，因而他可以描述电场中某点a的性质，称为电势。
以符合Ua表示点a的电势。
静电场中某点的电势，在数值上等于放在该点的单位正电荷的电势能，亦即，等于单位正电荷从该点经过任意的路径移到无限远处电场力所作的功，即：
（电势是一个标量）
在静电学中，任意两点a和b的电势之差称为电势差（在电路中两点的电势差也称为电压），用或表示。
根据电势的定义，、两点的电势分别为：
，
因此，、两点的电势差为：
即
或
即静电场中、两点的电势差，等于单位正电荷从点经过任意路径移到点处电场力所作的功。
因此，任一个点电荷在电场中从点移到点，电场力所作的功可用电势差表示为：
上式的物理意义是：
电场力所作的功等于电势能之差。
如果把电势差用电势增量来表示，则
电势差和电势增量的区别，前者是指始电势与末电势之差（即两点之间电势的减小），而后者是指末电势与始电势之差。
所以，有时我们也可把电势差用（负的增量）来表示。
（为了引出电势与场强的微分关系）
已知电子电荷e等于，当电子在电场中经过电势差为1V的两点时，所增加（或减少）的能量称为电子伏特，简称电子伏，符号为eV。
有时用电子伏作为单位，显得太小，而常用兆电子伏，。
电子伏或兆电子伏是能量单位，在原子物理学中经常用到。
（1）点电荷电场中的电势
（2）点电荷系电场中的电势
或
即
上述结果称为电势叠加原理：
即点电荷系的电场中某点的电势，等于各个点电荷的电场在该点电势之代数和。
这是本章的第三个叠加定理。
例：
同心的两个均匀带电金属球壳，其半径分别为=5cm、=10cm，其电荷分别为C、C。
求内球和外球表面上的电势。
V；V。
例:
如图所示，一内、外半径分别为和的均匀带电圆环形薄片，面电荷密度为。
求垂直于环面的轴线上一点的电势。
设点与环心相距为。
答案
例:
两个带电小球的质量分别为=5g、=15g，电荷分别为C、C，起初相距为=20cm，从静止开始在静电力作用下彼此接近，求运动到相距为=8cm时各球的速度。
不计重力和阻力，也不考虑运动电荷的磁场。
（提示：
将两球看作一系统，从动量和能量两方面入手去考虑。
）
为了描述静电场中各点电势的分布情况，我们将静电场中电势相等的各点连接成一个面，叫做等势面。
等势面的特征：
（1）在任何静电场中，沿着等势面移动电荷时，电场力所作的功为零。
（2） 在任何静电场中电场线与等势面是互相正交的。
同电场线相仿，我们也可以对等势面的疏密作一个规定，使它们也能显示出电场的强弱。
这个规定是：
使电场中任何两个相邻等势面的电势差都相等。
设、、为一电场线和三个邻近的等势面的交点那么单位正电荷沿电场线方向移动时，电场力作功各为
式中和分别为等势面、间和、间的平均场强。
按照等势面的上述画法规定，
所以
即场强的强弱与等势面之间的距离成反比，
也就是说，等势面愈密（即间距愈小）的区域，场强也愈大。
场强与电势之间的积分关系，即
现在来给出微分关系：
上式表示，电场中给定点的场强沿某一方向的分量，等于电势在这一点沿该方向变化率的负值。
负号表示场强指向电势降落的方向。
如左图所示，设、为电场中很接近的两点，相距，使得在段上的场强可看作恒量，并设位矢与之间的夹角为，则试探电荷从经历位移到达b时，电场力作功为
（a）
设点和点的电势分别为和，则电场力的功也可用式（11d）表示
（b）
式中表示电势的增量。
由式（a）、（b）消去，得
而等于场强在方向的分量，记作，则上式成为
即场强在某方向的分量等于该方向每单位长度上电势增量的负值。
式中负号的意义是这样的：
