新课标八年级数学竞赛培训第31讲完全平方数和完全平方式.docx
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新课标八年级数学竞赛培训第31讲完全平方数和完全平方式
第31讲:
完全平方数和完全平方式
一、选择题(共4小题,每小题3分,满分12分)
1.(3分)若x是自然数,设y=x4+2x3+2x2+2x+1,则( )
A.
y一定是完全平方数
B.
存在有限个,使y是完全平方数
C.
y一定不是完全平方数
D.
存在无限多个,使y是完全平方数
2.(3分)已知a和b是两个完全平方数,a的个位数字为l,十位数字为x;b的个位数为6,十位数字为y,则( )
A.
x,y都是奇数
B.
x,y都是偶数
C.
x是奇数,y是偶数
D.
x为偶数,y为奇数
3.(3分)如果
是整数,那么a满足( )
A.
a>0且a是完全平方数
B.
a<0,且﹣a是完全平方数
C.
a≥0且a是完全平方数
D.
a≤0,且﹣a是完全平方数
4.(3分)设n是自然数,如果n2的十位数字是7,那么n2的末位数字是( )
A.
1
B.
4
C.
5
D.
6
二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)
5.(3分)若四位数
是一个完全平方数,则这个四位数是 _________ .
6.(3分)设m是一个完全平方数,则比m大的最小完全平方数是 _________ .
7.(3分)设平方数y2是11个相继整数的平方和,则y的最小值是 _________ .
8.(3分)p是负整数,且2001+p是一个完全平方数,则p的最大值为 _________ .
9.(3分)设自然数N是完全平方数,N至少是3位数,它的末2位数字不是00,且去掉此2位数字后,剩下的数还是完全平方数,则N的最大值是 _________ .
10.(3分)使得n2﹣19n+95为完全平方数的自然数n的值是 _________ .
11.(3分)自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方,则n= _________ .
12.(3分)两个两位数,它们的差是56,它们的平方数的末两位数字相同,则这两个数分别是
_________ .
三、解答题(共12小题,满分84分)
13.(6分)n是正整数,3n+1是完全平方数,证明:
n+l是3个完全平方数之和.
14.(6分)一个正整数,如果加上100是一个平方数,如果加上168,则是另一个平方数,求这个正整数.
15.(8分)一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”,比如16=52﹣32,16就是一个“智慧数”.在正整数中从1开始数起,试问第1998个“智慧数”是哪个数?
并请你说明理由.
16.(9分)已知:
五位数
满足下列条件:
(1)它的各位数字均不为零;
(2)它是一个完全平方数;
(3)它的万位上的数字a是一个完全平方数,干位和百位上的数字顺次构成的两位数
以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数
也都是完全平方数.
试求出满足上述条件的所有五位数.
17.(8分)能够找到这样的四个正整数,使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?
若能够,请举出一例;若不能够;请说明理由.
18.(6分)使得(n2﹣19n+91)为完全平方数的自然数n的个数是多少?
19.(8分)已知a1,a2,…,a2002的值都是1或﹣1,设m是这2002个数的两两乘积之和.
(1)求m的最大值和最小值,并指出能达到最大值、最小值的条件;
(2)求m的最小正值,并指出能达到最小正值的条件.
20.(8分)如果对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数(即整数的平方),
证明:
(1)2a,2b,c都是整数;
(2)a,b,c都是整数,并且c是平方数;
(3)反过来,如
(2)成立,是否对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数?
21.(7分)是否存在一个三位数
(a,b,c取从1到9的自然数),使得
为完全平方数?
22.(6分)求证:
四个连续自然数的积加l,其和必为完全平方数.
23.(6分)有若干名战士,恰好组成一个八列长方形队列.若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后,都能组成一个正方形队列.问原长方形队列共有多少名战士?
24.(6分)证明:
是一个完全平方数.
新课标八年级数学竞赛培训第31讲:
完全平方数和完全平方式
参考答案与试题解析
一、选择题(共4小题,每小题3分,满分12分)
1.(3分)若x是自然数,设y=x4+2x3+2x2+2x+1,则( )
A.
y一定是完全平方数
B.
存在有限个,使y是完全平方数
C.
y一定不是完全平方数
D.
存在无限多个,使y是完全平方数
考点:
完全平方数.1552088
分析:
因为x是自然数,那么0也属于自然数.然后根据y=x4+2x3+2x2+2x+1,讨论y是不是完全平方数.
