人教版数学初二上八年级上精品教案11章三角形.docx
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人教版数学初二上八年级上精品教案11章三角形
11．1 与三角形有关的线段
11．1.1 三角形的边
1．理解三角形的概念，认识三角形的顶点、边、角，会数三角形的个数．（重点）
2．能利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形．（重点）
3．三角形在实际生活中的应用．（难点）
一、情境导入
出示金字塔、战机、大桥等图片，让学生感受生活中的三角形，体会生活中处处有数学．
教师利用多媒体演示三角形的形成过程，让学生观察．
问：
你能不能给三角形下一个完整的定义？
二、合作探究
探究点一：
三角形的概念
图中的锐角三角形有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
解析：
（1）以A为顶点的锐角三角形有△ABC、△ADC共2个；
（2）以E为顶点的锐角三角形有△EDC共1个．所以图中锐角三角形的个数有2＋1＝3（个）．故选B.
方法总结：
数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有n个点，那么就有
条线段，也可以与线段外的一点组成
个三角形．
探究点二：
三角形的三边关系
【类型一】判定三条线段能否组成三角形
以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm
B．5cm，6cm，10cm
C．1cm，1cm，3cm
D．3cm，4cm，9cm
解析：
选项A中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B.
方法总结：
判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．
【类型二】判断三角形边的取值范围
一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜11B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11D．x＞3
解析：
∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.故选A.
方法总结：
判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．有时还要结合不等式的知识进行解决．
【类型三】等腰三角形的三边关系
已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长．
解析：
先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解．
解：
根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9，∵4＋4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去；4＋9＞9，故4，9，9能构成三角形，∴它的周长是4＋9＋9＝22.
方法总结：
在求三角形的边长时，要注意利用三角形的三边关系验证所求出的边长能否组成三角形．
【类型四】三角形三边关系与绝对值的综合
若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
解析：
根据三角形三边关系：
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．
解：
根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.
方法总结：
绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．
三、板书设计
三角形的边
1．三角形的概念：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．
2．三角形的三边关系：
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形”引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？
为什么不能？
初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系”．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既提高了学生学习的兴趣，又增强了学生的动手能力．
11．1.2 三角形的高、中线与角平分线
1．掌握三角形的高、中线和角平分线的定义，并能够对其进行简单的应用．（重点）
2．能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线．（难点）
一、情境导入
这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？
本节我们一起来解决这个问题．
二、合作探究
探究点一：
三角形的高
【类型一】三角形高的画法
画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（ ）
解析：
三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．
解：
过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D.故选D.
方法总结：
三角形任意一边上的高必须满足：
（1）过该边所对的顶点；
（2）垂足必须在该边或在该边的延长线上．
【类型二】根据三角形的面积求高
如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为________．
解析：
根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．由△ABC的面积公式可知
AD·BC＝
BP·AC，解得BP＝
.
方法总结：
解答此题可利用面积相等作桥梁（但不求面积）求三角形的高，这种解题方法通常称为“面积法”．
探究点二：
三角形的中线
【类型一】应用三角形的中线求线段的长
在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
解析：
如图，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长－△ADC的周长＝（BA＋BD＋AD）－（AC＋AD＋CD）＝BA－AC，∴BA－5＝2，∴BA＝7cm.
方法总结：
通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差．
【类型二】利用中线解决三角形的面积问题
如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．
解析：
∵点D是AC的中点，∴AD＝
AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝
S△ABC＝
×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝
S△ABC＝
×12＝4.∵S△ABD－S△ABE＝（S△ADF＋S△ABF）－（S△ABF＋S△BEF）＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.故答案为2.
方法总结：
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
探究点三：
三角形的角平分线
如图，已知：
AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
解析：
根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，得出∠BAD＝30°，再利用CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．
解：
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.