如果沿方向电势是升高的，为正值，则求得的为负，即<0，故为钝角，说明方向偏向于的反方向，而指向电势降低的方向；如果沿方向电势是降低的，为负值，则求得的为正值，即>0，故为锐角，说明方向偏向于的正方向，也是指向电势降低的方向。
这就表明，场强总是指向电势降低的方向。
为了得到电场中一点的场强与电势的关系，可对上式取→0的极限，即
从上式可知，在电势不变（=恒量）的空间内，沿任一方向电势的变化率，因此在空间任一点上，沿各方向的分量均为零，即
故任一点的场强必为零。
其次，在电势变化的电场内，电势为零处，该处的电势变化率不一定为零，因而由上式可知，场强不一定为零；反之，场强为零处，该处的电势变化率也为零，但该处的电势不一定为零。
这就是说，电场中一点的场强与该点电势的变化率有关；而一点的电势则不足以确定该点的场强。
如果在电场中取定一个直角坐标系，并把的方向分别取作的方向，则按照公式，可分别得到场强沿这三个方向的分量与电势的关系为
当我们计算场强时，通常可先求出电势，然后再按上式计算，从而就可求出场强。
因为是标量，计算及其导数显然比计算矢量来得方便。
导体因受外电场作用而发生上述电荷重新分布的现象，称为静电感应。
导体上因静电感应而出现的电荷，称为感应电荷。
（需要注意的是，引起导体静电感应的外电场，不一定是均匀电场，一般也可以是非均匀电场）
导体处于静电平衡状态的必要条件是：
（1）导体内部任何一点的场强都等于零。
（2）导体表面附近任一点的场强方向垂直于该点的表面。
当导体处于静电平衡时，导体内各点和导体表面上各点的电势都相等（由于内部场强处处为零，故在导体中沿连接任意两点，的曲线，必有
由关系式
可得该两点的电势差，即 。
）亦即，整个导体是一个等势体，导体表面是一个等势面。
处于静电平衡状态下导体所具有的电势称为导体的电势。
电介质的主要特征是它的分子中电子被原子核束缚得很紧，即使在外电场作用下，电子一般只能相对于原子核有一微观的位移，而不象导体中的电子那样，能够脱离所属原子作宏观运动。
因而电介质在宏观上几乎没有自由电荷，其导电性很差，故亦称为绝缘体。
并且，在外电场作用下达到静电平衡时，电介质内部的场强也可以不等于零。
分子内正、负电荷的中心不相重合其间有一定距离，这类分子称为有极分子。
其电矩为
注：
此处， 的方向自负电荷中心指向正电荷中心， 与 同方向，称为分子电矩；
在外电场作用下，由于每个分子 都成为一个电偶极子其电矩方向都沿着外电场的方向，以致在和外电场垂直的电介质两侧表面上，分别出现正、负电荷。
这两侧表面上分别出现的正电荷和负电荷是和介质分子连在一起的，不能在电介质中自由移动，也不能脱离电介质而独立存在，故称为束缚电荷或极化电荷。
在外电场作用下，电介质出现束缚电荷的这种现象，称为电介质的极化。
从以上所述可知，电介质极化程度取决于介质内分子的极化程度，而介质内分子的极化程度又可用其中所有分子电矩的矢量和 的大小和方向来表征。
为此，我们在电介质中任取一体积元力（其中仍包含有大量分子），在没有外电场时，内的分子电矩之矢量和；当存在外电场时，由于电介质的极化， 将不等于零。
于是在宏观上，我们便可以用单位体积中的分子电矩之矢量和 来描述电介质的极化程度；如果令→0，设其极限为，则它可表述电介质中一点的极化程度，称为电极化强度。
即
电极化强度 是一个矢量。
由于电矩的单位是C·m（库·米），体积的单位是，则电极化强度 的单位为C·（库每平方米），这与面电荷密度的单位相同。
实验指出，对于各向同性的电介质，其中每一点的电极化强度大小 与该点的总电场强度大小成正比，且方向相同，即
