均值不等式教学设计 人教课标版新教案.docx
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均值不等式教学设计人教课标版新教案
教学设计
. 均值不等式
整体设计
教学分析
均值不等式也称基本不等式.本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义,几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用.本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明,在思考与讨论过渡下,给出均值不等式的一个几何直观解释,以加深学生对均值不等式的理解.教材用作差配方法证明均值不等式.作差配方法是证明不等式的基本方法,在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法.在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件,并掌握基本技能.一般说来,“见和想积,拆低次,凑积为定值,则和有最小值;见积想和,拆高次,凑和为定值,则积有最大值”.
本节的《新课标》要求是:
探索并了解均值不等式的证明过程;会用均值不等式解决简单的最大(小)问题.从历年的高考来看,均值不等式是重点考查的内容之一,它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节,且常考常新,大多是大小判断、求最值、求取值范围等.不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能,同时也是高中数学的一个难点,题型广泛,涉及面广,证法灵活,备受命题者的青睐,因而成为历届高考中的热点.几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影.书中练习、和习题都是基本题,要求全做.
鉴于均值不等式的特殊作用,因此本节设计为课时完成,但仅限于基本方法和基本技能的掌握,不涉及高难度的技巧.第一课时重在均值不等式的探究,第二课时重在均值不等式的灵活运用.且在教学中,将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来,让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式+≥的联系.
三维目标
.通过本节探究,使学生学会推导并掌握均值不等式,理解这个均值不等式的几何意义,掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:
当且仅当这两个数相等.
.通过对均值不等式的不同形式应用的研究,渗透“转化”的数学思想,提高学生运算能力和逻辑推理能力.引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.
.通过本节学习,使学生体会数学来源于生活,帮助学生养成良好的学习习惯,形成积极探索的态度,逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯.
重点难点
教学重点:
用数形结合的思想理解均值不等式,并从不同角度探索不等式≥的证明过程;用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题.
教学难点:
用均值不等式求最大值和最小值,均值不等式≥等号成立条件的运用,应用均值不等式解决实际问题.
课时安排
课时
教学过程
第课时
导入新课
思路.(直接引入)像教材那样,直接给出均值定理,然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法.因为有了上两节的不等式的探究学习,因此这样引入虽然直白却也是顺其自然.
思路.(情境导入)教师自制风车,让学生把教师自制的风车转起来,这是学生小时候玩过的得意玩具;手持风车把手,来了一个°的旋转,不但风车转得漂亮,课堂气氛也活跃,学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐,情境引入达到高潮,此时教师再提出问题.
推进新课
活动:
教师引导学生阅读均值定理的内容,或直接用多媒体给出.点拨学生利用上两节课所学知识进行证明,这点学生会很容易做到,只需作差配方即可.接着让学生明确,这个结论就是均值不等式,也叫基本不等式.其中,任意两个正实数、的叫做数、的算术平均值,数叫做、的几何平均值.均值定理可以表述为:
两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.强调这个结论的重要性,在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用,是高考的一个热点.可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件,、必须是正数,等号成立当且仅当=,以加深学生对此结论的理解,为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础.
利用不等式的性质对均值不等式两边平方,则很容易得到+≥.这是一个很重要的结论.一般地,如果、∈,那么+≥(当且仅当=时取“=”)也可让学生重新证明这个结论:
∵+-=(-),
当≠时,有(-)>.
当=时,有(-)=,所以(-)≥,即+≥.
这个不等式对任意实数,恒成立,是一个很重要的不等式,应用非常广泛.请同学们注意公式的结构形式,成立的条件是、为实数,等号成立的条件是当且仅当=时成立.“当且仅当”即指充要条件.
下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究.
如图,是圆的直径,点是上一点,=,=.过点作垂直于的弦′,连结、.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗?
图
(本节课开展到这里,学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法,对均值不等式也已经很熟悉,这就具备了探究这个问题的知识与情感基础)
这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形.容易证明△∽△.所以可得=.或由射影定理也可得到=.从图中我们可直观地看到表示的是半弦长,表示的是半径长.由于半弦长不大于半径,即小于或等于圆的半径,用不等式表示为:
≥.
显然,上述不等式当且仅当点与圆心重合,即当=时,等号成立.
还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式.如若、∈+,则≤,当且仅当=时,式中等号成立.好多书上就把它称为基本不等式.在同样条件下还可写成:
+≥或≤+等.
讨论结果:
()()略.
()均值不等式的几何解释是:
半径不小于半弦长.
()若、∈+,则≤,当且仅当=时,式中等号成立;
若、∈+,则+≥,当且仅当=时,式中等号成立;
若、∈,则+≥,当且仅当=时,式中等号成立.