方法总结：
通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查．
三、板书设计
三角形的高、中线与角平分线
1．三角形的高：
从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．
2．三角形的中线：
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．
3．三角形的角平分线：
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线．
本节课由实际问题“平分三角形蛋糕”引入，让学生意识到数学与实际生活的密切联系，明确数学来源于实践应用于实践，进而学习用数学方法解决实际问题．然后从画图入手，分三种情况：
即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生形成分类讨论思想，同时，可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的定义以及表示方法，最后通过例题进一步巩固．
11．1.3 三角形的稳定性
1．通过观察、感悟三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．（重点）
2．三角形的稳定性在生活、生产中的实际应用．（难点）
一、情境导入
一天数学小博士听到三角形和四边形在一起争论“有稳定性好还是没有稳定性好？
”先听它们是怎么说的．
三角形：
“具有稳定性的我最好，因为我牢固，不易变形，所以我最受欢迎，不像你四边形，你没有坚定的立场！
”
四边形：
“灵活性强，可伸可缩，我的这些优点比起你三角形那呆板、简单、一成不变的形式不知有多优越！
”
三角形：
“我广泛应用于人类的生产生活中，如三角尺、钢架桥、起重机、屋顶的钢架，我的用途大！
”
四边形：
“我的用途广，像活动衣架、缩放尺、活动铁门等，人类的生活因为我而丰富多彩！
”
假如你是数学小博士，你会如何来调解它们的争论？
二、合作探究
探究点：
三角形的稳定性
【类型一】三角形稳定性的应用
要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？
解析：
由于多边形（三边以上的）不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律．
解：
过n边形的一个顶点可以作（n－3）条对角线，把多边形分成（n－2）个三角形，所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n－3）根木条固定．
方法总结：
将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．
【类型二】四边形的不稳定性
大家经常看到有些学校、小区的大门都使用了伸缩门，它常常做成四边形的形状，你知道这是为什么吗？
解析：
从四边形特性的角度考虑．
解：
伸缩门做成四边形的形状，是利用四边形易变形这一特性．
方法总结：
四边形具有不稳定性，容易变形，我们生活中的很多实例都利用了这一性质，注意在日常生活中积累这方面的经验．
三、板书设计
三角形的稳定性
1．三角形具有稳定性
2．四边形没有稳定性
3．三角形的稳定性的应用
4．四边形的不稳定性的应用
在教学三角形的稳定性时，利用多媒体引导学生探寻三角形稳定性的数学含义，进而用三角形的稳定性解释“为什么不易变形”，再回归生活，运用三角形的稳定性解释如何解决生活中的问题．学生清楚地认识到“不易变形”是三角形的稳定性的一个表现，一种应用，而不是将三角形的稳定性与“不易变形”划等号．这样的教学既使得学生对稳定性有了正确清楚的认识，也为以后进一步学习三角形的稳定性和“全等三角形”的判定方法奠定了认知的基础．
11．2 与三角形有关的角
11．2.1 三角形的内角
1．理解三角形内角和定理及其证明方法．（难点）
2．能用三角形的内角和定理解决一些简单问题．（重点）
一、情境导入
多媒体展示：
（三兄弟之争）在一个直角三角形村庄里，住着三个内角，平时它们非常团结，有一天，老三不高兴了，对老大说：
“凭什么你的度数最大，我也要和你一样大！
”老大说：
“这是不可能的，否则我们这个家就要被拆散，围不起来了！
”“为什么呢？
”老二、老三纳闷起来……
同学们，你们知道其中的道理吗？
二、合作探究
探究点一：
三角形的内角和
【类型一】求三角形内角的度数
已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，若∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
解析：
在Rt△DFB中，根据三角形内角和定理，求得∠B的度数，再在△ABC中求∠ACB的度数即可．
解：
在△DFB中，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°.∵∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，∴∠B＝40°.在△ABC中，∵∠A＝46°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
方法总结：
求三角形的内角，必然和三角形内角和定理有关，解决问题时要根据图形特点，在不同的三角形中，灵活运用三角形内角和定理求解．
【类型二】判断三角形的形状
一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．无法判定
解析：
设这个三角形的三个内角的度数分别是x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．故选A.
方法总结：
在解决有关比例问题时，通常先设比例系数，然后列方程求解．
【类型三】三角形的内角与角平分线、高的综合运用
在△ABC中，∠A＝
∠B＝
∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数．
解析：
根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．
解：
∵∠A＝
∠B＝
∠ACB，设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE＝
×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
方法总结：
本题是常见的几何计算题，解题的关键是利用三角形的内角和定理和角平分线的性质，找出角与角之间的关系并结合图形解答．
探究点二：
直角三角形的性质
【类型一】直角三角形性质的运用
如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF、∠DBC的度数．
解析：
根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠EDF，再根据三角形的内角和定理求出∠C＋∠DBC＝∠F＋∠DEF，然后求解即可．
解：
∵CE⊥AF，∴∠DEF＝90°，∴∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.由三角形的内角和定理得∠C＋∠DBC＋∠CDB＝∠F＋∠DEF＋∠EDF，∴30°＋∠DBC＝40°＋90°，∴∠DBC＝100°.
