52 平行线及其判定.docx

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52平行线及其判定

5．2　平行线及其判定

5．2.1　平行线

1．了解平行线的概念及平面内两条直线相交或平行的两种位置关系；

2．掌握平行公理以及平行公理的推论；（重点、难点）

3．会用符号语言表示平行公理推论，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．（重点）

一、情境导入

数学来源于生活，生活中处处有数学，观察下面的图片，你发现了什么？

以上的图片都有两条相互平行的直线，这将是我们这节课学习的内容．

二、合作探究

探究点一：

平行线的概念

下列说法中正确的有：

________．

（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行；

（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行；

（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交；

（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交；

（5）在同一平面内，两条直线的位置关系有三种：

平行、相交和垂直．

解析：

根据平行线的概念进行判断．线段不相交，延长后不一定不相交，

（1）错误；同一平面内，直线只有平行和相交两种位置关系，

（2）（4）正确，（5）错误；线段是有长度的，不平行也可以不相交，（3）错误．故答案为

（2）（4）．

方法总结：

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

平行和相交．两条线段平行、两条射线平行是指它们所在的直线平行，因此，两条线段不相交不意味着它们所在的直线不相交，也就无法判断它们是否平行．

探究点二：

过直线外一点画已知直线的平行线

如图所示，在∠AOB内有一点P.

（1）过点P画l1∥OA；

（2）过点P画l2∥OB；

（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样的关系．

解析：

用两个三角板，根据“同位角相等，两直线平行”来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角，该角与∠O的关系为相等或互补．

解：

（1）

（2）如图所示；

（3）l1与l2夹角有两个：

∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2＋∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．

易错点拨：

注意∠2与∠O是互补关系，解答时容易漏掉．

探究点三：

平行公理及其推论

【类型一】应用平行公理及其推论进行判断

有下列四种说法：

（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

（2）同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中正确的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：

根据平行公理、垂线的性质进行判断．

（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；

（2）同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，正确；（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确；正确的有4个．故答案为D.

方法总结：

平行线公理和垂线的性质两者比较相近，两者区别在于：

对于平行线公理中，必须是过直线外一点可以作已知直线的平行线，但过直线上一点不能作已知直线的平行线，垂线的性质中，无论点在何处都能作出已知直线的垂线．

【类型二】应用平行公理的推论进行论证

四条直线a，b，c，d互不重合，如果a∥b，b∥c，c∥d，那直线a，d的位置关系为________．

解析：

由于a∥b，b∥c，根据平行公理的推论得到a∥c，而c∥d，所以a∥d.故答案为a∥d.

方法总结：

平行公理的推论是证明两条直线相互平行的理论依据．

【类型三】平行公理推论的实际应用

将一张长方形的硬纸片ABCD对折后打开，折痕为EF，把长方形ABEF平摊在桌面上，另一面CDFE无论怎样改变位置，总有CD∥AB存在，为什么？

解析：

根据平行公理的推论得出答案即可．

解：

∵CD∥EF，EF∥AB，∴CD∥AB.

方法总结：

利用平行公理的推论进行证明时，关键是找到与要证的两边都平行的第三条边进行说明．

三、板书设计

平行线

本节课以学生身边熟悉的事物引入，让学生感受到生活中处处有数学，数学与我们的生活密不可分．经历观察多媒体的演示和通过画图等操作，交流归纳与活动，进一步培养学生的空间想象能力.

5．2.2　平行线的判定

第1课时　平行线的判定

1．掌握两直线平行的判定方法；（重点）

2．了解两直线平行的判定方法的证明过程；

3．灵活运用两直线平行的判定方法证明直线平行．（难点）

一、情境导入

怎样用一个三角板和一把直尺画平行线呢？

动手画一画．

二、合作探究

探究点一：

应用同位角相等，判断两直线平行

如图，∠1＝∠2＝55°，∠3等于多少度？

直线AB，CD平行吗？

说明理由．

解析：

利用对顶角相等得到∠3＝∠2，再由已知∠1＝∠2，等量代换得到同位角相等，利用“同位角相等，两直线平行”即可得到AB与CD平行．

解：

∠3＝55°，AB∥CD.理由如下：

∵∠3＝∠2，∠1＝∠2＝55°，∴∠1＝∠3＝55°，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．

