勾股定理思维导图题型总结.docx
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勾股定理思维导图题型总结
（一）勾股定理2
22c、b，斜边长为c,那么a＝+b如果1：
勾股定理直角三角形的两条直角边长分别为a
.
我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”弦勾要点诠释：
股其主要应用：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，2、
2222aca?
?
bb?
c?
?
C?
90?
ABC?
，）已知直角三角形的两边求第三边（在，中，，则（1
22ba?
c?
））已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（2）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题（3：
勾股定理的证明3勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变baacb②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理ccbc常见方法如下：
aba122Dc?
（ba）?
4?
ab?
CSS?
S?
4
2方法一：
，，化简可证．?
EFGH正方形ABCD正方形HEGFab方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．BcA122cab?
?
ab?
c2?
?
S4
2四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
AaDb222bab?
?
a?
2?
S?
（ab）222c?
a?
bc所以大正方形面积为
EcaBC111b2）ba?
（?
?
S（ab）?
cab?
?
2?
S?
2S?
S
ABEADE?
?
梯形梯形222，，化简得证方法三：
4：
勾股数222cb?
a?
bca为正①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即，，中，
bca，为一组勾股数整数时，称，5,12,136,8,103,4,5等如；；；；；②记住常见勾股数可以提高解题速度，8,15,177,24,259,40,41221?
n,nn?
1,22,?
nnn组勾股数：
（③用含字母的代数式表示为正整数）；222222,?
nmn?
nmn,2,m?
m1?
2n2n,2n?
2n1,2n?
?
nnm为正整数）（为正整数），（5、注意：
1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
（）勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关（2系的题目。
）勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯（3的主要错误。
A为直角三角形△ABC（4）推理格式：
∵cb222222=c∴AC+BC+b=AB）.（或aBCa
（二）勾股定理的逆定理c2，那么这个三角形是直角三角形。
，且满足a2+b2＝、如果三角形的三边长分别为：
ab、c要点诠释：
“数转化为形”它通过勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
；）首先确定最大边，不妨设最长边长为：
c（1为直角的直角三C，则△ABC是以∠a2+b2a2+b22（）验证c2与是否具有相等关系，若c2＝角形。
为锐角三角形）ABC则△，c2a2+b2（若．
222c?
a?
bbaac，，只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长（定理中，及222b?
c?
abbbcac为三边的三角形是直角三角形，但是，那么以，为斜边），，满足3：
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：
勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：
互逆命题的概念这样的两个命题叫做互逆命如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，
题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
六、随堂练习C?
?
?
90?
Rt?
ABCCbcaB?
A?
、．在1和、中，，的对边分别为、2?
a4b?
c.，斜边上的高为，则=⑴若；4c?
3b?
a.
斜边上的高为，则，⑵若=.
a3?
_______b?
10c?
2ba.
⑶若，且斜边上的高为，.，则=
1b?
_______b?
3?
a32cc⑷若..，则=斜边上的高为，且，．正方形的边长为3，则此正方形的对角线的长为2.．正方形的对角线的长为4，则此正方形的边长为3.
dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，求圆的直径至少50．有一个边长为4多长6m8m处，求旗杆折断之前有多高？
5处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部．一旗杆离地面
mAO.5AO2m3AB，如果梯子顶斜靠在一竖直的墙的距离为长的梯子6.如图，一个上，这时m505m.0.BA，那么梯子底端端沿墙下滑也外移吗？
勾股定理典型例题及专项训练专题一：
直接考查勾股定理，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
101．已知等腰三角形腰长是
ABCD的面积。
，B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4CD=2。
求：
四边形、已知：
如图，∠A
D
BC?
的长为多少？
，则ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12BC3：
在A34边上AB=是BC，AC=4，ADABC4：
已知如图，在△中，∠C=60°，BC的长。
的高，求DCB，AC=bDAB=c，设，ABRt5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥于。
，CD=hBC=aC111?
?
222h?
b?
c?
aabh）求证：
（1
（2）ADBhc，?
ba?
，h（为三边的三角形是直角三角形练习3）以，则CD=1，若E、D于AC、AB的垂直平分线分别交ACo，A=45，∠AB=AC中，ABC如图，△6.
）
BD等于（
．．DA．1B．C6，求这个三角形的面积．，周长是2+7.已知一直角三角形的斜边长是2
43,BC?
AC?
?
?
C?
90ABCRt?
如图,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积，8.CA
的长．AD上一点，且⊥AC，求BDAB=AC=206.如图，△ABC中，，BC=32，D是BC
，求∠?
PC=2PB=1，P°，AC=BC，是△ABC内一点，满足PA=3，ACB=907.如图，△ABC中，∠BPC的度数．
D长点。
求CD交）°，已知△8.ABC中，∠ACB=90AC=3,BC=4,（1AD平分∠BAC,BC于于E，求长CEACABC,BE2（）平分∠交BB
DCEACA．
勾股定理的证明专题二ca，lcb，a，51、如图，直线，若上有三个正方形的面积分别为b
c
ab）的面积为（和11，则l
55
（Ｄ）（Ａ）4
（Ｂ）6
（Ｃ）16
ABCD月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形、如图是22002年8DAE
证：
△ABF≌△和EF都是正方形.
A
H
E
D
B
G
F
C
）n（m?
的正方形，小颖将3、图①是一个边长为nmmn图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②→←→←mn）能验证的式子是（
图②图①22222mn）?