解答:
解:
当x=0时,y=1.y是完全平方数.
当x为大于0的自然数时.x4+2x3+2x2<y<x4+x2+1+2x3+2x2+2x.
故(x2+x)2<y<(x2+x+1)2.y一定不是完全平方数.
故存在有限个,使y是完全平方数.
故选B.
点评:
本题考查了完全平方数的概念和自然数的知识.属于简单的题目.
2.(3分)已知a和b是两个完全平方数,a的个位数字为l,十位数字为x;b的个位数为6,十位数字为y,则( )
A.
x,y都是奇数
B.
x,y都是偶数
C.
x是奇数,y是偶数
D.
x为偶数,y为奇数
考点:
完全平方数.1552088
专题:
综合题.
分析:
a的个位数字为1,十位数字为x,则x为偶数,而b的个位数为6,十位数字为y,y为奇数,从而得出答案.
解答:
解:
∵a的个位数字为1,十位数字为x,∴x为偶数,
∵b的个位数为6,十位数字为y,∴y为奇数,
故选D.
点评:
本题考查了完全平方数的性质,是一道竞赛题,难度中等.
3.(3分)如果
是整数,那么a满足( )
A.
a>0且a是完全平方数
B.
a<0,且﹣a是完全平方数
C.
a≥0且a是完全平方数
D.
a≤0,且﹣a是完全平方数
考点:
完全平方数.1552088
分析:
是整数,则﹣a是一个完全平方数,据此即可作出判断.
解答:
解:
如果
是整数,则﹣a是一个完全平方数,则﹣a≥0.
故a≤0,且﹣a是完全平方数.
故选D.
点评:
本题主要考查了完全平方数,以及二次根式有意义的条件,正确理解完全平方数的意义是解题的关键.
4.(3分)设n是自然数,如果n2的十位数字是7,那么n2的末位数字是( )
A.
1
B.
4
C.
5
D.
6
考点:
尾数特征.1552088
专题:
规律型.
分析:
设自然数n的末两位数字为10a+b,则(10a+b)2=a2×102+2ab×10+b2.2ab是偶数,要使十位数字是7,则b2的十位数字必须是奇数,而使一位数b2的十位数字是奇数的,只有4或6.可知n2的末位数字是6.
解答:
解:
设自然数n的末两位数字为10a+b(其中a为1~9之间的正整数,b为0~9之间的正整数),
∵(10a+b)2=a2×102+2ab×10+b2.
而2ab是偶数,
∴b2的十位数字必须是奇数,
∴b=4或6.
∵42=16,62=36.
∴n2的末位数字是6.
故选D.
点评:
本题考查了尾数特征和完全平方公式,由n2的十位数字是7,得出n的末位数字是4或6是解题的关键.
二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)
5.(3分)若四位数
是一个完全平方数,则这个四位数是 7744 .
考点:
完全平方数;数的整除性.1552088
专题:
综合题.
分析:
由xxyy这个数的特点可知这个数能被11整除,又它是完全平方数所以能被11的平方121整除.又它是4位数且为完全平方数,所以此数应为121与9162536496481的乘积的一种.分别计算可知此数应为121与64的乘积,为7744.其他乘积均不行.
解答:
解:
∵四位数
是一个完全平方数,
∴这个数能被11整除,
则
=11(100x+y)是一个完全平方数,则100x+y能被11整除,
∵100x+y=99x+(x+y),
∴x+y能被11整除,而1≤x+y≤18,
∴只有x+y=11,经检验x=7,y=4,
故这个四位数为7744.
故答案为:
7744.
点评:
本题考查了完全平方数的性质,以及数的整除问题,是重点又是难点,要熟练掌握.
6.(3分)设m是一个完全平方数,则比m大的最小完全平方数是 (
+1)2 .
考点:
完全平方数.1552088
专题:
综合题.
分析:
由m是一个完全平方数,得m是
的平方数,则比
大且最小的整数是
+1,从而得出它的平方.
解答:
解:
∵m是一个完全平方数,
∴m是
的平方数,
∴比
大且最小的整数是
+1,它的平方是(
+1)2.
故答案为:
(
+1)2.
点评:
本题考查了一个数的完全平方数,以及完全平均数的性质,要熟练掌握.
7.(3分)设平方数y2是11个相继整数的平方和,则y的最小值是 ﹣11 .
