高考真题汇编理科数学解析版13概率.docx
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高考真题汇编理科数学解析版13概率
2012高考真题分类汇编：
概率
1.【2012高考真题辽宁理
10】在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别
等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于
32cm2的概率为
1
1
（C）
2
4
（A）
（B）
（D）
5
6
3
3
【答案】C
【解析】设线段AC的长为xcm，则线段CB的长为（12
x）cm,那么矩形的面积为
x（12x）cm2，
由x（12x）32，解得x
4或x8。
又0
x12，所以该矩形面积小于
32cm2的概率为2，
3
故选C
【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的
能力，属于中档题。
2.【2012高考真题湖北理8】如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径
作两个半圆.在扇形OAB
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A．1
2
B．1
1
π
2
π
C．2
D．1
π
π
【答案】A
【解析】令OA
1，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为S1，
围成OC为S2，作对称轴OD，则过C点。
S2即为以OA为直径的
半
圆面
积
减
去
三
角
形
OAC
的面
积，
1
1
2
1
1
1
2
。
在扇形OAD中S1
S2
为扇形面
2
2
2
2
2
8
2
积减去三角形
OAC面积和S2
，S1
1
121
S2
2，
2
2
8
8
2
16
第-1-页共15页第8题图
S1
S2
2，扇形OAB面积S
1
，选A.
4
4
3.【2012高考真题广东理7】从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为
1的概率是
4121
A.B.C.D.
9399
【答案】D
【解析】法一：
对于符合条件“个位数与十位数之和为奇数的两位数”分成两种类型：
一是
十位数是奇数，个位数是偶数，共有
5525个，其中个位数为
0的有
10,30,50,70,90共5
个；二是十位数是偶数，个位数是奇数，共有
4
5
20，所以P
5
20
1．故选D．
25
9
法二：
设个位数与十位数分别为
x,y，则x
y
2k
1，k1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以x,y分别
为一奇一偶，第一类x为奇数，y为偶数共有C51
C51
25个数；第二类x为偶数，y为奇数
共有C41C51
20个数。
两类共有45个数，其中个位是
0，十位数是奇数的两位有
10,30,50,70,90
这5个数，所以其中个位数是
0的概率是5
1
，选D。
45
9
4.【2012高考真题福建理6】如图所示，在边长为
1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰
好取自阴影部分的概率为
A.
1
1
1
1
B.
C.
6
D.
4
5
7
【答案】Ｃ.
【解析】根据定积分的几何意义可知阴影部分的面积
1
3
2x2
1x2）|10
1
S（xx）dx（
，而正方形的面积为１，所以点Ｐ恰好取自阴影部分
0
3
2
6
的概率为1．故选Ｃ．
6
0x2,
5.【2012高考真题北京理2】设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取
0y2
一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
（A）
2
（C）
4
（B）
（D）
4
2
6
4
第-2-页共15页
【答案】D
0x2
【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D
0y2
可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此
2
2
1
22
P
4
4
2
2
，故选D。
4
6.【2012高考真题上海理11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其
中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）。
【答案】2
3
【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有
C32C32C32
27中，若有且仅有两人选择的项
目完成相同，则有
C32C32C21
18，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为
18
2
。
27
3
7.【2012高考真题新课标理
15】某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件
1或元件
2
正常工作，且元件
3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：
小时）
均服从正态分布
N（1000,502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过
1000小时的概率为
【答案】
3
8
【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000,502）
得：
三个电子元件的使用寿命超过
1000小时的概率为
p
1
2
超过1000小时时元件1或元件
2正常工作的概率
P1
1
（1
p）2
3
3
4
1000小时的概率为
p2
p1
p
那么该部件的使用寿命超过
.
8
8.【2012高考江苏6】（5分）现有10个数，它们能构成一个以
1为首项，
3为公比的等比
数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于
8的概率是
▲
．
第-3-页共15页
【答案】3。
5
【考点】等比数列，概率。
【解析】∵以1为首项，3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5
个负数，1个正数1计6个数小于8，
∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是6=3。
105
9.【2012高考真题四川理17】（本小题满分12分）
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时
刻发生故障的概率分别为1和p。
10
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49，求p的值；
50
（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布
列及数学期望E。
【答案】本题主要考查独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知
识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力.
【解析】
10．【2012高考真题湖北理】（本小题满分
12分）
根据以往的经验，某工程施工期间的降水量
X（单位：
mm）对工期的影响如下表：
降水量X
X300
300X
700700X900
X900
第-4-页共15页
工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量
X小于300，700，900的概率分别为
0.3，0.7，
0.9.求：
（Ⅰ）工期延误天数
Y的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量
X至少是
300的条件下，工期延误不超过
6天的概率.
【答案】（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：
P（X
300）
0.3,P（300
X
700）
P（X
700）
P（X
300）0.7
0.3
0.4
，
P（700
X
900）
P（X
900）
P（X
700）
0.9
0.7
0.2.
P（X
900）
1
P（X
900）
1
0.9
0.1
.