2n）?
（m?
n（（（m?
n）?
m?
n）?
4mnm?
题图第3．A．B
22222n?
?
m2?
n）?
mn（mnm?
?
m?
n）?
（mn）（D．C．网格中的勾股定理专题三四条线段，其中能构成一个直GH、EF、AB1、如图1，在单位正方形组成的网格图中标有、CD）角三角形三边的线段是（
、AB（D）GHCDABCGHEFABB、、）（ACDEFGH（）、、（）、、
A
EF
CD、C
B
中，边长为无理ABC2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形）数的边数是（AB3
．．2DA．0B．1CC是小正方形、B、C，3、（2010年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1AABC的度数为（）的顶点，则∠A．30°°60C．45°A．90°BD．C，则1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC4、如图，小正方形边长为）边AC上的高为（3343B555251052D.A.C.B.
5、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点称为格点，请以图中
的格点为顶点画一个边长为3、、的三角形．所画的三角形是直角三角形吗?
说明理由．
的三个形状不在图中画出面积为2、6如图，每个小正方形的边长是1，同的三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形）
实际应用建模测长专题四
1、如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5AC.
点，并求水池的深度D恰好落到B米，把芦苇拉到岸边，它的顶端
米以米的墙上，任何东西只要移至52、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.51.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
内，灯就自动打开，一个身高
、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强3处有一台风中心，其中B的正南方向220千米的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A千1520千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以心最大风力为12级，每远离台风中心移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过o方向往C米/时的速度沿北偏东30.
四级，则称为受台风影响.
）该城市是否会受到这交台风的影响？
请说明理由（12（）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？
）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
（3
梯子问题专题五．
15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？
1、如果梯子的底端离建筑物9米，那么
）这个梯子的顶端距米，（1、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙72那么梯子的底端在水米，）（2如果梯子的顶端下滑了4地面有多高？
平方向滑动了几米？
米时，梯AC方向下滑xBCAC⊥，AC=BC，当梯子的顶端A沿3、如图，梯子AB斜靠在墙面上，）米，则方向滑动yx与y的大小关系是（足B沿CBAyx?
x?
yy?
x不C.B.D.A.
能确定C
专题六最短路线、如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内12步为1米），却踩伤了花草．走出了一条“路”．他们仅仅少走了（）步路（假设
3
D、、B5C、4、A6
ABC为10㎝，是上底面的直径。
一蚂蚁从点AB2、如图，一圆柱体的底面周长为20㎝，高出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程。
BC
DA
3、如图，有一个圆柱体，底面周长为20㎝，高AB为10㎝，在圆柱的下底面A点处有一只蚂蚁，它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端C点处，那么它所行走的路程是多少？
C
4、如图，假如这是一个圆柱体的玻璃杯，AD是杯底直径，C是杯口一点，其他已知条件不变，蚂蚁从外部点A处爬到杯子的内壁到达高CD的中点E处，最短该走多远呢？
（杯
BC子的厚度不计）
E
DA
爬行，问B米，且封闭的正方体盒子外部的顶点5、如图，一只蚂蚁从一个棱长为1A向顶点B
这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？
A
，一只蚂蚁的距离为5cmB到点C20cm、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为，点6点，需要爬行的最短距离是多少？
A点爬到B如果要沿着长方体的表面从
B
C
20
10
A15
是台阶B，0.2mA和、7、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m0.3m、点点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到BB上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到的最短路程是多少？
.B
0.22
03
A．
折叠三角形专题七
折沿直线1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边ADAC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC的长．叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CDA
E
CBD
重合，、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使AB与2A的长吗？
BC=6cm,折痕为DE，若已知AC=10cm，你能求出CEDCBE沿最长边AB翻折后得到AC=4、如图,△ABC的三边BC=3，、AB=5,把△ABC3AC'△ABC′，则CC′的长等于（）12624135555D.B.A.C.BC
专题八折叠四边形
1、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求
（1）CF的长
（2）EC的长.ADECBF．
D重合，折痕为AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点AD=4cm2、在矩形纸片ABCD中，，EBAEF的长。
）EF，求
（1）DE的长；（2
CDF
C'重合，折叠后在C折叠，使点A与点的边长矩形纸片ABCDAB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF3._____________.其一面着色（如图），则着色部分的面积为G
F
D
C
B
A
E
3题图第
，，BC=7C′的位置上，已知AB=?
3落在，、如图2-3把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C4．重合部分△EBD的面积为________
，于F于E，交AD边上的点使顶点，5、如图5将正方形ABCD折叠，A与CDM重合，折痕交BCABCD的面积边的中点，且。
如果GM为CDDE=6，求正方形边交于点折叠后与边ABBCMDCEGFAB
EF落在折叠，使A，先把它对折，折痕为EF，展开后再沿BGBC=86、矩形ABCD中，AB=6，的长。
，求第二次折痕BG上的A1CB
A'FE
ADG
旋转问题：
专题九
32.ABC内一点，PA=2,PB=ABC的边长,PC=4,求△是等边三角形1、如图，P
F是BC上的点，且∠EAF=45°，ABC2、如图，△为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、
222EF、CF、BE.
试探究间的关系，并说明理由
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
22290?
?
CD?
2AD?
?
。
BD求证：
上任一点，BC是D，BAC=，AB=AC中，ABC已知在如图所示，、4．
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