例(教材本节例)
活动:
本例是均值不等式的简单应用,教师点拨学生证明时注意式中成立的条件,本例中的和相当于均值不等式中的、.因此必须有,∈+.
点评:
初用均值不等式,学生往往容易忽视不等式成立的条件,点拨学生注意,只要使用均值定理,马上先想到条件,养成良好的解题习惯.
变式训练
已知、、都是正实数,求证:
(+)(+)(+)≥.
证明:
∵>,>,>,
∴+≥>,+≥>,+≥>.
∴(+)(+)(+)≥··=,
即(+)(+)(+)≥.
例已知(+)(+)>(+),求证:
+≥.
活动:
教师引导学生探究题目中的条件与结论.本题结论中,注意与互为倒数,它们的积为,故此题应从已知条件出发,经过变形,说明与为正数开始证题.
证明:
∵(+)(+)>(+),
∴+++>+.
∴-+->.
∴(-)-(-)>.
∴(-)(-)>,
即-与-同号.
∴与均为正数.
∴+≥=(当且仅当=时取“=”).
∴+≥.
点评:
本题通过对已知条件变形,恰当地因式分解,从讨论因式乘积的符号来判断与是正还是负,是我们今后解题中常用的方法.
例若>>,=,=(+),=,则( )
.<<.<<
.<<.<<
活动:
这是均值不等式及其变形式的典型应用.根据、、三个式子的结构特点,应考虑利用均值不等式,再运用函数=的单调性.
答案:
解析:
∵>>,
∴>>.
∴(+)>·,即>.
又∵>,
∴>=(+).
∴>.故<<.
点评:
应准确理解均值不等式成立的条件,创造性地应用均值不等式.
例(教材本节例)
活动:
这是一个实际问题.教师引导学生分析,根据题意在()中,矩形的长与宽的积是一个常数,求长与宽的和的两倍的最小值;在()中,矩形的长与宽的和的两倍是一个常数,求长与宽的积的最大值.联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积,因此建立均值不等式的数学模型.
点评:
本例也可用函数模型解决,课后可让学生试一试.这里用均值不等式来解,一是说明利用均值不等式求最值的方法,二是说明这种方法的快捷.解完本例后,让学生领悟到:
两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.简单地说就是:
在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”.正是正数,定是定值,相等是能取到等号.
.“=”是“对任意的正数+≥1”的( )
.充分不必要条件.必要不充分条件
.充要条件.既不充分又不必要条件
.若正数、满足=++,则的取值范围是.
答案:
. 解析:
一方面,当=时,对任意的正数,有+=+≥;另一方面,对任意正数,都有+≥,只要+≥≥,即得≥.
.[,+∞) 解法一:
令=(>),
由=++≥+,得≥+,
解得≥,即≥,故≥.
解法二:
由已知得-=+,(-)=+,
∴=(>).
∴=·=[(-)+]=++=-++
=-++≥+=.
当且仅当-=时取等号,即==时,的最小值为.
∴的取值范围是[,+∞).
点评:
此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力.通过思考+与的关系联想到均值不等式,或建立在函数思想上,求函数的值域.
由于视角的不同,有多种方法,以上仅是其中的两种解法.
.由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法?
有哪些收获?
.教师强调,本节课,我们学习了重要不等式+≥;两正数、的算术平均数(),几何平均数()及它们的关系(≥).两关系式成立的条件不同,前者只要求、都是实数,而后者要求、都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具.
习题—2A组,.习题—组,.
设计感想
.本节设计突出重点.均值不等式的功能在于求最值,这是本节的重点,要牢牢地抓住.但使用均值不等式求函数最值时要注意:
①,都是正数;②积(或和+)为定值;③与必须能够相等.
.本节课我们探究了均值不等式,拓展了我们的视野;证明不等式是高中数学的重点,也是难点,在设计中加强了证明不等式的题量,但难度并不大,重在让学生体会方法.将解题思路转化为解题过程,往往不是一帆风顺的,谈思路可能头头是道,具体求解却可能会处处碰壁,消除思路与求解的差异,要靠探究,在探究中不断更新,在探究中逐步完善.
(设计者:
郑吉星)
第课时
导入新课
思路.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果:
一是如果,∈,那么+≥(当且仅当=时取“=”);二是均值不等式:
如果,是正数,那么≥(当且仅当=时取“=”).在这个不等式中,为,的算术平均数,为,的几何平均数,这样均值不等式就有了几何意义:
半弦长不大于半径.+≥与≥成立的条件是不同的,前者只要求,都是实数,而后者要求,都是正数.本节课我们进一步探究均值不等式的应用.由此展开新课.