式中， 称为电极化率，它只与电介质中各点的极化性质有关。
若是恒量，即电介质各点的极化性质相同，则称为均匀电介质。
今后我们只讨论各向同性的均匀电介质。
我们把真空中静电场的高斯定理，推广到有电介质时的静电场中去。
今在有电介质时的静电场中，任意作一高斯面，被它所包围的电荷除自由电荷外，还存在束缚电荷，由高斯定理：
（a）
由于介质中的束缚电荷难于测定，须在（a）式中用有关物理量来取代。
在上一节中说过，由于电介质的极化，在介质上要出现束缚电荷。
因而，描述介质极化程度的电极化强度与束缚电荷之间必然存在着一定的关系。
在均匀电介质中，对于上述任取的高斯面，电极化强度 的曲面积分与该高斯面所包围的束缚电荷存在着如下关系，即
（b）
把式（b）代入式（a）中，成为 移项，得
（c）
把矢量和称为电位移或矢量。
即 （3a）则由上式，便可把式（c）写成如下形式：
（3）这就是有电介质时静电场的高斯定理表达式。
电位移的单位是C/ （库每平方米）。
电介质时静电场的高斯定理可表述为：
通过有电介质时静电场中任一闭合面的电位移通量，在数值上等于该闭合面所包围的自由电荷之代数和。
对各向同性电介质，由式（3a），因，故：
（3c）
令：
（3d）式中，称为电介质的相对电容率，称为电介质的电容率，是真空电容率。
、都是表征电介质性质的。
没有单位，是一个大于1的纯数。
显然，与有相同的单位。
现在我们将式（3d）代入式（3c），得
（3e）
上式称为电介质的性质方程。
对于各向同性的均匀电介质。
由于是正的恒量，从式（3d）可知，及也是正的恒量；因此电场中各点的和方向相同，在数值上，。
称为导体的电容。
对同一个导体来说，它的电容是一个恒量，它与导体本身的大小、形状有关，而与构成导体的质料无关，也和所带电荷的多少或是否带电无关。
（附近导体和电介质对给定电容均是使电容增大的影响。
通常所用的电容器由两个金属极板和介于其间的电介质所组成。
电容器带电时常使两极板带上等量异种的电荷（或使一板带电，另一板接地，借感应起电而带上等量异种电荷）。
电容器的电容定义为电容器一个极板所带电荷（指它的绝对值）和两极板的电势差（不是某一极板的电势）之比：
设有两平行的金属极板，每板的面积为，两板的内表面之间相距为d。
根据上一章所导出的平行的无限大均匀带电平面的电场强度公式，两极板间均匀电场的场强大小为
式中为任一极板上所带电荷的面电荷密度（绝对值）。
式中为任一极板表面上所带的电荷大小。
设两极板间为真空时的平行板电容器电容为，则由电容器电容的定义，得
由上式可知，只要使两极板的间距d足够微小，并加大两极板的面积，就可获得较大的电容。
充满均匀电介质时的电容为
可得：
即为该电介质的相对电容率。
一般电介质的均大于1。
球形电容器是由半径分别为和的两个同心球壳组成的，两球壳中间充满电容率为的电介质（左图）。
两球壳之间的电场具有球对称性，可用有介质时的高斯定理求出这电场，它和单独由内球激发的电场相同，即
因为
所以
当几只电容器互相连接后，它们所容纳的电荷与两端的电势差之比，称为电容器组的等值电容。
设有n只电容器，电容分别为 ，串联的方法如右下图所示。
这里，每一只电容器的每一极板都只和另一只电容器的一个极板相连接。
把电源接到这个组合体两端的两个极板上进行充电，使两端的极板上分别带正、负电荷和，并由于静电感应，每个电容器的两极板上亦分别感应出等量异种电荷 与，如图所示。
令电路上各点的电势分别为，因为电容器的电容不受外界影响，串联后每一只电容器的电容都和其单独
升级会员 