方法总结：
本题主要利用了直角三角形两锐角互余的性质和三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
三、板书设计
三角形的内角
1．三角形的内角和定理：
三角形的内角和等于180°
2．三角形内角和定理的证明
3．直角三角形的性质：
直角三角形两锐角互余
本节课通过一段对话设置疑问，巧设悬念，激发起学生获取知识的求知欲，充分调动学生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，从而提高学习效率．然后让学生自主探究，在教学过程中充分发挥学生的主动性，让学生提出猜想．在教学中，教师通过必要的提示指明了学生思考问题的方向，在学生提出验证三角形内角和的不同方法时，教师注意让学生上台演示自己的操作活动和说明自己的想法，这样更有助于学生接受三角形的内角和是180°这一结论．
11．2.2 三角形的外角
1．掌握三角形外角的定义和三角形内角和定理的两个推论．（重点）
2．能运用三角形内角和定理的两个推论进行相关的几何计算和证明，并体会几何图形中的不等关系．（难点）
一、情境导入
足球比赛中的数学知识
在绿茵场上，某球员在A处受到阻挡需要传球，请帮助他做出选择，应传给在B处的球员还是C处的球员，使其射门不易射偏．（不考虑其他因素）
请同学们帮助他做出选择．
二、合作探究
探究点：
三角形的外角
【类型一】应用三角形的外角求角的度数
如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：
延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
解：
延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
方法总结：
利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．
【类型二】用三角形外角的性质把几个角的和分别转化为一个三角形的内角和
已知：
如图为一五角星，求证：
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
解析：
根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证．
证明：
∵∠EFG、∠EGF分别是△BDF、△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
方法总结：
解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．
【类型三】三角形外角的性质和角平分线的综合应用
如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.
（1）如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；
（2）猜想：
∠E与∠A有什么数量关系（写出结论即可）；
（3）如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．
解析：
先计算特殊角的情况，再综合运用三角形的内角和定理及其推论结合三角形的角平分线概念解决．
解：
（1）根据外角的性质得∠ACD＝∠A＋∠ABC＝60°＋50°＝110°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠1＝
∠ACD＝55°，∠2＝
∠ABC＝25°.∵∠E＋∠2＝∠1，∴∠E＝∠1－∠2＝30°；
（2）猜想：
∠E＝
∠A；
（3）∵BE、CE是两外角的平分线，∴∠2＝
∠CBD，∠4＝
∠BCF，而∠CBD＝∠A＋∠ACB，∠BCF＝∠A＋∠ABC，∴∠2＝
（∠A＋∠ACB），∠4＝
（∠A＋∠ABC）．∵∠E＋∠2＋∠4＝180°，∴∠E＋
（∠A＋∠ACB）＋
（∠A＋∠ABC）＝180°，即∠E＋
∠A＋
（∠A＋∠ACB＋∠ABC）＝180°.∵∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°，∴∠E＋
∠A＝90°.
方法总结：
对于本题发现的结论要予以重视：
图①中，∠E＝
∠A；图②中，∠E＝90°－
∠A.
三、板书设计
三角形的外角
1．三角形外角的定义：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角．
2．三角形外角的性质：
三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
本节的知识内容很突出，要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中，应让学生自主探索，利用多种方法进行研究．同时要关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力．
在教学设计上，关注学生自主学习、合作交流的过程，让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要性，在获得数学活动经验的同时，提高学生的探究、发现和创新能力．
11．3 多边形及其内角和
11．3.1 多边形
1．掌握多边形的定义及其有关概念，理解正多边形及其相关概念．（重点）
2．正确区分凹多边形和凸多边形．（重点）
3．理解多边形的对角线的概念，探索一个多边形能画几条对角线．（难点）
一、情境导入
利用多媒体展示生活、建筑方面等的图片（包含一个或多个明显的多边形）．
问题：
请学生观察图片，在图中能找出哪些多边形？
长方形、正方形、平行四边形等都是四边形，还有边数很多的图形，它们在日常生活、工农业生产中都有应用，引出本节课课题：
多边形．
二、合作探究
探究点一：
多边形的概念
【类型一】多边形及其概念
下列图形不是凸多边形的是（ ）
解析：
根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形，否则即是凹多边形．由此可得选项D的图形不是凸多边形．故选D.
方法总结：
多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：
（1）画多边形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；
（2）每个内角的度数均小于180°.通常所说的多边形指凸多边形．
【类型二】确定多边形的边数
若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．14或15或16B．15或16
C．14或16D．15或16或17
解析：
一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16.故选A.
方法总结：
一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下．
探究点二：
多边形的对角线
【类型一】确定多边形的对角线的条数
从四边形的一个顶点出发可画________条对角线，从五边形的一个顶点出发可画________条对角线，从六边形的一个顶点出发可画________条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有________条对角线，从n边形的一个顶点出发有________条对角线，从而推导出n边形共有________条对角线．
解析：
根据n边形从一个顶点出发可引出（n－3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n－3）条对角线，而每条重复一次，可得答案．
解：
从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n边形的一个顶点出发有（n－3）条对角线，从而推导出n边形共有
条对角线．
方法总结：
（1）多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的对角线有（n－3）条；
（2）多边形有n条边，对角线的条数为
.
【类型二】根据对角线条数确定多边形的边数
从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（ ）
A．6B．7
C．8D．9
解析：
设这个多边形是n边形．依题意，得n－3＝5，解得n＝8.故这个多边形的边数是8.故选C.
【类型三】根据分成三角形的个数，确定多边形的边数
连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是（ ）
A．五边形B．六边形
C．七边形
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