考点:
完全平方数.1552088
分析:
设这11个数分别为:
x﹣5,x﹣4,x﹣3,…,x+4,x+5.列出方程,讨论y的最小值.
解答:
解:
设11个数分别为:
x﹣5,x﹣4,x﹣3,…,x+4,x+5.
则这11个相继整数的平方和为(x﹣5)2+(x﹣4)2+…+x2+…+(x+4)2+(x+5)2=11(x2+10)=y2,
因为y2是平方数,则当y最小时,y2最小.
则y最小时,从而x2=1,y2=121,
y=±11.
则y的最小值是﹣11.
点评:
本题考查了完全平方数的应用,根据题意列出合适的方程是解题关键.
8.(3分)p是负整数,且2001+p是一个完全平方数,则p的最大值为 ﹣65 .
考点:
完全平方数.1552088
专题:
方程思想.
分析:
根据p是负整数,且2001+p是一个完全平方数,可知2001+p是小于2001的完全平方数,由于小于2001的最大完全平方数是442,则有方程2001+p=442,求解即可.
解答:
解:
∵p是负整数,且取最大值.
则有442≤2001+p<452,
∴2001+p=442=1936,
∴p=﹣65.
故答案为:
﹣65.
点评:
本题考查完全平方数的知识,难度较大,关键是找到小于2001的最大的完全平方数.
9.(3分)设自然数N是完全平方数,N至少是3位数,它的末2位数字不是00,且去掉此2位数字后,剩下的数还是完全平方数,则N的最大值是 1681 .
考点:
完全平方数.1552088
分析:
根据题意,设N=x2(x为自然数),去掉此两位数字后得到整数m,m=k2(k为自然数),然后根据其中关系求解N.
解答:
解:
设N=x2(x为自然数),N的末两位数字组成整数y,去掉此两位数字后得到整数m,m=k2(k为自然数),则1≤y≤99,x2=100k2+y,y=x2﹣100k2=(x+10k)(x﹣10k).
令x+10k=a,x﹣10k=b,则b≥1,k≥1,x=10k+b≥11,a=x+10k≥21.
若k≥4,则x=10k+b≥41,a=x+10k≥81,
唯有b=1,k=4,x=41,a=81,y=81,m=16,N=1681.
显然当k≤3时,x≤40.
故N=1681为所求最大值.
点评:
本题考查了完全平方数的应用.做此题时要合理设未知数,然后根据题意求解结果.
10.(3分)使得n2﹣19n+95为完全平方数的自然数n的值是 5或14 .
考点:
完全平方数.1552088
专题:
计算题.
分析:
先讨论n=1,2,3,4,时的情况,然后讨论n≥5时的情况,运用夹逼法确定n2﹣19n+95的范围,从而得出n的可能值.
解答:
解:
①当n=1,2,3,4时显然不符合题意;
②当n≥5时,(n﹣10)2≤n2﹣19n+95≤n2,
∴
(1)n2﹣19n+95=(n﹣10)2⇒n=5;
(2)n2﹣19n+95=(n﹣9)2⇒n=14,只有这两种情况符合题意,
故n可取5或14.
故答案为:
5或14.
点评:
本题考查完全平方数的知识,难度较大,注意夹逼法的运用,也要掌握讨论法的运用.
11.(3分)自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方,则n= 1988 .
考点:
完全平方数.1552088
专题:
因式分解.
分析:
设n﹣59=a2,n+30=b2,则存在a2﹣b2=﹣89=﹣1×89,根据奇偶性相同即可求得a、b的值,即可求得n的值.
解答:
解:
设n﹣52=a2,n+37=b2,
则a2﹣b2=﹣89=﹣1×89,
即(a+b)(a﹣b)=﹣1×89.且a+b与a﹣b的奇偶性相同,
故a+b=89,a﹣b=﹣1,于是a=44,b=45,
从而n=1988.
故答案为:
1988.
点评:
本题考查了完全平方数的应用,考查了因式分解法求值的应用,考查了奇偶性的判定.
12.(3分)两个两位数,它们的差是56,它们的平方数的末两位数字相同,则这两个数分别是
78和22 .
考点:
尾数特征.1552088
专题:
计算题.
分析:
根据两位数的差是56列出x﹣y=56,根据两位数的平方数的末两位数字相同,得到x2﹣y2=m×100(m为正整数),解方程组,推出m的值,从而求出y的值.