方法总结：

准确识别三种角是判断两条直线平行的前提条件，本题中易得到同位角（“F”型）相等，从而可以应用“同位角相等，两直线平行”．

探究点二：

应用内错角相等，判断两直线平行

如图，已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，AB与CD平行吗？

为什么？

解析：

根据BC平分∠ACD，∠1＝∠2，可得∠2＝∠BCD，然后利用“内错角相等，两直线平行”即可得到AB∥CD.

解：

AB∥CD.理由如下：

∵BC平分∠ACD，∴∠1＝∠BCD.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCD，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

方法总结：

准确识别三种角是判断两条直线平行的前提条件，本题中易得到内错角（“Z”型）相等，从而可以应用“内错角相等，两直线平行”．

探究点三：

应用同旁内角互补，判断两直线平行

如图，∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC.AD与BC有怎样的位置关系？

为什么？

解析：

先根据∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC得出∠B与∠BAD的关系，进而得出结论．

解：

AD∥BC.理由如下：

∵∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC，∴∠BAD＝90°＋25°＝115°.∵∠BAD＋∠B＝115°＋65°＝180°，∴AD∥BC.

方法总结：

准确识别三种角是判断两条直线平行的前提条件，本题中易得到同旁内角（“U”型）相等，从而可以应用“同旁内角互补，两直线平行”．

探究点四：

平行线的判定方法的运用

【类型一】利用平行线判定方法的推理格式判断

如图，下列说法错误的是（　　）

A．若a∥b，b∥c，则a∥c

B．若∠1＝∠2，则a∥c

C．若∠3＝∠2，则b∥c

D．若∠3＋∠4＝180°，则a∥c

解析：

根据平行线的判定方法进行推理论证．A选项中，若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；B选项中，若∠1＝∠2，则a∥c，利用了“内错角相等，两直线平行”，正确；C选项中，∠3＝∠2，不能判断b∥c，错误；D选项中，若∠3＋∠4＝180°，则a∥c，利用了“同旁内角互补，两直线平行”，正确．故选C.

方法总结：

解决此类问题的关键是识别截线和被截线，找准同位角、内错角和同旁内角，从而判断出哪两条直线是平行的．

【类型二】根据平行线的判定方法，添加合适的条件

如图所示，要想判断AB是否与CD平行，我们可以测量哪些角？

请你写出三种方案，并说明理由．

解析：

判别两条直线平行的方法有：

同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此答题．

解：

（1）可以测量∠EAB与∠D，如果∠EAB＝∠D，那么根据“同位角相等，两直线平行”，得出AB与CD平行；

（2）可以测量∠BAC与∠C，如果∠BAC＝∠C，那么根据“内错角相等，两直线平行”，得出AB与CD平行；

（3）可以测量∠BAD与∠D，如果∠BAD＋∠D＝180°，那么根据“同旁内角互补，两直线平行”，得出AB与CD平行．

方法总结：

解决此类问题的关键是找准同位角、内错角和同旁内角．

三、板书设计

平行线的判定

两直线平行

平行线的判定是平行线内容的进一步拓展，是进一步学习平行线的有力工具，为学习平行线的性质、三角形、四边形等知识打下基础，在整个初中几何中占有非常重要的地位．学生虽然已经学了平行线的定义、平行公理，具备了探究直线平行的基础，但学生在文字语言、符号语言和图形语言之间的转换能力比较薄弱，在逻辑思维和合作交流的意识方面发展不够均衡，还需逐渐提高.

第2课时　平行线判定方法的综合运用

1．灵活选用平行线的判定方法进行证明；（重点）

2．掌握平行线的判定在实际生活中的应用．（难点）

一、情境导入

如图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角为多少度时，才能使木条a与木条b平行？

要解决这个问题，就要弄清楚平行的判定．

二、合作探究

探究点一：

平行线判定方法的综合运用

【类型一】灵活选用判定方法判定平行

如图，有以下四个条件：

①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5，其中能判定AB∥CD的条件有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：

根据平行线的判定定理即可求得答案．①∵∠B＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD；②∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；③∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；④∵∠B＝∠5，∴AB∥CD.∴能得到AB∥CD的条件是①③④.故选C.