思路.(直接导入)通过上节课+≥(、∈)与≥(>,>)的探究证明,我们熟悉了不等式的一些证明方法.本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法,进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路.教师打开多媒体课件,从而展开新课.
推进新课
活动:
教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式,以及均值不等式与+≥的联系.给出了均值不等式的一个几何直观解释.均值不等式与+≥都有着广泛的应用.对这两个重要不等式,要明确它们成立的条件是不同的.后者成立的条件是与都为实数,并且与都为实数是不等式成立的充分必要条件;而前者成立的条件是与都为正实数,并且与都为正数是不等式成立的充分不必要条件,如=,=,仍然能使≥成立.
两个不等式中等号成立的条件都是=,故=是不等式中等号成立的充要条件.
在使用“和为常数,积有最大值”和“积为常数,和有最小值”这两个结论时,应把握“一正、二定、三相等”.当条件不完全具备时,应创造条件.
本节课我们将进一步探究均值不等式的应用.
讨论结果:
()()略.
()应注意不等式成立的条件,即把握好“一正,二定,三相等”.
例(教材本节例)
活动:
本例是求函数的最值.教师引导学生将()变形,注意观察代数式中可否出现和或积的定值.本例可放手让学生自己探究,教师给予适当点拨.
点评:
解完本例后,让学生反思并领悟在求函数最值时,如何使用均值不等式的条件,并掌握基本技能.
变式训练
函数=(+)-(>且≠)的图象恒过定点,若点在直线++=上,其中>,则+的最小值为.
答案:
解析:
∵=(+)-恒过点(-,-),∴(-,-).
又∵在直线上,
∴-2m-+=,即2m+=.
又∵>,∴>,>.
而+=+
=+++≥+×=,
当=,=时取“=”.
∴+的最小值为.
例()已知<,求函数=-+的最大值;
()已知、为实数,求函数=(-)+(-)的最小值.
活动:
()因为-<,所以首先要“调整”符号.又(-)·不是常数,所以应对-进行拆(添)项“配凑”.()从函数解析式的特点看,本题可化为关于的二次函数,再通过配方法求其最小值.但若注意到(-)+(-)为定值,则用变形不等式≥()更简捷.
解:
()∵<,∴->.
∴=-+=-(-+)+≤-+=.
当且仅当-=,即=时,上式等号成立.
∴当=时,=.
()∵=(-)+(-)=(-)+(-)
≥[]=,
当且仅当-=-,即=时,上式等号成立.
∴当=时,=.
点评:
若、∈+,+=,=.若为定值,则当且仅当=时,的值最小;如果为定值,则当且仅当=时,的值最大.简称“和定积最大,积定和最小”.从本例的解答可以看出,求最值时往往需要拆(添)项,其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件,即满足“一正,二定,三相等”的要求.
变式训练
已知在△中,∠=°,=,=,是上的点,则点到、的距离乘积的最大值是.
答案:
解析:
方法一:
以、所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,则直线方程为+=,设(,),则+=(>,>).
∴=··≤()=,
当且仅当“=”时等号成立.
方法二:
设到的距离为,到的距离为.
由相似三角形易得=,=,
∴+==.以下解法同一.
例当>-时,求函数()=的值域.
活动:
教师引导学生观察函数()的分子、分母特点,可作如下变形:
()===++-.
这样就可以应用均值不等式了.
解:
∵>-,
∴+>.
∴()===++-≥-=-,当且仅当(+)=时,即=-时取“=”.
另一解=--<-(舍去),故函数值域为[-,+∞).
点评:
本题解法具有典型性,解后教师引导学生领悟反思.这种求值域的题目,在“函数”一章中我们接触较多,其常用方法有单调性、图象法,还有判别式法.利用判别式法不仅计算量大,而且极易因忽视某些条件而出错.本例给出了用均值不等式法求值域的方法,既简单又不易出错.但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件:
①各项均为正数;②和或积有一个为定值;③等号一定取到,这三个条件缺一不可.
变式训练
已知···…·=,且、、、…、都是正数,则(+)(+)…(+)的最小值是.
答案:
解析:
∵>,则+≥,
同理,+≥,
……
+≥,
各式相乘,得
(+)(+)…(+)≥·=.
取“=”的条件为===…==,
∴所求最小值为.
例设<<,求函数()=的最大值,并求相应的值.试问<<时,原函数()有没有最大值?
<≤时,()有没有最大值?
若有,请你求出来;若没有,请你说明理由.
活动:
对本例中的函数可变形为()=,根号内是我们熟悉的二次函数,完全可以用二次函数的知识方法解决,这种方法学生很熟悉.教师可引导学生利用均值不等式求解,让学生自己探究,教师可适时地点拨.