解答:
解:
∵x﹣y=56,x2﹣y2=m×100(m为正整数),
消去x,得112y=100m﹣3136,y=
﹣28,
∵y是一个两位数且m<100,
∴m=56或84,
∴y=22或47.
当y=22时,x=78;
当y=47时,x=103(舍去).
故答案为:
22,78.
点评:
此题考查了尾数的特征,根据两平方数的末两位数字相同得出x2﹣y2=m×100(m为正整数),是解题的关键.
三、解答题(共12小题,满分84分)
13.(6分)n是正整数,3n+1是完全平方数,证明:
n+l是3个完全平方数之和.
考点:
完全平方数.1552088
专题:
证明题.
分析:
此题可以由3n+1为完全平方数得到3n+1=m2,则m=3k+1或3k+2,再得到n的值,代入n+1经变形即可证为3个完全平方数之和.
解答:
证明:
设3n+1=m2,则m=3k+1或m=3k+2(k是正整数).
若m=3k+1,则
.
∴n+1=3k2+2k+1=k2+k2+(k+1)2.
若m=3k+2,则
∴n+1=3k2+4k+2=k2+(k+1)2+(k+1)2.
故n+1是3个完全平方数之和.
点评:
本题考查了完全平方数的应用,关键是对n的取值的讨论,比较麻烦,同学们应重点掌握.
14.(6分)一个正整数,如果加上100是一个平方数,如果加上168,则是另一个平方数,求这个正整数.
考点:
完全平方数.1552088
专题:
代数综合题.
分析:
所求正整数为x,引入参数m和n分别表示这两个完全平方数,然后利用奇偶性分析求解.
解答:
解:
设所求正整数为x,
则:
x+100=m2①;
x+168=n2②;
其中m,n都是正整数,②﹣①得n2﹣m2=68,即(n﹣m)(n+m)=22×17③;
因n﹣m,n+m具有相同的奇偶性,由③知n﹣m,n+m都是偶数.
注意到0<n﹣m<n+m,
由③可得
.
解得n=18.
代入②得x=156,即为所求.
点评:
本题考查完全平方数的知识,难度较大,本题的难点在于引入参数,利用奇偶分析求解.
15.(8分)一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”,比如16=52﹣32,16就是一个“智慧数”.在正整数中从1开始数起,试问第1998个“智慧数”是哪个数?
并请你说明理由.
考点:
完全平方数.1552088
专题:
规律型.
分析:
如果一个数是智慧数,就能表示为两个正整数的平方差,设这两个数分别m、n,设m>n,即智慧数=m2﹣n2=(m+n)(m﹣n),因为m,n是正整数,因而m+n和m﹣n就是两个自然数.要判断一个数是否是智慧数,可以把这个数分解因数,分解成两个整数的积,看这两个数能否写成两个正整数的和与差.
解答:
解:
1不能表示为两个正整数的平方差,所以1不是“智慧数”.对于大于1的奇正整数2k+1,有2k+1=(k+1)2﹣k2(k=1,2,…).所以大于1的奇正整数都是“智慧数”.
对于被4整除的偶数4k,有4k=(k+1)2﹣(k﹣1)2(k=2,3,…).
即大于4的被4整除的数都是“智慧数”,而4不能表示为两个正整数平方差,所以4不是“智慧数”.
对于被4除余2的数4k+2(k=0,1,2,3,…),设4k+2=x2﹣y2=(x+y)(x﹣y),其中x,y为正整数,
当x,y奇偶性相同时,(x+y)(x﹣y)被4整除,而4k+2不被4整除;
当x,y奇偶性相异时,(x+y)(x﹣y)为奇数,而4k+2为偶数,总得矛盾.
所以不存在自然数x,y使得x2﹣y2=4k+2.即形如4k+2的数均不为“智慧数”.
因此,在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”,此后,每连续四个数中有三个“智慧数”.
因为1998=(1+3×665)+2,4×(665+1)=2664,所以2664是第1996个“智慧数”,2665是第1997个“智慧数”,
注意到2666不是“智慧数”,
因此2667是第1998个“智慧数”,
即第1998个“智慧数”是2667.
点评:
本题主要考查了平方差公式,有一定的难度,主要是对题中新定义的理解与把握.