方法总结：

要判定两直线是否平行，首先要将题目给出的角转化为这两条直线被第三条直线所截得的同位角、内错角或同旁内角，再看这些角是否满足平行线的判定方法．

【类型二】平行线的判定定理结合平行公理的推论进行证明

如图，直线AB、CD、EF被直线GH所截，∠1＝70°，∠2＝110°，∠2＋∠3＝180°.求证：

（1）EF∥AB；

（2）CD∥AB（补全横线及括号的内容）．

证明：

（1）∵∠2＋∠3＝180°，∠2＝110°（已知），

∴∠3＝70°（　　　　　　　　　　　）．

又∵∠1＝70°（已知），

∴∠1＝∠3（　　　　　　　　　　　　），

∴EF∥AB（　　　　　　　　　　　　）．

（2）∵∠2＋∠3＝180°，

∴______∥______（　　　　　　　　　　　）．

又∵EF∥AB（已证），

∴______∥______（　　　　　　　　　　　）．

解析：

（1）先将∠2＝110°代入∠2＋∠3＝180°，求出∠3＝70°，根据等量代换得到∠1＝∠3，再由“内错角相等，两直线平行”即可得到EF∥AB；

（2）先由“同旁内角互补，两直线平行”得出CD∥EF，再根据“两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”即可得到CD∥AB.答案分别为：

（1）等量代换；等量代换；内错角相等，两直线平行；

（2）CD；EF；同旁内角互补，两直线平行；CD；AB；平行于同一条直线的两直线平行．

方法总结：

判定两条直线平行的方法除了利用平行线的判定定理外，有时需要结合运用“平行于同一条直线的两条直线平行”．

【类型三】添加辅助线证明平行

如图，MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1＝140°，∠2＝50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．

解析：

通过观察图可以猜想AB与CD互相平行．过点F向左作FQ，使∠MFQ＝∠2＝50°，则可得∠NFQ＝40°，再运用两次平行线的判定定理可得出结果．

解：

过点F向左作FQ，使∠MFQ＝∠2＝50°，则∠NFQ＝∠MFN－∠MFQ＝90°－50°＝40°，AB∥FQ.又因为∠1＝140°，所以∠1＋∠NFQ＝180°，所以CD∥FQ，所以AB∥CD.

方法总结：

在解决与平行线相关问题时，有时需作出适当的辅助线．

探究点二：

平行线判定的实际应用

一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（　　）

A．第一次右拐60°，第二次右拐120°

B．第一次右拐60°，第二次右拐60°

C．第一次右拐60°，第二次左拐120°

D．第一次右拐60°，第二次左拐60°

解析：

汽车两次拐弯后，行驶的路线与原路线一定不在同一直线上，但方向相同，说明前后路线应该是平行的．如图，如果第一次向右拐，那么第二次应左拐，两次拐的方向是相反且角度相等的，两次拐的角度是同位角，所以前后路线平行且行驶方向不变．故选D.

方法总结：

利用数学知识解决实际问题，关键是将实际问题正确地转化为数学问题，即画出示意图或列式表示，然后再解决数学问题，最后回归实际．

三、板书设计

平行线的判定方法：

1．同位角相等，两直线平行；

内错角相等，两直线平行；

同旁内角互补，两直线平行；

2．平行于同一条直线的两直线平行．

在教学设计中，突出学生是学习的主体，把问题尽量抛给学生解决，有意识地对学生渗透“转化”思想，并将数学学习与生活实际联系起来．本节课对七年级的学生而言，本是一个艰难的起步，应时时提醒学生应注意的地方，证明要严谨，步步有依据，并且依据只能是有关概念的定义、所规定的公理及已知证明的定理，防止学生不假思索地把以前学过的结论用来作为证明的依据.