解:
∵<<,∴->.
∴()=≤=,
当且仅当=-,即=时取“=”.
∴函数()的最大值为,此时=.
又()==,
∴当<<时,()递增;当>时,()递减.
∴当<<时,原函数()没有最大值.
当<≤时,有最大值(),即()=.
点评:
通过本例再次加深对均值不等式条件的理解.体会不等式的功能在于“和与积”的互化,构造均值不等式,解题的技巧是拆(添)项或配凑因式.
.函数()=的最大值为( )
.
.求函数=+(>)的最小值,以及此时的值.
.已知、∈+,且+-=,求+的最小值.
答案:
. 解析:
当=时,()=;当>时,()==≤,当且仅当=,即=时取等号.
.解:
∵>,∴+≥·=,
当且仅当=,即=时取等号.
∴当=时,+的值最小,最小值是.
.解:
由+-=得(-)=.
∵>,>,∴->.
∴+=+=-++≥+=,
当且仅当-=,即=时,+取最小值.
.由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法,回顾本节课解决了哪些问题?
应注意些什么?
.教师点拨,本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题,在用均值不等式求函数的最值时,应注意考查下列三个条件:
()函数的解析式中,各项均为正数;()函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;()函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值.即用均值不等式求某些函数的最值时,应具备三个条件:
一正、二定、三相等.在利用均值不等式证明一些不等式时,也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构.
习题—2A组、、、、;习题—组、.
设计感想
.本节设计意在体现均值不等式的应用,因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的,且强调一题多解的训练.
.本节设计关注了教学进程的和谐发展.整个设计给人自然流畅的感觉,没有教师过分自我展示的味道,能使学生的思维得到充分的锻炼,能力得到很大的提高.
.本节设计重视了学生的主体地位,从例题到变式训练,从新课导入到课堂小结,都注意了学生的主动思维活动,充分让学生占据思维的时空,这是提高学生思维能力的有效良方.
备课资料
一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)
()设,,,…,为正实数,这个数的算术平均值记为,几何平均值记为,即=,=,即≥,当且仅当==…=时,=.特别地,当=时,≥;当=时,≥.
()用局部调整法证明均值不等式≥.设这个正数不全相等.不失一般性,设<≤≤…≤,易证<<,且<<.在这个数中去掉一个最小数,将换成,再去掉一个最大数,将换成+-,其余各数不变,于是得到第二组正数:
,,,…,-,+-.这一代换具有下列性质:
①两组数的算术平均值不变,设第二组数的算术平均值为,那么==,②第二组数的几何平均值最大.设第二组数的几何平均值为,则=,
∵(+-)-=(-)(-),由<<,得(-)(-)>,则(+-)>.∴2a…-(+-)>1a…-·,即>.
二、备用习题
.已知≥,≥,且+=,则( )
.≤.≥.+≥.+≤
.若、、、、、是正实数,且=+,=·,则( )
.=.<.≤.≥
.若函数=()的值域是[,],则函数()=()+的值域是( )
.[,].[,]
.[,].[,]
.某公司一年购买某种货物吨,每次都购买吨,运费为万元次,一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则=吨.
.直线过点()且分别交轴,轴正半轴于点,,为坐标原点,求△面积最小时的方程.
.经过长期观测得到:
在交通繁忙的时段内,某公路汽车的车流量(千辆时)与汽车的平均速度(千米时)之间的函数关系为=(>).
()在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大?
最大车流量为多少?
(精确到千辆时)
()若要求在该时段内车流量超过千辆时,则汽车的平均速度应在什么范围内?
参考答案:
. 解析:
对于选项:
+=≥==.故正确.
. 解析:
∵、、、、、是正实数,
∴=·
=
≥
=+=.
. 解析:
令=(),则∈[,].
∴()=()=+.该函数在=处取得最小值,在=处取得最大值.
故选.
. 解析:
设一年总费用为万元,则=·+=+≥=,当且仅当=,即=时,等号成立.
.解:
设直线的方程为-=(-),即=+-(<).
令=,得=-;
令=,得==-.
∴△=(-)(-)=++(-).
∵<,∴->.
∴△≥+=,当且仅当-=-,即=-时取等号.
此时的方程为=-+.
.解:
()依题意,得=≤=,
当且仅当=,即=时,上式等号成立,
所以=≈(千辆时).
()由条件得>,
整理,得-+<,
即(-)(-)<,
解得<<.
答:
当=千米时时,车流量最大,最大车流量约为千辆时.如果要求在该时段内车流量超过千辆时,则汽车的平均速度应大于千米时且小于千米时.
(设计者:
郑吉星)