所以Y的分布列为：
Y
0
2
6
10
于
是，
P
0.3
0.4
0.2
0.1
E（Y）
0
0.3
2
0.4
6
0.2
10
0.1
3
；
D（Y）
（0
3）2
0.3
（2
3）2
0.4
（6
3）2
0.2（103）2
0.19.8
.
故工期延误天数
Y的均值为
3，方差为
9.8
.
（Ⅱ）由概率的加法公式，
P（X
300）
1
P（X
300）
0.7，
又P（300
X
900）
P（X
900）
P（X
300）0.90.3
0.6.
由条件概率，得
P（Y
6X
300）
P（X
900X
300）
P（300
X
900）
0.6
6
P（X
300）
0.7
.
7
故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过
6天的概率是6.
7
11.【2012高考江苏25】（10分）设
为随机变量，从棱长为
1的正方体的12条棱中任取两条，
当两条棱相交时，
0；当两条棱平行时，
的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，
1．
（1）求概率P（
0）
；
（2）求的分布列，并求其数学期望E（）．
【答案】解：
（1）若两条棱相交，则交点必为正方体
8
个顶点中的一个，过任意
1个顶点恰
有3条棱，
∴共有8C32对相交棱。
∴
P（
0）=
8C32
8
3
4
C122
66
。
11
（2）若两条棱平行，则它们的距离为
1或
2，其中距离为
2的共有6对，
第-5-页共15页
∴
P（
2）=
6
6
1
，
C122
66
11
P
（1）=1P（
0）P（
2）=1
41=6。
11
11
11
∴随机变量
的分布列是：
0
1
2
P（
）
4
6
1
11
11
11
∴其数学期望E（
）=1
6
2
1=6
11
2
。
11
11
【考点】概率分布、数学期望等基础知识。
【解析】
（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率
P（0）。
（2）求出两条棱平行且距离为
2
的共有6对，即可求出P（
2），从而求出P（
1）
（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量
的分布列，求出其数学期望。
12.【2012
高考真题广东理17】（本小题满分13分）某班
50位学生期中考试数学成绩的频率
分布直方图如图4
所示，其中成绩分组区间是：
[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]
．
（1）求图中x的值；
（2）从成绩不低于
80分的学生中随机选取
2人，该2人中成绩在
90分以上（含90分）的
人数记为
，求
得数学期望．
【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。
【解析】
第-6-页共15页
13.【2012高考真题全国卷理19】（本小题满分
12分）（注意：
在试题卷上作答无效
）
．．．．．．．．．
乒乓球比赛规则规定：
一局比赛，双方比分在
10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发
球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.
（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.
【答案】
14【.2012高考真题浙江理19】（本小题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：
取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均
等）3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）求X的数学期望E（X）．
【答案】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。
（Ⅰ）X的可能取值有：
3，4，5，6．
C53
5
P（X
C52C41
20
P（X3）
42
；
4）
42
；
C93
C93
第-7-页共15页
P（X5）
C51C42
15；
P（X6）
C43
2．
C3
42
C3
42
9
9
故，所求X的分布列为
X
3
4
5
6
5
20
10
15
5
2
1
P
42
21
42
14
42
21
42
（Ⅱ）所求X的数学期望
E（X）为：
6
5
10
5
1
91．
E（X）＝
i
P（X
i）
3
4
5
6
i
4
42
21
14
21
21
15.【2012
高考真题重庆理
17】（本小题满分
13分，（Ⅰ）小问
5分，（Ⅱ）小问
8分.）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票
.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都
已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为
1，乙每次投篮投中的概率为
1，且各次
3
2
投篮互不影响.
（Ⅰ）求甲获胜的概率；
（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数
的分布列与期望
【答案】
16.【2012高考真题江西理29】（本题满分12分）
如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个
点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积
为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）。
第-8-页共15页
（1）求V=0的概率；
（2）求V的分布列及数学期望。
【答案】
【点评】本题考查组合数，随机变量的概率，离散型随机变量的分布列、期望等.高考中，概
率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特
征：
如平均数，中位数，频数，频率等或古典概型；二、以应用题为载体，考查条件概率，
独立事件的概率，随机变量的期望与方差等
.来年需要注意第一种方向的考查.
17.【2012高考真题湖南理
17】本小题满分
12分）
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，
安排一名员工随机收集了在该超市购物的100
位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4
5至8
9至12
13至16
17
件及以
件
件
件
件
上
顾客数（人）
x
30
25
y
10
结算时间（分
1
1.5
2
2.5
3
钟/人）
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾
客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.
．．．
（注：
将频率视为概率）
第-9-页共15页
【答案】
（1）由已知,得25y10
55,xy
35,所以x
15,y
20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的
100位顾客一次购物的结算
时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得
p（X
1）
15
3,p（X
1.5）
30
3,p（X
2）
25
1,
100
20
100
10
100
4
p（X
2.5）
20
1,p（X
3）
10
1.
X的分布为
100
5
100
10
X
1
1.5
2
2.5
3
P
3
3
1
1
1
20
10
4
5
10
X的数学期望为
E（X）1
3
1.5
3
21
2.51
3
1
1.9.
20
10
4
5
10
（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过
2.5
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