16.(9分)已知:
五位数
满足下列条件:
(1)它的各位数字均不为零;
(2)它是一个完全平方数;
(3)它的万位上的数字a是一个完全平方数,干位和百位上的数字顺次构成的两位数
以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数
也都是完全平方数.
试求出满足上述条件的所有五位数.
考点:
完全平方数.1552088
专题:
计算题.
分析:
设
,且a=m2(一位数),
(两位数),
(两位数),则M2=m2×104+n2×102+t2①
由式①知M2=(m×102+t)2=m2×104+2mt×102+t2②,比较式①、式②得n2=2mt.然后讨论即可得出答案.
解答:
解:
设
,且a=m2(一位数),
(两位数),
(两位数),则M2=m2×104+n2×102+t2①
由式①知M2=(m×102+t)2=m2×104+2mt×102+t2②
比较式①、式②得n2=2mt.
因为n2是2的倍数,故n也是2的倍数,所以,n2是4的倍数,且是完全平方数.
故n2=16或36或64.
当n2=16时,得mt=8,则m=l,2,4,8,t=8,4,2,1,后二解不合条件,舍去;
故M2=11664或41616.
当n2=36时,得mt=18.则m=2,3,1,t=9,6,18.最后一解不合条件,舍去.
故M2=43681或93636.
当n2=64时,得mt=32.则m=1,2,4,8,t=32,16,8,4都不合条件,舍去.
因此,满足条件的五位数只有4个:
11664,41616,43681,93636.
点评:
本题考查了完全平方数,难度较大,关键是设
,且a=m2(一位数),
(两位数),
(两位数),然后表示出M2的形式.
17.(8分)能够找到这样的四个正整数,使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?
若能够,请举出一例;若不能够;请说明理由.
考点:
完全平方数.1552088
专题:
证明题.
分析:
根据偶数的平方和为偶数,奇数得平方和为奇数,即可讨论这四个数的奇偶性,再讨论三个奇数的性质,即可求得其中结论矛盾,即可求得不能找到这样的四个正整数,使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数,即可解题.
解答:
解:
偶数的平方能被4整除,奇数的平方被4除余1,即正整数的平方被4除余0或1.
若存在正整数满足ninj+2002=m2;i,j=1,2,3,4,n是正整数;
∵2002被4除余2,
∴ninj被4除应余2或3.
(1)若正整数n1,n2,n3,n4中有两个是偶数,
设n1,n2是偶数,则n1n2+2002被4除余2,与正整数的平方被4除余0或1不符,
故正整数n1,n2,n3,n4中至多有一个是偶数,至少有三个是奇数.
(2)在这三个奇数中,被4除的余数可分为余1或3两类,
根据抽屉原则,必有两个奇数属于同一类,
则它们的乘积被4除余1,与ninj被4除余2或3的结论矛盾.
综上所述,不能找到这样的四个正整数,使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数.
点评:
本题考查了奇数、偶数的性质,考查了完全平方数的性质,本题中讨论四个数的奇偶性是解题的关键.
18.(6分)使得(n2﹣19n+91)为完全平方数的自然数n的个数是多少?
考点:
完全平方数.1552088
分析:
根据n2﹣19n+91=(n﹣9)2+(10﹣n),可分两种情况:
①当n>10时(n2﹣19n+91)不会成为完全平方数;②当n≤10时,(n2﹣19n+91)才是完全平方数;从而得出n的值为9或10.
解答:
解:
若(n2﹣19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间,则它的取值便固定了.
∵n2﹣19n+91=(n﹣9)2+(10﹣n)
当n>10时,(n﹣10)2<n2﹣19n+91<(n﹣9)2∴当n>10时(n2﹣19n+91)不会成为完全平方数
∴当n≤10时,(n2﹣19n+91)才是完全平方数
经试算,n=9和n=10时,n2﹣19n+91是完全平方数.
所以满足题意的值有2个.
点评:
本题考查了完全平方数的应用,是重点内容,要掌握.
19.(8分)已知a1,a2,…,a2002的值都是1或﹣1,设m是这2002个数的两两乘积之和.
(1)求m的最大值和最小值,并指出能达到最大值、最小值的条件;
(2)求m的最小正值,并指出能达到最小正值的条件.
考点:
完全平方数.1552088
专题:
计算题.
分析:
(1)由于(a1+a2+…+a2002)2=a12+a22+…+a20022+2m=2002+2m,可得m=
.a1+a2+…+a2002
=2002时,m有最大值,a1+a2+…+a2